Kế hoạch dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chương 2 - Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

 BÀI 3: LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
I.TÓM TĂT LÝ THUYẾT
 A B
 O
 C D
1. Trong một đường tròn
 Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
 Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
 OH  AB,OK  CD; AB CD OH OK
2. Trong hai dây của một đường tròn
 Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
 Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1: Tính khoảng cách, độ dài đoạn thẳng
Bài 1: Cho đường tròn tâm O và hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA 
= 2cm, IB = 4cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây
 C
 K O
 A
 H B
 D
HD: Vẽ OH  AB,OK  CD , ta được: HA HB 3cm
 IA 2cm IH 1cm
 Xét OKIH có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật 
 OK HI OH OK 1cm (hai dây bằng nhau cách đều tâm)
Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính OA = 11cm. Điểm M thuộc bán kinh OA và cách O một 
khoảng 7cm. Qua M kẻ dây CD có độ dài 18cm. Tính MC, MD ( MC < MD )
 C
 7
 A 4 O
 M
 H
 D
HD :
 Kẻ OH  CD HC HD 9cm
 Xét OHD(Hˆ 900 ) OH 2 40 OH 2 10(cm)
 Xét OHM (Hˆ 900 ) MH 2 9 MH 3(cm)
 Ta có : MD = MH + HD = 12 cm ; MC = HC – MH = 6cm.
Bài 3: Cho đường tròn tâm O, dây AB = 24cm, AC = 20cm ( BAˆC 900 ) và điểm O nằm trong 
BAˆC . Gọi M là trung điểm của AC, khoảng cách từ M đến AB là 8cm
 a. Chứng minh rằng ABC cân tại C
 b. Tính bán kính của đường tròn
 H K
 A B
 O
 M
 C HD:
 a. Kẻ MH  AB tại H, CK  AB tại K 
 MH là đường trung bình của AKC AM 10cm; AH 6cm
 1
 AK 12cm AK AB
 2
 Xét ABC , có CK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến 
 ABC cân tại C (CK đi qua O vì CK là đường trung tuyến của tam giác ABC)
 b. Ta có MA = MC 
 MC OC 10 OC
 OM  AC OMC : AKC(gg) OC 12,5(cm)
 KC AC 16 20
Bài 4: Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB = 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có 
khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.
HD:
 K
 C D
 O
 A H B
 Ta tính được: OH 15(cm) OK HK OH 22 15 7(cm)
 Áp dụng định lý Py – Ta – Go vào OKC vuông tại K 
 Có OK = 7cm, OC= 25cm, ta tính được KC = 24 cm, từ đó suy ra CD = 2KC=48 cm.
Bài 5: Cho đường tròn tâm O có các dây cung AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. 
Biết IC = 2cm, ID = 14cm. Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây.
HD: C
 K
 A B
 I
 H
 O
 D Kè OK, OH lần lượt vuông góc với AB, CD. 
 1
 Tứ giác OHIK là hình chữ nhật HI OK HC IC CD IC 8 2 6
 2
 Mặt khác CD AB OH OK 6(cm) ( QH giữa dây và kc từ tâm đến dây)
 Vậy khoảng cách từ tâm đến mỗi dây là 6cm.
Bài 6: Cho đường tròn (O; 5cm), hai dây AB, CD (AB // CD), biết AB = 8cm, CD = 6cm. Tính 
khoảng cách giữa hai dây. 
HD:
 C K D
 A B H
 H A B
 O O
 C K D
 H.a
 H.b
 Kẻ OH, OK lần lượt vuông góc với AB và CD (O,H,K thẳng hàng)
 AB
 OHAvuông tại H có OA 5cm; HA 4cm
 2
 Áp dụng định lý Py-Ta-Go ta tính được OH=3cm.
 Tương tự ta tính được OK=4cm, Từ đó suy ra khoảng cách giữa hai dây AB và CD là 
 HK=OK-OH=4-3=1(cm)( Hình a)
 HK=OK+OH=4+3=7 (cm) (Hình b)
 Dạng 2: So sánh dây Bài 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC  OA tại A. Vẽ dây EF 
bất kỳ đi qua A và không vuông góc với OA. So sánh BC và EF .
HD:
 C
 F
 O A
 I
 B
 E
 Kẻ OI vuông góc với EF tại I. OIA vuông tại I có OI OA
 Suy ra EF BC ( Quan hệ giữa dây và kc từ tâm đến dây)
Bài 2: Cho đường tròn (O), dây AB và CD (AB > CD) cắt nhau tại M. Gọi H và K lần lượt là trung 
điểm của AB và CD. So sánh MH và MK (Chú ý: xét 2 trường hợp của điểm M). 
HD:
 A D
 H
 B
 M
 O
 K
 C
 TH1: M nằm trong đường tròn O
 Vì AB CD OH OK ( LH giữa dây và kc từ tâm đến dây)
 Trong OHM vuông tại H có: OM 2 OH 2 MH 2 ( Đl Py-Ta-oo)
 Trong OKM vuông tại H có: OM 2 OK 2 MK 2 ( Đl Py-Ta-go)
 Suy ra: OH 2 MH 2 OK 2 MK 2 MH 2 MK 2 OK 2 OH 2
 Mà OH<OK OH 2 OK 2 OK 2 OH 2 0 , do đó: MH 2 MK 2 MH MK
 TH2: M nằm ngoài đường tròn: Chứng minh tương tự. Bài 3: Cho ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có Aµ Bµ Cµ . Gọi OH, OI, OK lần lượt là khoảng 
cách từ O đến BC, AC và AB. So sánh các độ dài OH, OI, OK.
HD:
 A
 I
 C
 K O
 H
 B
 ABC nội tiếpđường tròn O nêm ba cạnh AB,AC,BC là ba dây củađường tròn O.
 Vì µA Bµ Cµ BC AC AB ( Quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác) 
 OH OI OK ( Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)
Bài 4: Cho đường tròn (O), dây AB và CD (AB < CD) cắt nhau tại K nằm bên ngoài đường tròn. 
Đường tròn (O ; OK) cắ KA và BC lần lượt tạo M và N. So sánh KM và KN.
HD:
 Dạng 3: Chứng minh 
Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB = 8cm.
 a)Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
 b)Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. 
Chứng minh CD = AB.
HD:
 C
 O
 H
 I
 A M B
 D
 Kẻ OM vuông góc với AB tại M ( OM là khoảng cách từ O đến dây AB)
 Từ đó suy ra: M là trung điểm của AB ( QH vuông góc giữa đường kính và dây) AB
 MA MB 4(cm)
 4
 Xét OMA vuông tại M:
 OA2 OM 2 MA2 (Py Ta Go)
 OM 2 OA2 MA2 52 42 9 OM 3(cm) (1)
 Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 3cm.
 b) Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến dây CD ( OH vuông góc với CD tại H)
 Tứ giác OMIH là hình chữ nhật OH MI mà MI MA AI 4 1 3(cm)
 OH 3cm (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: OM OH 3cm AB CD ( Liên hệ giữa dây và k.cách từ tâm đến dây)
Bài 2: Cho (O) có các dây cung AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại E nằm nên 
ngoài đường tròn. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của của AB và CD. Chứng minh:
 a) EH = EK b) EA = EC.
HD:
 E
 B
 H
 A
 D
 O
 K
 C
 Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD nên OH  AB;OK  CD
 a) OHE OKE ( Hai cạnh góc vuông) EH EK ( hai cạnh tương ứng)
 b) Có HA=HB=KC=KD ( vì AB=CD) EH HA EK KC EA EC
Bài 3: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD (AB = CD) cắt nhau tại I nằm bên trong đường tròn. 
Chứng minh: a) OI là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD. 
 b) I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.
HD:
 D
 B
 H
 I
 2
 A 1
 K
 O
 C
 Kẻ OH, OK lần lượt vuông góc với AB và CD.( OH=OK do AB=CD
 µ µ
 a) OHI OKI ( cạnh huyền - cạnh góc vuông) I2 I1 ( hai góc tương ứng) IO là tia 
phân giác của góc CIB.
 b) Do OHI OKI IH IK ID ID; IC IB
Bài 4: Cho đường tròn (O), dây AB bất kỳ không đi qua tâm. Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm phân 
biệt C, D sao cho D nằm trên cung nhỏ AC và AD = BC. Chứng minh: CD // AB. 
HD:
Bài 5: Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây 
AB  OI tại I. Chứng minh rằng AB là dây cung ngắn hơn mọi dây cung khác đi qua I.
HD:
 B
 D
 O I
 H
 A
 C
 Gọi CD là dây bất kỳ ( Khác AB) đi qua I. Kè OH vuông góc với CD.
 OHI vuông tại H có OHAB ( Liên hệ giữa dây và khoảng cách ..) Bài 6: Cho đường tròn (O), các bán kính OA, OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho 
AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng:
 a) OC là tia phân giác của A· OB . b) OC  AB.
 C M
 N B
 I
 B C
 I
 M N
 H
 H 3 4
 2
 1 A O
 A O
 H.2
 H.1
HD:
 Kẻ OH và OI lần lượt vuông góc với AM và BN
 µ ¶
 a) chứng minh: OHA OIB ( Cạnh huyền - cạnh góc vuông) O1 O4
 ¶ ¶
 Tương tự: OHC OIC ( Cạnh huyền - cạnh góc vuông) O2 O3
 ¶ ¶ ¶ ¶ ·
 O1 O2 O3 O4 , từđó suy ra OC làtia phân giác của AOB
 b) Chứng minh OC làđường trung trực của AB, từđó suy ra OC  AB
Bài 7: Cho (O; R) và một điểm A cố định với OA = R/2. Một dây cung MN quay quanh A. 
 a) Chứng minh: trung điểm của MN thuộc một đường tròn cố định.
 b) Xác định vị trí của MN để độ dài MN ngắn nhất ? Dài nhất ? Tính độ dài ngắn nhất, dài 
 nhất đó của MN.
HD:
 N
 I
 O
 A
 M
 a) Ta có: IM IN =>OI  MN tại I (quan hệ đường kính và dây cung)
 =>O· IA 900
 Mà AO cố định nên khi MN di động thì I cũng di động nhưng luôn nhìn AO cố định dưới 
một góc 900 .
 Vậy khi MN di động trung điểm I của MN luôn nằm trên đường tròn cố định
 b) + Xét OIA  I có OI OA
 Để MN ngắn nhất thì OI dài nhất
 OI OA I trùng với A
 A là trung điểm của MN
 Vậy MN  OA thì MN ngắn nhất
 R2
 MN 2MA 2. R2 R 3
 4
 + Ta có: MN 2R
 MN dài nhất khi MN 2R
 Vậy MN dài nhất khi MN là đường kính của O 
Bài 8: Cho ABC vuông tại A, M là điểm di động trên cạnh huyền BC. Gọi (O) là đường tròn 
đường kính AM.
 a) Chứng minh: (O) luôn đi qua hai điểm cố định.
 b) (O) cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Định vị trí của M sao cho độ dài EF nhỏ nhất.
HD: