Kế hoạch dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chương 2 - Bài 7+8

 BÀI 7 +8: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tính chất của đường nối tâm
 Đường nối tâm ( Đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn ) là trục đối xứng của hình tạo bởi 
hai đường tròn
 Chú ý: 
 Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
 Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung
2. Liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R, r
 a. Hai đường tròn cắt nhau
 A
 R +) R – r < OO’ < R + r 
 O'
 r O
 +)OO’ là đường trung trực của AB
 A'
 b. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài: 
 O' r R O
 A
 +) OO’ = R + r và A nằm trên OO’
 c. Hai đường tròn tiếp xúc trong
 R
 A O
 r O'
 +) OO’ = R - r
 d. Hai đài đường tròn ngoài nhau: O' r R O
 OO’ > R + r
 e. Hai đường tròn đựng nhau
 O O'
 Ta có: OO’ < R – r
 f. Hai đường tròn đồng tâm: 
 OO'
 Ta có d = 0
 Cách viết khác
Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và (O’:r) với R > r Số điểm Hệ thức giữa d và 
 chung R,r
Hai đường tròn cắt nhau 2 R - r < d < R + r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau 1
 - Tiếp xúc ngoài d = R + r
 - Tiếp xúc trong d = R - r
Hai đường tròn không giao nhau 0
- Ở ngoài nhau d > R + r
- (O) đựng (O’) d < R - r
 - (O) và (O’) đồng tâm D = 0 II.CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau
Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến 
trường hợp hai đường tròn tiếp xúc nhau
Bài 1: Cho (O; 5cm) và điểm O sao cho OO = 7cm. Với giá trị nào của R thì (O; R ):
 a) Cắt đường tròn (O)
 b) Tiếp xúc với (O)
 c) Không có điểm chung với (O) ?
HD:
 Ta gọi R= 5 cm, d = OO = 7cm
 a)Cắt đường tròn (O). Khi R – R’ < d < R + R’ hoặc R’ – R < d < R + R’
 b)Tiếp xúc với (O)
 Tiếp xúc trong d = R – R’ hoặc d = R’ – R
 Tiếp xúc ngoài d = R + R’
 c)Không có điểm chung với (O) 
 Ngoài nhau d > R + R’
 Hoặc trong nhau d< R-R’ , d< R’-R.
Bài 2: Cho I là trung điểm của của đọan thẳng AB. Vẽ các đường tròn (I; IA) và (B; BA).
 a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (I) và (B).
 b) Đ/thẳng qua A cắt các đường tròn (I) và (B) theo thứ tự tại M và N. So sánh AM và MN. 
HD:
 I
 A B
 M
 N 1
 a) Vì R IA , R BA R R và (I) và (B) chung điểm A. suy ra 2 đường tròn (I) và 
 I B I 2 B
(B) tiếp xúc trong.
 AB
 b) Ta có IM IA IB R IM 
 B 2
 Suy ra AMB vuông tại M (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
 nên BM  AN mà AN là dây cung (B) nên M là trung điểm AN suy ra AM =MN
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O ) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của 
hai đường tròn (C (O), D (O )).
 a)Tính C· AD . b)Tính CD biết OA = 4,5cm và O A = 2cm.
HD:
 C
 I
 1 4 D
 2 3
 O A O'
 a) Kẻ tiếp tuyến chung Ax cắt CD tại I
 Ta có CI, AI là 2 tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên CI = IA (1)
 IA, ID là 2 tiếp tuyến cắt nhau của (O') nên IA = ID (2)
 CD
 Từ (1) (2) suy ra IA = IC = ID IA 
 2
 Suy ra CAD vuông tại A (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
 C· AD 900
 b) Ta có CI, IA là 2 tiếp tuyến cắt nhau nên IO là tia phân giác của C· IA
 1
 Iµ Iµ C· IA
 1 2 2
 1
 chứng minh tương tự Iµ Iµ ·AID
 3 4 2 1 1
 O· IO ' Iµ Iµ C· IA ·AID .1800 900 OIO ' vuông tại I
 2 3 2 2
 OIO ' vuông tại I và IA là đường cao
 IA OA.O ' A (hệ thức lượng)
 4,5.2 3(cm)
 Mà CD = 2IA =2.3 = 6 (cm)
Bài 4: Cho đường tròn (O; 3cm) và đường tròn (O ; 1cm) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Vẽ hai bán 
kính OB và O C song song với nhau và thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ OO .
 a) Tính B· AC
 b) Gọi I là giao điểm của BC và OO . Tính OI.
HD:
 B
 C
 1
 2 O1 I
 O A O'
 a) Vì O 'C / /OB C· O ' A ·AOB 1800 (trong cùng phía )
 Lại có O 'CA cân tại O'
 1800 C· O ' A
 ·ACO ' C· AO ' 
 2
 1800 B· OA
 cmtt vs OBA B· AO O· BA 
 2
 Và B· OA ·AO 'C 1800 (trong cùng phía)
 1800 O¶ / 1800 O¶ / O· / O¶ 1800
 ·ACO ' B· AO 1 2 1800 1 2 1800 900
 2 2 2 2
 Mà ·ACO ' B· AC B· AO 1800 (kề bù) nên B· AC 900
 b) Ta có OO ' OA AO ' 3 1 4(cm),OB 3cm,O 'C 1cm O 'C O ' I
 Vì O 'C / /OB (Ta let)
 OB OI
 1 OI OO ' 1 OI 4
 hay OI 6(cm)
 3 OI 3 OI
Bài 5: Cho (O; R) và điểm I cách O một khoảng d < R. Với giá trị nào của r thì đường tròn (I; r) 
tiếp xúc với (O; R) ?
HD:
 Vì d < R nên chỉ có thể tiếp xúc trong. Nên R= d+r hoặc r=d+R.
Bài 6: Cho hai đường tròn (O) và (O ) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Đường thẳng bất kì qua A cắt (O) 
và (O ) theo thứ tự tại B và C. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại B và C song với nhau.
HD:
 Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn và O, A, M thẳng hàng.
 Tam giác MAB và tam giác NAC cân.
 Chứng minh hai góc NCA và MBA bằng nhau rồi suy ra MB// NC (so le trong).
Bài 7: Cho ABC vuông tại A. Vẽ các đường tròn (O) và (I) đi qua A và tiếp xúc với BC tại các 
điểm B và C. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:
 a) Các đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau.
 b) AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (I).
 c) OMI vuông.
 d) BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OMI. 
HD: I
 E
 A
 O
 2 3
 1 4
 C
 B M
a)Ta có OI OA AI RO RI (I) và (O) tiếp xúc nhau
b)Vì BAC vuông tại A, AM là trung tuyến nên AM = BM
Xét OBM & OAM có:
 OM chung
 OA OB RO
 AM BM (cmt)
 OBM OAM (ccc) O· AM O· BM 900
và A (O) AM là tiếp tuyến của (O)
Cmtt AM là tiếp tuyến của (I)
 1
c)Vì OBM OAM (cmt) M¶ M¶ ·AMB
 2 1 2
 1
Cmtt M¶ M¶ ·AMC
 3 4 2
 1 1
 O· MI M¶ M¶ ·AMB ·AMC .1800 900
 2 3 2 2
 O· MI 900 OMI vuông tại M
d)Gọi E là trung điểm cạnh OI
Vì OMI vuông tại M lại có ME là đường trung tuyến 
nên ME = OE = IE = RE M (E) (1)
Tứ giác OBCI có OB và IC cùng vuông góc với BC
nên OBCI là hình thang, có M là trung điểm BC, E là trung điểm OI
suy ra ME là đường trung bình hình thang OBCI
 ME / / CI màCI  BC ME  BC (2)
Từ (1) và (2) BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OMI Bài 8: Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC với B thuộc 
(O), C thuộc (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I
 a. Vẽ đường kính BOD và CO’E. Chứng minh các bộ ba điểm B, A, E và C, A, D thẳng 
hàng
 b. Chứng minh BAC, DAE có diện tích bằng nhau
 c. Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp OKO ' tiếp xúc với BC 
 d. Cho OA = 4,5cm, O’A = 2cm. Tính AI, BC, CA
HD:
 B
 C
 O O'
 A
 E
 D
 a. Xét BAC , có BI = IC = AI BAC vuông tại A BAˆC 900 
 Lại có BAˆD CAˆE 900 điều phải chứng minh
 b. Ta có BAD : EAC(gg) AD.AE AB.AC SABC SDAE 
 c. Có OIO'K là hình chữ nhật ( hình bình hành có 1 góc vuông )
 Vậy đường tròn ngoại tiếp OKO ' chính là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, có đường 
kính là IK mà IK  BC  I .
 d. Ta có AI 2 OA.O ' A 4,5.2 9 AI 3cm 
 1 1 1 1 1 5
 Xét BCD(Bˆ 900 ) AB 2,68cm 
 AB2 BC 2 BD2 9 36 36
 ABC(Aˆ 900 ) BC 2 AB2 AC 2 CA2 BC 2 AB2 36 7,2
 Xét 
 AC 5,4cm
Bài 9: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO’C. Gọi 
DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Gọi M là giao điểm của BD và CE
 a. Tính DAˆ E
 b. ADME là hình gì ? Vì sao ? c. Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
 d. Chứng minh : MD. MB = ME. MC
 e. Gọi H là trung điểm của BC, chứng minh rằng MH  DE 
 M
 1
 D 1
 I
 E
 2
 1 1 2 C
 A O'
 O H
 B
HD:
 Aˆ (1800 Oˆ ) : 2
 1 1 ˆ ˆ 0 ˆ 0
 a. Ta có A1 A2 90 DAE 90
 ˆ 0 ˆ
 A2 (180 O2 ') : 2
 b. Có ADME là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật )
 c. Gọi I là giao điểm của DE và AM ID IA 
 IAO IDO(ccc) IAˆO IDˆO 900 MA  OA  A (O) 
 Chứng minh tương tự MA  O ' A  A (O ')
 Vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
 d. Ta có MAB(Aˆ 900 ), AD  MB MA2 MD.MB
 MAC(Aˆ 900 ), AE  MC MA2 ME.MC MB.MD ME.MC
 ˆ ˆ ˆ ˆ 0
 e. M1 D1 B1 BMA 90 MH  DE
Bài 10: Cho ba điểm J, I, J’ cùng nằm trên 1 đường thẳng theo thứ tự đó. Cho biết IJ = 10cm, IJ’ = 
4cm. Vẽ đường tròn (O) đường kính IJ và đường tròn (O’) đường kính IJ’
 a. Chứng minh (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở I
 b. Gọi A là 1 điểm trên đường tròn (O), tia AI cắt (O’) ở A’. CMR: AIJ : A'IJ'
 c. Qua điểm I kẻ 1 cát tuyến cắt (O) ở B ( B và A thuộc hai nửa mặt phẳng bờ IJ ), cắt 
đường tròn (O’) ở B’. Chứng minh IAB : IA' B '
 d. Chứng minh rằng OAB : O ' A' B ' e. ABA' B ' là hình gì vì sao ?
 B
 1
 A'
 3 1
 J 2 4 O' J'
 O I 1
 B'
 A
HD :
 a. Ta có OO’ = OI + O’I vậy Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại I
 Aˆ Aˆ ' 900
 b. Xét AIJ : A'IJ' có : AIJ : A'IJ'(gg) 
 ˆ ˆ
 I1 I2 (dd)
 IA IJ 10 5
 c. AIJ : A'IJ'(gg) (1)
 IA' IJ' 4 2
 IB OB 5
 OIB : O ' IB '(gg) OB // O ' B ' Bˆ Bˆ ' (2)
 1 1 IB ' O ' B ' 2
 IA IB 5
 Từ (1)(2) ; AIˆB A' IˆB ' IAB : IA' B '(cgc)
 IA' IB ' 2
 AB IA 5 OA OB 5 OA OB AB
 IAB : IA' B '(cgc) ; 
 d. A' B ' IA' 2 O ' A' O ' B ' 2 O ' A' O ' B ' A' B '
 AOB : A'O ' B '(ccc)
 e. AOˆB : A'O ˆ' B ' OBˆA O ' B ˆ' A';OBˆI O ' B ˆ' I ' ABˆI A' B ˆ' I ' AB // A' B '
 Tứ giác ABA’B’ có hai cạnh đối song song vậy là hình thang.
Bài 11: Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự đó trên một đường thẳng và AB = 4BC. Trên cùng một nửa 
măt phẳng bờ AC vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm O’ có đường 
kính BC. Tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn có tiếp điểm với đường tròn (O) ở F với nửa 
đường tròn (O’) ở G, cắt các tiếp tuyến vẽ từ A và C của hai nửa đường tròn đó ở D và E. Tiếp 
tuyến chung của hai nửa đường tròn ở B cắt DE ở I
 a. Chứng minh các tam giác OIO’, OID, O’IE là các tam giác vuông