Kế hoạch dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chương 2 - Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

 BÀI 5: DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là một tiếp tuyến của đường tròn nếu nó chỉ có 1 điểm 
chung với đường tròn đó
 O
2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
 a. Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua 
điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
 b. Theo định nghĩa
 Hoặc viết cách khác: đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) khi nó thỏa mãn:
 Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a bằng R
 Đường thẳng a và (O;R) chỉ có 1 điểm chung
 Đường thẳng a đi qua điểm M thuộc (O;R) và OM vuông góc với a
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn
Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại tiếp điểm 
C, ta có thể làm theo một trong các cách sau
 Cách 1: Chứng minh C nằm trên (O) và OC vuông góc với a tại C
 Cách 2: Kẻ OH vuông góc với a tại H và chứng minh OH = OC = R
 Cách 3: Vẽ tiếp tuyến a’ của (O) và chứng minh a trùng với a’.
Bài 1:Cho tam giác ABC có AB 6cm, AC 8cm, BC 10cm. Vẽ đường tròn B; BA . Chứng 
minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B) HD:
 Ta có: BC 2 AB2 AC 2 BAˆC 900 BA  AC
Bài 2:Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh
 a) Đường tròn đường kính AI đi qua K
 b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI
 A
 O
 K
 I
 B H C
HD:
 a) Chứng minh được BKˆA 900
 b) Gọi O là trung điểm của AI. Ta có: 
 OK OA OKˆA OAˆK
 OAˆK HBˆK (cùng phụ với ACˆB )
 HB HK HBˆK HKˆB OKˆA HKˆB HKˆO 900
Bài 3: Cho đường tròn (O) và một dây AB. Gọi M là trung điểm của AB,vẽ bán kính OI đi qua M. 
Từ I vẽ đường thẳng xy // AB. CMR: xy là tiếp tuyến của đường tròn (O)
 O
 A M B
 x I y HD:
 Xét đường tròn (O), ta có OI  AB ( đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuôn góc 
với dây )
 Mà : xy // AB OI  xy  I xy là tiếp tuyến của đường tròn.
Bài 4:Cho tam giác ABC có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H
 a. Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên 1 đường tròn
 b. Gọi (O) là đường tròn đi qua bốn điểm A, D, H, E và M là trung điểm của BC. Chứng 
minh ME là tiếp tuyến của (O).
 A
 D
 O
 E
 H
 B
 M C
HD:
 AH AH
 a)Xét ADH (Hˆ 900 ) D (O; ); AEH (Eˆ 900 ) E (O; ) . 
 2 2
 Vậy 4 điểm A, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn
 b) Xét BEC(Eˆ 900 ) , M là trung điểm cảu BC EM MC EMC cân tại M 
 CEˆM ECˆM
 Ta lại có AOE cân tại O AEˆO EAˆO
 Mặt khác EAˆO ECˆM ( cùng phụ với ABˆC ) và AEˆO OEˆC 900
 MEˆC CEˆO 900 OE  ME ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 5:Cho (O;R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho CAˆB 300 , trên tia đối của tia BA lấy điểm 
M sao cho BM = R. Chứng minh rằng
 a. MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
 b. MC2 = 3.R2 C
 A
 O B M
HD :
 a. Ta có ACˆB 900 ABˆC 600 BOC đều BC OB BM R
 Vậy OCM vuông tại C ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )
 OM  OC MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
 b. BMC cân tại B BCˆM Mˆ 300
 MC MB
 BCM : CAM (gg) MC 2 MA.MB 3R2
 MA MC
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 8cm, AC = 15cm. Vẽ đường cao AH. Gọi D là 
điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E
 a. Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn
 b. Tính HE
 A
 1 F
 E
 1
 2
 B C
 H D O
HD :
 a. Ta có E thuộc đường tròn (O) DEˆC 900 DE // AB
 +) Gọi F là trung điểm của AE HF là đường trung bình của hình thang ABDE 
 ˆ ˆ
 HF  AE AHE cân tại H A1 E1 +)Ta có : EOC cân tại O 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 0
 E2 C E1 E2 A1 C 90 HEO 90 HE  OE đpcm
 b. Xét ABC(Aˆ 900 ) BC 17cm
 120
 Ta có : AH . BC = AB . AC AH HE (cm)
 17
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm (O). Vẽ hình bình hành ABCD, tiếp 
tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng
 a. Đường thẳng AD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
 b. AC, BD, ON đồng quy
 A D
 N
 I
 O
 B C
HD :
 a. Ta có ABC cân tại A OA  BC(1)
 Vì tứ giác ABCD là hình bình hành AD // BC(2)
 Từ (1)(2) AD  OA dpcm
 b. Gọi I là giao điểm của AC và BD I là trung điểm của AC 
 I ON ( NA, NC là tiếp tuyến ) AC, BD, ON đồng quy (đpcm)
Bài 8:Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm D đường kính BC cắt AC và AB lần lượt ở 
E và F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng
 a. A, E, H, F cùng thuộc 1 đường tròn
 b. DE là tiếp tuyến của đường tròn ở câu a A
 O
 F 2 E
 1
 1
 1
 B C
 D
HD :
 a. Ta có D là tâm đường tròn đường kính BC DC DB DE DF
 BEC; BFC vuông.
 AH
 +) Gọi O là trung điểm của AH OF=OE=
 2
 Vậy 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc 1 đường tròn
 b. Có H là trực tâm ABC AD là đường trung trực của BC
 A,H,D thẳng hàng
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 0
 Mà B1 E1;E2 H2 H1 E1 E2 H1 H2 90 OED 90
 Suy ra : DE là tiếp tuyến (đpcm) 
Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qu điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến 
d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là 
chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:
 a)CE = CF. b)AC là tia phân giác của B· AE . c)CH2 = AE . BF
 HD : a) Chứng minh:CE CF
 Dễ dàng chứng minh được tứ giác ABFE là hình thang.
 Hình thang ABFE cóOA OB;OC / / AE / /BF nên CE CF
 b) Chứng minh: AC là phân giác của B· AE
 + Tam giác OAC cân tại O nên O· CA O· AC
 + AE / /OC nên E· AC O· CA (so le trong)
 + Nên O· AC E· AC
 +Do đó: AC là phân giác của B· AE
 c) C/minh: CH 2 AE.BF
 +Dễ dàng chứng minh được CAE CAH (c.huyền- góc nhọn) AE AH
 + Tương tự chứng minh được CBF CBH (c.huyền- góc nhọn) BF BH
 +Tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên VABC vuông tại C
 + Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại C ; đường cao HC có:
 CH 2 HA.HB Hay CH 2 AE.BF (đpcm)
Bài 10: Cho ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B ; BA) và đường tròn (C ; CA), chúng cắt nhau 
tại điểm D (khác A). C/minh CD là tiếp tuyến của (B). 
HD :
 B
 D
 A C
 Chứng minh BDC BAC c.c.c Dˆ Aˆ 900 CD  BD Suy ra CD là tiếp tuyến của ( B).
Bài 11 : Cho ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. 
Chứng minh:
 a) Điểm E nằm trên đường tròn (O).
 b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
 Â
HD :
 O
 E
 H
 B D C
 a. Ta có OE OA OH R E nằm trên ( O).
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
 b. OHE cân tại O suy ra E1 H1; H1 H2 H2 E1
 BEC vuông có ED là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
 ED DB BDE cân tại D
 ˆ ˆ
 E2 B1
 ˆ ˆ ˆ ˆ 0
 Ta có E1 E2 H2 B1 90 ED  OE
 Suy ra ED là tiếp tuyến của (O).
Bài 12: Cho điểm M trên (O; R) đường kính AB. Gọi H là trung điểm của BM, OH cắt (O) tại I và 
cắt tiếp tuyến tại B của (O) ở điểm D. Gọi N là hình chiếu của I trên AM. Chứng minh: NI và DM 
là các tiếp tuyến của (O).
HD : N
 M
 D
 I
 H
 A O B +) Ta có HM AB(gt) OH  MB ( lh đường kính và dây cung)
 Cm được tứ giác MHIN là hình chữ nhật NI  OI
 Suy ra NI là tiếp tuyến của (O)
 ˆ ˆ
 +) OMB cân tại O có OH là đường cao đồng thời là đường phân giác O1 O2
 OMD OBD(cgc) O· MD O· BD 900 OM  MD
 Suy ra MD là tiếp tuyến của (O).
Bài 13: Trên tiếp tuyến tại A của (O; R) lấy điểm B với AB = R. Từ A kẻ đường vuông góc với 
OB tại H, cắt (O) tại C. OB cắt cung nhỏ AC tại I.
 a) Chứng minh: BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
 b) Tính theo R độ dài BH, IH và AI.
HD :
 B
 I C
 H
 A O
 a)Chứng minh BCO BAO(c.g.c) O· CB O· AB 900 BC  OC
 Suy ra BC là tiếp tuyến của (O).
 b) Tính được OB R 2
 OAB vuông cân tại A có AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến
 và ·ABO ·AOB 450
 OB R 2
 Suy ra BH AH
 2 2
 OAI cân tại O O· AI O· IA 67,50
 Tính được IH,AI dựa vào tỉ số lượng giác.
Bài 14 : Cho ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm B, bán kính 
BA, đường tròn này cắt AH tại điểm thứ hai là D. a)Chứng minh: CD tiếp xúc với đường tròn (B ; BA).
 b)Gọi I là đối xứng của B qua AH, đường thẳng AI cắt CD tại E. Chứng minh: A, H, E, C 
cùng thuộc một đường tròn. Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn này. 
HD :
 D
 B
 H
 E
 I
 A C
 a. Có ABD cân tại B có BH là đường cao đồng thời là đường phân giác, đường trung trực
 ˆ ˆ
 B1 B2
 Chứng minh BDC BAC(cgc) Dˆ Aˆ 900 BD  DC
 Suy ra: DC tiếp xúc với đường tròn (B;BA)
 b. Chỉ ra AE // BD từ đó suy ra AE  DC . Dễ dàng chứng minh được A,H,E, C cùng 
thuộc đường tròn đường kính AC Và BA là tiếp tuyến tại A của đường tròn đường kính AC
Bài 15: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C nằm trên đường tròn (C khác A và 
B). Gọi D là trung điểm của AC.
 a)Tính số đo ODA và chứng tỏ rằng OD song song với BC.
 b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia OD tại E. Chứng minh: EC là tiếp tuyến của (O).
HD :
 M
 C
 E
 D
 A B
 O