Kế hoạch dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chương 2 - Bài 1: Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn

 BÀI 1: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN, TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 1.Tập hợp các điểm M cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi bằng R là đường 
tròn tâm O bán kính R. Kí hiệu (O ; R) hoặc (O).
 OM = R M (O ; R)oooo 
 2.a.Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. 
 b.Đường tròn qua 3 đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Khi đó 
tam giác được gọi là nội tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn này là giao điểm của hai hay ba 
đường trung trực của tam giác đó.
 3.a. Tâm của đường tròn ngoại tiếp vuông là trung điểm cạnh huyền.
 b.Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là 
tam giác vuông.
 4.Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Đó là tâm của đường tròn đó.
 5.Đường tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đường kính nào của đường tròn.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1: Chứng minh các điểm cho trước cùng nằm trên một đường tròn
Phương pháp giải:
 Cách 1: Chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều 1 điểm cho trước nào đó
 Cách 2: Sử dụng kết quả: Nếu ·ABC 900 thì B thuộc đường tròn đường kính AC
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD.
 a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc một đường tròn.
 b) Cho AB = 10cm và BC = 6cm. Tính bán kính của đường tròn trên.
HD: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .
 Ta có: OA OB OC OD nên bốn điểm A , B , C , D thuộc cùng một đường tròn (tâm O , 
bán kính OA ).
 Ta có: AC 2 AB2 BC 2 102 62 136
 AC 2 34 cm
 AC
 Bán kính của đường tròn bằng 34 cm
 2
Bài 2: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung 
điểm của AB, BC, CD và DA. C/m: bốn điểm M, N, P và Q cùng nằm trên một đường tròn. 
HD:
 Xét tam giác ABD có M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC
 MN là đường trung bình của tam giác ABC . 
 MN PBD
 1 (1)
 MN BD
 2
 PQ PBD
 Chứng minh tương tự 1 (2)
 PQ BD
 2
 MN PQ
 Từ (1) và (2) ta có: .
 MN PPQ
 MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành). Lại có AC  BD (gt) MQ  QP , 
 MNPQ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).
 Gọi O là giao điểm của MP và QN
 Do MNPQ là hình chữ nhật nên OM OP OQ ON (tính chất hình chữ nhật).
 M ; N; P;Q cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính OM . (đpcm)
Bài 3: Cho ABC đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Chứng minh rằng bốn 
điểm B, C, P và M cùng nằm trên một đường tròn. 
HD:
 Xét tam giác ABC có M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC
 MN là đường trung bình của tam giác ABC
 1 1
 MN AC BC BN NC
 2 2
 1 1
 Chứng minh tương tự ta có: NP AB BC BN NC
 2 2
 MN NP NB NC
 4 điểm M , P , C , B cùng thuộc đường tròn tâm N bán kính NB . 
Bài 4: Cho hình thang cân ABCD. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và D nằm trên một đường 
tròn. HD:
 Kẻ đường trung trực EF của AB và CD . Kẻ đường trung trực của AD cắt EF tại O .
 OA OB OD OC A; B;C; D cùng thuộc đường tròn tâm O .
Bài 5: Cho tứ giác ABCD có Cµ Dµ 900 . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, 
CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên 1 đường tròn
 E
 B
 M
 A
 N Q
 C
 D P
HD:
 Xét tứ giác MNPQ, ta có:
 MQ / /NP
 MNPQ là hình bình hành (dhnb)
 MN / /PQ
 Kéo dài AD và BC cắt nhau tại E
 Ta có: Cµ Dµ 900 E 900
 MN / ED
 Lại có : MN  MQ MNPQ là hình chữ nhật (dhnb) M , N, P,Q nằm trên 1 
 MQ / /EC
 đường tròn với tâm là giao điểm của 2 đường chéo của hình chữ nhật, bán kính bằng nửa 
 đường chéo. 
Bài 6:Cho hình thoi ABCD có A 600 . Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, 
CD, DA. Chứng minh rằng 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên 1 đường tròn 
 B
 F
 E 60
 A C
 O
 G
 H
 D
HD:
 EF / /GH
 Xét tứ giác EFGH, có: EFGH là hình bình hành (dhnb)
 EH / /FG
 Lại có: H· EF 900 EFGH là hình chữ nhật (dhnb)
 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
 OE OF OG OH (1)
 OE BE
 OBE
 Xét tam giác OBE có: 0 đều OE OB OD 2 
 B 60
 Từ (1)(2) OE OB OF OG OH OD E, B, F,G, D, H (O)
Bài 7: Cho tam giác ABC và điểm M là trung điểm của BC. Hạ MD, ME theo thứ tự vuông góc 
với AB, AC. Trên tia đối của tia DB và EC lần lượt lấy các điểm I, K sao cho D là trung điểm của 
BI, E là trung điểm của CK. Chứng minh rằng B, I, K, C cùng nằm trên 1 đường tròn.
 A
 K
 I
 E
 D
 B C
 M
HD: Cách 1: sử dụng định nghĩa
 1
 Ta có: M là trung điểm BC MB MC BC(1)
 2
 MD là trung trực của BI MI MB(2)
 ME là trung trực của CK MC MK(3)
 1
 Từ (1)(2)(3) MB MC MI MK BC(dpcm)
 2
 Cách 2:
 1
 Ta có: MD là trung trực của BI MI MB BC BIC vuông tại I I (O; BC)
 2
 1
 ME là trung trực của CK MK MC BC BKC vuông tại K K (O; BC)
 2
 Vậy B, I,C, K O; BC .
Bài 8: Gọi I, K theo thứ tự là các điểm nằm trên AB, AD của hình vuông ABCD sao cho AI = AK. 
Đường thẳng kẻ qua A vuông góc với DI ở P và cắt BC ở Q. Chứng minh rằng C, D, P, Q cùng 
thuộc 1 đường tròn.
 A I
 B
 P
 K
 1
 D C
HD:
 KD CQ
 Ta có ADI BAQ(gcg) AI BQ KDCQ là hình bình hành, mà 
 KD / /CQ
 C 900 CDKQ là hình chữ nhật.
 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo CK và DQ OC OD OK OQ
 PDQ vuông cân tại P PQ OD OC Vậy 5 điểm C, D, K, P, Q cùng thuộc 1 đường tròn.
Bài 9: Cho tam giác ABC, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung 
điểm của AB, AC, HC, HB. CMR: I, J, K, L, E, F thuộc 1 đường tròn.
 A
 E
 I J
 F
 H
 L K
 B C
 D
HD:
 Ta có tứ giác IJKL là hình bình hành (dhnb) 
 Mà ILK 900 IJKL là hình chữ nhật có hai đường chéo là LJ và IK
 1
 Xét tam giác vuông ELJ vuông tại E OE LJ OJ
 2
 1
 Xét tam giác vuông FLK vuông tại I OF IK OJ
 2
 Vậy 6 điểm I, J, K, L, E, F thuộc 1 đường tròn đường kính là đường chéo của hình chữ nhật.
Bài 10:Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt 
là trung điểm của OB, CD
 a. Chứng minh rằng A, M, N, D thuộc 1 đường tròn
 b. So sánh AN và DM
 A B
 I O
 D C
HD: N
 a. Kẻ NH vuông góc với BD tại H 1
 HO HD CD
 DN NC 2 1
 Xét tam giác DOC, có: MH BD OA
 NH / /OC 1 2
 MO MB OB
 2
 A1 M1 
 Ta có: OAM HNM (cgc) AMN 900
 1 0
 A M 2 90
 1
 +) Gọi I là trung điểm của AN IA IN AN(1)
 2
 1 1
 Xét ADN(D 900 ) ID AN(2); AMN(M 900 ) MI AN(3)
 2 2
 Từ (1)(2)(3) IA IN IM ID A, M , N, D (O)
 b. Xét đường tròn (I;IA) có AN là đường kính, DM là dây không đi qua tâm AN DM
Bài 11: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, OA 2 cm. Vẽ đường tròn 
tâm A bán kính 2cm. Hãy xác định vị trí của năm điểm A, B, C, D, O so với đường tròn 
HD:
 Theo đề bài ta có: AO 2 mà BO AO 2
 AB OB2 OA2 2 AB là bán kính của đường tròn tâm A .
 Ta thấy: AB AD 2 R B , D thuộc đường tròn A;2 .
 Có: AC 2AO 2 2 2 C nằm ngoài đường tròn A;2 .
 AO 2 2 O nằm trong đường tròn A;2 . A là tâm đường tròn A;2 nên A nằm trong đường tròn A;2 .
Bài 12: Cho ABC nhọn. Vẽ (O) có đường kính BC, nó cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E.
 a) Chứng minh: CD  AB và BE  AC.
 b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh: AK  BC. 
HD:
 a) Xét tam giác BDC nội tiếp trong đường tròn O và BC là đường kính của O;OB .
 Nên tam giác BDC vuông tại D . CD  AB .
 Chứng minh tương tự ta có: tam giác BEC vuông tại E BE  AC (đpcm).
 b) K là giao điểm của hai đường cao CD và BE nên K là trực tâm của tam giác 
 ABC AK  BC .
Bài 13: Cho ABC có đường cao AH. Từ một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, kẻ MD  AB và ME 
 AC. Chứng minh: năm điểm A, D, H, M và E cùng nằm trên một đường tròn. 
HD:
 Xét t/giác ADM vuông tại D ; tam giác AME vuông 
tại E ; tam giác AMH vuông tại H . 
 D ; E ; H cùng thuộc đường tròn đường kính AM . Vậy A ; M ; D ; E ; H cùng thuộc đường tròn đường kính AM .
Bài 14: Cho ABC nhọn có ba đỉnh thuộc đường tròn (O ; R). Gọi H là trực tâm của ABC. Vẽ 
đường kính AD. 
 a) Tứ giác BHCD là hình gì ? Vì sao ?
 b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: AH = 2OI.
 c) Gọi G là trọng tâm của ABC. Chứng minh: O, H, G thẳng hàng. 
 d) So sánh diện tích của hai tam giác AHG và AOG.
HD:
 a) H là trực tâm của tam giác ABC BH vuông góc với AC .
 Mà DC  AC (Do ACD có AD là đường kính nên ·ACD 900 )
 BH PCD (1)
 H là trực tâm của tam giác ABC CH vuông góc với AB
 Mà DB  AB (Do ABD có AD là đường kính nên ·ABD 900 )
 CH PBD (2)
 Từ (1) và (2) Tứ giác BHCD có CH PBD và BH PCD .
 BHCD là hình bình hành.
 b) BHCD là hình bình hành nên đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
 I cũng là trung điểm của HD .