Kế hoạch dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chương 2 - Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

 BÀI 2: ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 1. So sánh độ dài của đường kính và dây
 C
 - Trong các dậy của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
 A B
 O 2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
 - Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi 
 D
 qua trung điểm của dây ấy
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông 
góc với dây ấy.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức sau đây
 1. Trong một đ/tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
 2. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì 
vuông góc với dây ấy
 3. Dùng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Bài 1: Cho đường tròn tâm O, hai dây AB và CD vuông góc với nhau ở M. Biết AB = 18cm, CD = 
14cm, MC = 4cm. Hãy tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây AB và CD.
HD:
 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O trên AB và CD OH  AB HA HB 9cm
 Ta có: 
 OK  CD KD KC 7cm
 Mà: KC KM MC KM KC MC 7 4 3cm OH MK 3cm
 Xét OHB(Hˆ 900 ) OB2 OH 2 HB2 OB OD 3 10(cm)
 Xét OKD(Kˆ 900 ) OD2 OK 2 DK 2 OK 41(cm)
Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm và hai dây AB và AC. Cho biết AB 5cm AC 2cm, 
hãy tính khoảng cách từ O đến mỗi dây
HD:
 Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, AC
 11
 Tính được: OH cm ;OK 2 2 cm 
 2
Bài 3: Cho đường tròn O; R có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử 
IA 2cm, IB 4cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây. HD:
 Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, CD
 Ta có: OH OK 1 cm 
Bài 4: Cho đường tròn O và dây CD. Từ O kẻ tia vuông góc với CD tại M, cắt O tại H. Tính 
bán kính R của O biết CD 16cm, MH 4cm
 H
 D
 4 M
 16
 C O
HD:
 Đặt OH x cm . Ta có OM x 4 cm 
 Áp dụng định lý Pytago ta được: x 10 cm 
Bài 5: Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại 
trung điểm của OA. Tính BC.
HD:
 B
 H
 O A
 3cm
 C
 Gọi H là trung điểm của OA
 OA 3
 OH (cm)
 2 2
 Xét tam giác OBH vuông tại H. Theo định lý Pitago ta có: 2
 2 2 2 2 2 3 27
 OB OH BH BH 3 
 2 4
 3 3
 BH (cm)
 2
 Xét (O;R), có:
 Bán kính OA vuông góc với dây BC
 H là trung điểm của BC
 BC 2BH 3 3 (cm)
Bài 6: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 13cm, dây CD có độ dài 12cm vuông góc với AB 
tại H
 a. Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB
 b. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác CMHN.
 C
 N
 M
 A B
 H O 13
 12
 D
HD : 
 a. Ta có AB  CD HC HD 6cm
 2
 0 CH AH.HA HA.HB 36 HA 4cm
 Xét ABC(Cˆ 90 ) 
 HA HB 13 HA HB 13 HB 9cm
 b. Cách 1: Tứ giác CMHN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông )
 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : 1 1 1 12 13
 HN (cm)
 2 2 2 
 HN HC HB 13 216 2
 SCMHN (cm )
 1 1 1 18 13 13
 2 2 2 HM (cm)
 HM HC HA 13
 Cách 2: Ta có 
 SCHN CH 2 6 2 36 108 216 2
 CHN : ABC ( ) ( ) ;SABC 39 SCHN SCMHN (cm )
 SABC AB 13 169 13 13
Bài 7: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Dây CD cắt AB tại M, biết MC = 4cm, MD = 12cm 
và BMˆD 300 . Hãy tính
 a. Khoảng cách từ O đến CD
 b. Bán kinh của (O)
HD :
 a. Gọi OH là khoảng cách từ O đến CD OH  CD CH HD 8 MH 4cm
 OH 4 3
 Xét MHO(Hˆ 900 ), tan 300 OH (cm)
 MH 3
 b. Bán kính của đường tròn (O) chính là đoạn OD
 Ta đi tính độ dài đoạn thẳng OD dựa vào định lý pytago.
 4 3 4 39
 Xét OHD(Hˆ 900 ) OD2 OH 2 HD2 ( pytago) OD2 82 ( )2 OD (cm)
 3 3
Bài 8: Cho đường tròn (O ; R) và điểm M nằm bên trong đường tròn.
 a) Hãy nêu cách dựng AB nhận M làm trung điểm.
 b) Tính AB, biết R = 5cm, OM = 1,4cm. HD:
 B
 M
 A O
 a) Dựng đường thẳng qua M và vuông góc với OM cắt đường tròn (O ; R) tại A và B.
 Chứng minh M là trung điểm AB.
 Thật vậy, xét đường tròn (O ; R) có một phần đường kính OM vuông góc với dây AB nên 
M là trung điểm AB.
 b) Xét OMB vuông tại M có: OB2 OM 2 MB2 (Định lí Pi-ta-go)
 Mà R = 5cm, OM = 1,4cm nên 52 1,42 BM 2
 Suy ra BM 4,8cm nên AB 9,6cm
 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải:
 Dùng phương pháp chứng minh hai tam giác bằng nhau, đồng dạng với nhau
 Dùng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, quan hệ cạnh huyền cạnh góc vuông
 Sử dụng tính đường trung bình của tam giác, tính chất tứ giác đặc biệt
Bài 1: Cho nửa đường tròn O , đường kính ABvà một dây cung CD. Kẻ AE và BF vuông góc với 
CD lần lượt tại E và F. Chứng minh:
 a) CE DF
 b) E và F đều ở ngoài O HD:
 a) Gọi I là Trung điểm CD CI ID CD
 Xét hình thang AEFB, I là trung điểm EF IE IF CE DF
 b) Ta có E· AB và F· BA bù nhau nên có một góc tù và một góc nhọn 
 Giả sử E· AB 900 EAO có OE OA R E ở ngoài đường tròn mà OE OF
nên F cũng ở ngoài đường tròn.
Bài 2: Cho ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh:
 a) Bốn điểm B, E, D và C cùng nằm trên một đường tròn.
 b) DE < BC. 
HD:
 A
 D
 E
 B C
 a) Xét tứ giác BEDC có:
 B· EC 90 ; B· DC 90 
 Mà đỉnh D,E là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới góc 90 
 Suy ra tứ giác BEDC nội tiếp
 Hay bốn điểm B, E, D và C cùng nằm trên một đường tròn.
 b Xét tam giác BED có B· ED 90 
 DE DB
 Xét tam giác BDC có B· DC 90 
 BD BC
 Vậy DE BC Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K lần 
lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh: CH = DK.
HD:
 D K
 M
 C
 H
 A B
 O
 Từ O hạ OM vuông góc với CD
  M là trung điểm của CD
 CM MD (1)
 Do AH//OM//KB (cùng vuông góc HK)
 Mà O là trung điểm của AB
 Suy ra M là trung điểm của HK
 HM MK (2)
 Từ (1), (2) ta có: HC=DK
Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và K lần lượt 
là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh: CH = DK.
HD:
 D
 H
 M
 I
 A
 B O
 K
 C Từ O hạ OM vuông góc CD
 M là trung điểm của CD
 Ta có: BK//OM//AH (cùng vuông góc CD)
 MI OI MI OI
 ; 
 MK OB MH OA
 Mà O là trung điểm của AB: OA=OB
  MK=MH
 Suy ra: CK=HD
Bài 5: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn, điểm B nằm bên ngoài đường tròn 
sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đường tròn.Vẽ dây CD  OI tại I. Tứ giác ACBD là 
hình gì ? Vì sao ?
HD:
 B
 D I C
 A
 O
 Xét đường tròn (O) có OI  CD nên IC ID (định lí đường kính liên hệ giữa đường kính 
và dây cung)
 mà IA IB nên tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 6: Cho nửa đường tròn O , đường kính AB. Kẻ hai dây AC và BD song song. Chứng minh 
AC BD
HD:
 Đường thẳng qua O và vuông góc với AC và BD lần lượt tại H và K H AC, K BD 
 Ta có : AOH BOK gcg AK BK AC BD Bai 7: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và 
D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh: AM = BN.
HD:
 C
 H
 D
 A M O N B
 Kẻ OH  CD
 Mà tam giác OCD cân tại O (vì OC OD=R ) nên HC HD
 CM / /DN (cùng vuông góc với CD ) nên tứ giác CMND là hình thang hình thang
 CMND có CM / /DN / /OH và HC HD nên OM ON
 lại có OA OB=R nên AM = BN.
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. 
Qua M và N kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt tại C và D. 
Chứng minh: MC  CD và ND  CD. 
HD:
 C
 H
 D
 A M O N B
 Kẻ OH  CD
 Mà tam giác OCD cân tại O (vì OC OD=R ) nên HC HD
 Ta có OA OB=R và AM BN (gt) nên OM ON .
 Lại có CM / /DN (gt) nên tứ giác CMND là hình thang 
 Hình thangCMND có HC HD và OM ON nên OH là đường trung bình của hình thang
CMND . Do đó CM / /DN / /OH mà OH  CD (theo cách kẻ) nên MC  CD và ND  CD.