Kế hoạch dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chương 3 - Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyên và dây cung

 BÀI 4. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYÊN VÀ DÂY CUNG
I. Tóm tắt lý thuyết
 1. Định nghĩa
 Cho đường tròn tâm (O) có Ax là tia tiếp tuyến tại tiếp điểm A và dây cung AB. Khi đó, góc 
B· Ax là góc tạo bởi tia tiêp tuyến và dây cung.
 2. Định lí
 Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
 A
 C
 O
 m
 x
 B
 · · 1 ¼
 sđBAC = sđxBC = sđBC
 2
 3. Hệ quả
 Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyên và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một 
cung thì bằng nhau.
 4. Bổ đề
 Nếu góc B· Ax với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB có số đo bằng 
nửa số đo của cung AB nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.
II. Các dạng bài tập
 Dạng 1. Chứng minh các góc bằng nhau, các đẳng thức hoặc các tam giác đổng dạng
 Phương pháp giải: Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyên và dây cung hoặc hệ quả 
góc nội tiếp.
Bài 1: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, c là 
tiếp điểm). Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A và N).
 a) Chứng minh AB2 = AM. AN.
 b) Gọi H = AO BC. Chứng minh AH.AO = AM.AN.
 c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam 
giác ABC
Hướng Dẫn: 1
 a) ·ABM ·ANB sđ B¼M . 
 2
 Chứng minh được: ABM : ANB (g.g)
 ĐPCM.
 b) Chứng minh AO  BC áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABO và sử dụng kết 
quả câu b) AB2 = AH.AO
 c) Chứng minh được ·ABI C· BI(BºI CºI) BI là phân giác ·ABC . Mà AO là tia phân giác 
B· AC I là tâm đường tròn nội tiếp ABC .
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I.
 IB AB2
 a) Chứng minh . 
 IC AC 2
 b) Tính IA, IC bắt rằng AB = 20cm, AC = 28cm, BC = 24cm.
Hướng Dẫn:
 a)Chứng minh được: BAI : ACI (g.g)
 AB IB AB2 IB2
 AC IA AC 2 IA2
 Mặt khác: IA2 = IB.IC
 ĐPCM.
 b) Do BAI : ACI (g.g)
 AI BI AB
 CI AI CA
 IA IC 24 5
 IA 35cm
 IC IA 7
 IC = 49cm
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại P.
 a) Chứng minh các tam giác PAC và PBA đồng dạng.
 b) Chứng minh PA2 = PB.PC.
 c) Tia phân giác trong của góc A cắt BC và (O) lần lượt tại D và M. Chứng minh MB 2 = 
MA.MD.
Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh.
 b) Tương tự 1A.
 c) Chứng minh được: B· AM M· BC 
 Từ đó chứng minh được:
 MAB : MBD MB2 MA.MD 
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, µA 900 . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. 
Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB.
Hướng Dẫn:
 Gọi BD  AC I 
 1
 Ta có B· AI ·ACD E· BD sđ E»D 
 2
 Áp dụng bổ đề ĐPCM.
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, một tia là tiếp 
 tuyến của đường tròn
 Phương pháp giải: Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả 
của hai góc nội tiếp.
Bài 1: Cho các đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Vẽ đường 
kính AB của (O), AB cắt (O’) tại điểm thứ hai C. Từ B vẽ tiếp tuyến BP với đường tròn (O’), BP 
cắt (O) tại Q. Đường thẳng AP cắt (O) tại điểm thứ hai R. Chứng minh:
 a) AP là phân giác của B· AQ; 
 c) CP và BR song song với nhau.
Hướng Dẫn:
 a) Sử dụng AQ//O'P
 Q· AP O· ' AP ĐPCM.
 b) CP//BR (cùng vuông góc AR) Bài 2: Cho đường tròn (O; R) với A là điểm cố định trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) và 
lấy M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Vẽ tiếp tuyế thứ hai MB với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm 
MA, K là giao điểm của BI với (O).
 a) Chứng minh các tam giác IKA và IAB đồng dạng. Từ đó suy ra tam giác IKM đồng dạng 
với tam giác IMB.
 b) Giả sử MK cắt (O) tại c. Chứng minh BC song song MA.
Hướng Dẫn:
 IA IK
 a) IAK : IBA 
 IB IA
 IM IK
 Mà IA IM 
 IB IM
 IKM : IMB 
 b) Chứng minh được:
 I·MK K· CB BC / /MA (ĐPCM)
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Đường tròn (I) đi qua B và C, tiếp 
xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh OA và BD vuông góc với nhau.
Hướng Dẫn:
 Kẻ đường kính AF
 µ µ 0
 Chứng minh A1 B1 90 AO  BD 
Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau ở C và D, trong đó tiếp tuyến chung MN song song 
với cát tuyến EDF, M và E thuộc (O), N và F thuộc (I), D nằm giữa E và F. Gọi K, H theo thứ tự là 
giao điểm của NC, MC với EF. Gọi G là giao điểm của EM, FN. Chứng minh:
 a) Các tam giác GMN và DMN bằng nhau. b) GD là đường trung trực của KH.
Hướng Dẫn:
 a)Ta có:
 D· MN Eµ G· MN, D· NM N· FD G· NM 
 GMN DMN 
 b) Chứng minh được MN là đường trung trực của GD
 GD  EF (1) 
 Gọi J là giao điểm của DC và MN.
 JM JN CJ 
 Ta có 
 DH DK CD 
 Mặt khác: JM JN (cùng bằng JC.JD 
 DH = DK (2). Từ (1) và (2) ĐPCM.
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Giả sử A và B là hai điểm phân biệt trên đường tròn (O). Các tiếp tuyến của đường tròn 
(O). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại điểm M . Từ A kẻ đường thẳng 
song song với MB cắt đường tròn (O) tại C . MC cắt đường tròn (O) tại E . Các tia AE và MB 
cắt nhau tại K . Chứng minh rằng MK 2 = AK .EK và MK = KB .
Hướng Dẫn:
 Do MB / / AC nên 
 B·MC = A·CM (1), ta lại có 
 A·CM = A·CE = M·AE (cùng chắn A¼E ) (2). 
 Từ (1) và (2) MK EK
 suy ra DKME : DKAM (g.g) Þ = 
 AK MK
 hay MK 2 = AK .EK (3). 
 Ta thấy E·AB = E·BK (cùng chắn B»E ). 
 BK EK
 Từ đó DEBK : DBAK (g.g) Þ = 
 AK BK
 Hay BK 2 = AK .EK (4). Từ (3) và (4) 
 Suy ra MK 2 = KB 2 nghĩa là MK = MB (đpcm).
Bài 2: Cho đường tròn (C ) tâm O , AB là một dây cung của (C ) không đi qua O và I là trung 
điểm của AB . Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt đường tròn (C1) tâm O bán kính OI tại P 
và Q . Chứng minh rằng tích AP.AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi 
qua một điểm cố định khác B .
Hướng Dẫn:
 Ta có P·QI = P·IA (cùng chắn PºI ), nên DAPI : DAIQ (g.g). 
 AP AI
 Suy ra = Þ AP.AQ = AI 2 (không đổi). 
 AI AQ
 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giácBPQ cắt AB tại D (D ¹ B). 
 Khi đó DADP : DAQB , 
 AD AP
 Suy ra : = hay AD.AB = AP.AQ = AI 2 (không đổi). 
 AQ AB
 Do đó điểm D là điểm cố định (đpcm).
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và B·AC = 600 . Gọi M ,N,P theo thứ tự là chân 
các đường cao kẻ từ A,B,C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC . 
 a) Chứng minh rằng tam giác INP đều. 
 b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC . Chứng minh rằng các điểm 
I ,M ,E,K cùng thuộc một đường tròn. 
 c) Giả sử IA là phân giác của N· IP . Tìm số đo B·CP .
Hướng Dẫn: a). Từ giả thiết ta có 
 1
 IN = IP = BC nên tam giác 
 2
 INP cân tại I . 
 Lại vì B,P,N,C nằm trên đường tròn tâm I , đường kính BC nên theo mối liên hệ giữa 
góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung
 Ta thấy P·IN = 2P·BN = 600 . 
 Vậy tam giác INP đều.
b) Rõ ràng bốn điểm I ,M ,E và K cùng nằm trên đường tròn đường kính AI . 
c) Từ điều kiện của bài toán ta thấy AI là tia phân giác của B·AC = 600
 Mà I là trung điểm của BC nên tam giác ABC đều. 
 Từ đó suy ra B·CP = 300 .
Bài 4: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho 
MA2 = MB.MC. Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O). 
Hướng dẫn
 Vì MA2 = MB.MC => MA/MB = MC/MA 
 Xét ΔMAC và ΔMBA có: ∠M chung 
 MA/MB = MC/MA 
 => ΔMAC ∼ ΔMBA (c.g.c) => ∠MAB = ∠MCA (1)
 Kẻ đường kính AD của (O) . Ta có ∠ACB = ∠ADB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) 
 Mà ∠MAB = ∠MCA (chứng minh trên) Suy ra ∠MAB = ∠ADB (2) 
 Lại có ∠ABD = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠BAD + ∠BDA = 90o (3) 
 Từ (2) và (3) suy ra ∠BAD + ∠MAB = 90o hay ∠MAO = 90o => OA ⊥ MA 
 Do A ∈ (O) => MA là tiếp tuyến của (O).
Bài 5: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) tại A và B. Qua A 
vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn tại C. Nối C với M cắt đường tròn (O) tại D. Nối 
A với D cắt MB tại E. Chứng minh rằng: 
 a) ΔABE ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM. 
 b) E là trung điểm của MB. 
Hướng Dẫn:
a) Chứng minh ΔABE ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM. 
 Xét ΔABE và ΔBDE có: 
 ∠E chung 
 ∠BAE = ∠DBE (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuy ến và dây cung cùng chắn cung BD ) 
 => ΔABE ∼ ΔBDE (g.g) 
 Vì AC // MB nên ∠ACM = ∠CMB (so le trong) 
 Mà ∠ACM = ∠MAE (góc ntiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD ) 
 Suy ra: ∠CMB = ∠MAE 
 Xét ΔMEA và ΔDEM có: 
 ∠E chung 
 ∠MAE = ∠CMD (chứng minh trên) 
 => ΔMEA ∼ ΔDEM (g.g) 
b) Chứng minh E là trung điểm của MB 
 Theo chứng minh a) ta có: ΔABE ∼ ΔBDE => AE/BE = BE/DE => EB2 = AE.DE 
 ΔMEA ∼ ΔDEM => ME/DE = EA/EM => ME2 = DE.EA Do đó EB2 = EM2 hay EB = EM. 
 Vậy E là trung điểm của MB.
Bài 6: Cho điểm C thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ điểm D thuộc đọan AO kẻ 
đường thẳng vuông góc với AO cắt AC và BC lần lượt lại E và F. Tiếp tuyến C với nửa đường tròn 
cắt EF tại M và cắt AB tại N. 
 a) Chứng minh M là trung điểm của EF. 
 b) Tìm vị trí của điểm C trên đường tròn (O) sao cho ΔACN cân tại C. 
Hướng Dẫn:
a) Chứng minh M là trung điểm của EF
 Ta có ∠MCA = 1/2 sđ A»C (góc giữa tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC) (1) 
 Lại có ∠MEC = ∠AED = 90o - ∠EAD = 90o - 1/2 sđ B»C = 1/2 sđ A»C (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra ∠MCE = ∠MEC 
 Vậy ΔMEC cân tại M, suy ra MC = ME. 
 Chứng minh tương tự ta có MC = MF. 
 Suy ra ME = MF hay M là trung điểm của EF. 
b) Tìm vị trí của điểm C trên đường tròn (O) sao cho ΔACN cân tại C. 
 ΔACN cân tại C khi và chỉ khi ∠CAN = ∠CNA 
 Vì MN là tiếp tuyến với (O) tại C nên OC ⊥ MN 
 => ∠CNA = 90o - ∠COB = 90o - 2.∠CAN 
 Do đó: 
 ∠CAN = ∠CNA ⇔ ∠CAN = 90o - 2.∠CAN ⇔ 3∠CAN = 90o 
 => ∠CAN = 30o => Sđ B»C = 60o 
 Vậy ΔACN cân tại C khi C nằm trên nửa đường tròn (O) sao cho SđBC = 60o . Bài 7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm thay đổi trên tiếp tuyến 
Bx của (O). Nối AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN. 
 a) Chứng minh: ΔAIO ∼ ΔBMN ; ΔOBM ∼ ΔINB 
 b) Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích ΔAIO có giá trị lớn nhất.
Hướng Dẫn:
a) Chứng minh: ΔAIO ∼ ΔBMN ; ΔOBM ∼ ΔINB 
 Vì I là trung điểm của AN => OI ⊥ AN => ∠AIO = ∠ANB = 90o 
 Do Bx là tiếp tuyến với (O) tại B 
 => ∠NBM = ∠IAO = 1/2 sđ B»N 
 => ΔAIO ∼ ΔBMN (g.g) 
 Vì ∠OIM = ∠OBM = 90o 
 => các điểm B, O, I, M cùng thuộc đường tròn đường kính MO
 suy ra ∠BOM = ∠BIN 
 Xét ΔOBM và ΔINB có: 
 ∠OBM = ∠INB 
 ∠BOM = ∠BIN 
 => ΔOBM ∼ ΔINB (g.g) 
b) Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích ΔAIO có giá trị lớn nhất 
 Kẻ IH ⊥ AO ta có: SΔAIO = 1/2 AO.IH 
 Vì AO không đổi nên SΔAIO lớn nhất ⇔ IH lớn nhất. 
 Nhận thấy: Khi M chuyển động trên tia Bx thì I chạy trên nửa đường tròn đường kính AO.