Kế hoạch dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chương 1 - Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

 BÀI 4: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Cho tam giác ABC vuông tại A: có BC = a, AB = c, AC = b. Ta có:
 B
 a
 c
 A b C
 b b c c
 sinB= b a.sin B;a cosB= c a.cosB;a 
 a sin B a cosB
 b b c c
 tanB= b c.tan B;c cotB= c b.cotB;b 
 c tan B b cotB
2. Trong một tam giác vuông
 Cạnh góc vuông = cạnh huyền nhân sin góc đối = cạnh huyền nhân cosin góc kề
 Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân tan góc đối hoặc cot góc kề
 Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài 
toán.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1: Giải tam giác vuông
Phương pháp giải: Để giải tam giác vuông ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc trong tam giác 
vuông
 Chú ý: Các bài toán về giải tam giác vuông bao gồm:
 +) Gải tam giác vuông khi biết độ dài 1 cạnh và số đo 1 góc nhọn
 +) Giải tam giác vuông khi biết độ dài 2 cạnh Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết:
 a)b 10(cm),C 300 b) a 20(cm), B 350
 c) a = 15cm, b = 10cm d) b = 12cm, c = 7cm
 B
 a
 c
 A b C
HD:
 20 3 10 3 
 a) Sử dụng tỉ số cosC, sinC a (cm);c (cm); B 600
 3 3
 b)b 20.sin 350 11,47(cm);c 20.cos350 16,38(cm)
 10 
 c) c 5 5(cm);SinB B 41,80 ,C 48,20
 15
 12 
 d) a 193(cm), tan B B 59,70 ,C 30,30
 7
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết:
 a) c 3,8(cm), B 510 b) a 11(cm),C 600
 B
 a
 c
 A b C
HD:
 a) Xét tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, 
ta có: AB 3,8
 CosB= cos510 BC 6(cm) AC 4,6(cm)
 BC BC
 b) Ta có: C 600 B 300 AB sin 600.11 8,6(cm); AC 4,3(cm)
Bài 3: Giải tam giác vuông ABC biết rằng  = 900 và :
 a) b = 10 cm, Cµ 300 ; b) c = 10 cm, Cµ 450 ;
 c) a = 20 cm, Bµ 350 ; d) c = 21 cm, b = 18 cm;
HD:
 a)b 10cm;Cµ 30o
 10 3 AC
 AB AC.tan30o cm; BC 20cm
 3 sin30o
 b)AB AC 10cm
 Bµ Cµ 45o ; BC 10 2
 c)AB BC.sinCµ 16,38cm; AC BC.sin Bµ 11,47cm
 AC 6
 d)BC 3 85cm; sin Bµ Bµ 41o Cµ 48o
 BC 85
 Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác
Phương pháp giải: Làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức trên bằng cách kẻ thêm 
đường cao.
Bài 1: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết HB = 2cm, HC = 64cm. Tính Bµ , Cµ .
HD:
 AH 2 HB.HC AH 8 2
 AH 8 2
 tan Bµ 4 2 Bµ 80o
 BH 2
 Cµ 90o 80o 10o
Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 6cm, Bˆ 600 ,Cˆ 400 . Hãy tính
 a) Chiều cao CH và cạnh AC
 H
 b) Diện tích tam giác ABC 
 A
 60° 40°
 B 6cm C HD:
 a) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông HCB ta có: 
 AC
 CH 3 3cm, 5,28 AC
 Sin800
 b) Áp dụng định lý pytago hoặc hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta tính 
được:
 1
 AB, BH AB 3,93cm.S 3 3.3.93 10,21cm2
 2
Bài 3: Cho tam giác ABC có BC = 11cm, ABˆC 380 , ACˆB 300 . Gọi N là chân đường vuông góc 
hạ từ A xuống cạnh BC. Hãy tính
 a) Độ dài đoạn thẳng AN b) Độ dài đoạn thẳng AC 
 A
 38° 30°
 B N C
HD:
 a) Cách 1: Sử dụng các tỉ số lượng giác trong các tam giác vuông NAB và NAC, ta có:
 BN.tan B NC.tanC
 Chú ý: BN + NC = BC
 BN 4,67cm AN 3,65cm
 Cách 2: Gợi ý: Kẻ CH  AB H
 AN
 b) Xét tam giác ANC vuông, có: AC AC 7,3cm
 SinC 
Bài 4: Cho tam giác ABC có B 600 ;C 500 , AC 35cm . Tính diện tích tam giác ABC
 A
 60° 50°
 B H C
HD:
 Xét tam giác ABC, có: A B C 1800 A 700
 Vẽ đường cao AH ( H thuộc BC )
 AH 
 Ta có: SinC AH sicC.AC sin 500.AC 26,8(cm)
 AC
 26,8 26,8
 SinB AB 38,5(cm)
 AB sin 600
 Xét tam giác ABH vuông tại H, có: BH 15,8(cm) CH 22,7(cm) BC 38,5(cm)
 1 1
 S .BC.AH .26,8.38,5 510(cm2 )
 ABC 2 2
Bài 5: Cho tam giác ABC, đường cao AH ( H thuộc BC ), B 420 , AB 12cm, BC 22cm. Tính các 
cạnh và các góc của tam giác ABC.
 A
 2
 1
 A
 40
 B C
 H 22
HD:
 0 0
 Xét tam giác ABH vuông tại H, có: B 40 A1 48
 Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có: 
 AH AB.sin B 12.sin 400 8(cm); BH AB.cosB=8,916(cm) HC=13(cm) Ta lại có: 
 AH 
 tan C 0,614 C 31030' A 58030' BAC 106030'
 HC 2
 AH
 AH AC.sin C AC 15,350(cm)
 sin C
Bài 6: Cho ABC vuông tại B, dựng tam giác ACD (B và D nằm khắc phía đối với AC). Biết 
A· CB 540 , A· CD 740 , AC = 8cm, AD = 9,6 cm. Hãy tính: AB và A· DC .
HD:
 A D
 H
 74°
 54°
 B C
 Kẻ AH  DC tại H
 AB AC.sin B· CA 8.sin 54o 6,47
 AH AC.sin ·ACD 7,69
 AH 7,69
 sin ·ADH ·ADH ·ADC 53o23'
 AD 9,6
Bài 7: Cho ABC nhọn có đường cao AH và đường trung tuyến AM. Biết Bµ 570 , AB = 9 cm, AC 
= 12 cm. Giải tam giác ABC và tính AM.
HD: A
 57° C
 B H M
 B· AH 33o
 AH AB.sin 57o 7,5cm ; BH AB.sin 33o 4,9cm
 HC 2 AC 2 HA2 HC 9,4cm
 BC BH CH 14,3cm AH
 sin Cµ Cµ 39o
 AC
 B· AC 180o (Bµ Cµ ) 84o
 BC
 MB MC 7,15
 2
 HM MB BH 2,25
 AM 2 HM 2 AH 2 AM 7,8cm
Bài 8: Cho ABC có đường cao AH. Biết AB = 25 cm, Bµ 700 , Cµ 500 . Tính độ dài AH và BC 
(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
 A
HD:
 70° 50°
 B H C
 AH AB.sin Bµ 23,49cm
 HC AH.cot Cµ 19,71cm
 BH AB.cos Bµ 8,55cm
 BC HB HC 28,26cm
Bài 9: Cho ABC có BC = 12cm, Bµ 600 , Cµ 400 . 
 a) Tính chiều cao CH và AC. b) Tính S ABC. 
HD:
 A
 H
 C
 B K
 a) 
 HC BC sin Bµ 6 3
 µA 180o 60o 40o 80o
 HC
 AC 10,55
 sin µA
 b) Gọi K là hình chiếu của điểm A trên BC AK AC.sin Cµ 6,78
 1 1
 S AK.BC .6,78.12 40,68cm2
 ABC 2 2
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD, có: A 450 , AB BD 18(cm)
 a. Tính AB b. Tính SABCD
 B C
 18
 45
 A D
 H
HD:
 a. Xét tam giác ABD, có: AB=BD nên tam giác ABD cân tại B
 kẻ BH vuông góc AD H là trung điểm của AD
 Xét tam giác AHB vuông tại H. Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác 
vuông ta có:
 BH AB.sin A 9 2(cm)
 AD 2AH 18 2(cm)
 AH AB.cosA=9 2(cm)
 1
 b. S 2.S 2. .AD.BH 324(cm2 )
 ABCD ABD 2
 0 0
Bài 11: Cho tứ giác ABCD, có: A D 90 ,C 40 , AB 4cm, AD 3cm.SABCD ?
 A 4 B
 3
 40
 C
 D H
HD:
 Kẻ BH vuông góc với CD, ta có tứ giác ABHD là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc vuông ) BH 3cm, DH 4cm
 Xét tam giác BHC vuông tại H, có: 
 BH BH 3
 t anC=tan400 HC 3,58(cm)
 HC tan 400 0,839
 (AB CD).AD (4 7,58).3
 S 17,37(cm2 )
 ABCD 2 2
 Dạng 3: Toán ứng dụng thực tế
Phương pháp giải: Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để giải quyết tình huống 
trong thực tế
Bài 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5cm. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 
xấp xỉ 420. Tính chiều cao của cột đèn?
 B
 42°
 7,5m
 A C
HD:
 Gọi chiều cao của cột đèn là AB, bóng của cột đèn trên mặt đất là AC
 Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác ABC vuông tại A, ta tính được:
 AB 6,75cm
Bài 2: Một cột đèn điện AB cao 6m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3,5m. Hãy tính BCˆA ( Làm 
tròn đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất
 B
 6m
 3,5m C
 A HD:
 Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ABC, ta có: 
 6
 tan C Cˆ ...
 3,5
Bài 3: Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 280 và có độ cao là 2,1cm. Tính độ dài của mặt 
càu trượt ( Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất )
HD:
 2,1
 Ta có độ dài cầu trượt là: 4,5m
 Sin280
Bài 4: Một con thuyền với vận tốc thực 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 
phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 70 0. Từ đó đã có thể tính được chiều 
rộng của khúc sông ? Nếu có thể hãy tính chính xác đến mét.
HD:
 H B
 70°
 A
 2km / h 33,33m / phut
 Quãng đường AB thuyền đi là S v.t 33,33.5 166,65 (m/phút)
 AH là chiều rộng của sông
 H· BAlà góc tạo bởi đường đi của thuyền và bờ sông
 AH AB.sin H· BA 166,65.sin 70o 156,6(m)
Bài 5: Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên 
phải chèo khoảng 320m mới sang đươực bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một 
góc bằng bao nhiêu ?
HD: