Kế hoạch dạy thêm Hình học Lớp 9 - Chương 1 - Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong trong tam giác vuông

 BÀI 1: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH 
 VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 Cho Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , ta có:
 A
 b
 c
 h
 b'
 B c' H C
 a
 1) Định lí Pitago: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình 
 phương của hai cạnh góc vuông
 BC 2 AB2 AC 2
 2 2 2
 Hay là: a = b + c
 2. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và 
 hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền
 2 2
 AC CH .BC AB BH .BC
 2 2
 Hay là: b = a.b'; c = a.c ' 
 3. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai 
 hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền)
 AH 2 HB.HC
 2
 Hay là: h = b'.c '
 4. Trong một tam giác vuông, Tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường 
 cao tương ứng.
 AH .BC AB.AC Hay là: a.h = b.c
 5. Trong một tam giác vuông, Nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền 
 bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông
 1 1 1
 AH 2 AC 2 AB2
 1 1 1
 = +
 2 2 2
 Hay là: h b c
 1
Chú ý: Diện tích tam giác vuông: S = ab
 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông
Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, nếu biết độ dài hai trong 
sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn lại
Bài 1: Tính x, y trong mỗi hình vẽ sau
 A A
 8 7
 6 5
 x
 B C
 B y C H
 x H
 y
 A A
 x y y
 5
 B C
 B 7 H x
 1 H 4 C
HD:
 a. Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có: Dùng định lý pytago tính BC = 10 (cm) x 3,6(cm); y 6,4(cm)
 b. Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:
 35 74
 Dùng định lý pytago tính được: BC 74 x ; y 74
 74
 c. Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:
 AH 2 HB.HC AH 2 4 AH 2 x 5; y 2 5
 d. Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:
 AH 2 25 25 5 41
 AH 2 HB.HC HC x ; y 
 HB 7 4 4
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Trong các đoạn thẳng sau: AB, AC, BC, 
AH, BH, CH hãy tính độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết:
 a) AB = 15cm; BC = 25 cm b) BH = 18 cm; CH = 32 cm
 c) AB = 6 cm; BH = 3,6 cm d) AC = 12 cm; AH = 7,2 cm
 e) AH = 7,2 cm; CH = 9,6 cm f) BC = 25cm; AH = 12cm (AB<AC)
HD:
 A
 C
 B H
 a) Tính AC,CH,BH,AH?
 +) Áp dụng định lý pytago vào tam giác ABC vuông tại A ta có :
 AC 2 BC 2 AB2 252 152 400 202
 AC 20(cm)
 +) Áp dụng hệ thức lượng ta có:
 *) AC2= BC.CH . Suy ra: 202= 25 . CH CH = 400: 25 = 16(cm) *) BH = BC – CH = 25 – 16 = 9(cm)
 *) AH.BC = AB . AC. Suy ra: AH . 25 = 15. 20 AH = 300: 25 = 12(cm)
b) Tính BC,AH,AB,AC?
 *)Ta có : BC = BH + CH = 18 + 32 = 50 (cm)
 *) AH2 = BH. CH = 18.32 = 576 AH = 24 (cm)
 *)AB2 = BC . BH = 50. 18 = 900 AB = 30(cm)
 *)AC2 = BC. CH = 50. 32 = 1600 AC = 40(cm)
c) Tính CH, BC, AC, AH?
 +) AB2 = BC . BH . Suy ra: 62 = BC . 3,6 BC = 36 : 3,6 = 10(cm)
 +)CH = BC - BH = 10 – 3,6 = 6,4(cm)
 +) AH2 = BH. CH = 3,6. 6,4 = 4,8(cm)
 +) AC2 = BC . CH = 10 . 6,4 = 64 AC = 8(cm)
 d)Tính AB, BC, BH, CH?
 HC 2 AC 2 AH 2 122 7,22 92,16 9,62
 +) 
 HC 9,6(cm)
 +) AH2 = BH. CH. Suy ra: 7,22 = BH.9,6 BH = 5,4(cm)
 +) BC = BH + HC = 5,4 + 9,6 = 15(cm)
 +) AB2 = BC . BH = 15. 5,4 = 81 AB = 9(cm)
e)Tính AB, AC, BH, BC?
 +) AH2 = BH. CH. Suy ra: 7,22 = BH.9,6 BH = 5,4(cm)
 +) BC = BH + HC = 5,4 + 9,6 = 15(cm)
 +) AB2 = BC . BH = 15. 5,4 = 81 AB = 9(cm)
 +) AC2 = BC . CH = 15 . 9,6 = 144 AC = 12(cm) f)Tính AB,AC,BH,CH?
 Đặt BH = x , CH = y ( ĐK : x < y vì AB< AC)
 +) BC = BH + CH x + y = 25 x = 25 – y
 +)Áp dụng hệ thức lượng ta có: AH2 = BH. CH x. y = 144 (25 – y).y = 144
 y2 25y 144 0
 x1 9; x2 16
 y1 16; y2 9
 Vì x < y nên x = 9; y = 16 hay BH = 9(cm); CH = 16(cm)
 +) AB2 = BC . BH = 25. 9 = 225 AB = 15(cm)
 +) AC2 = BC . CH = 25 . 16 = 400 AC = 20(cm)
Bài 3: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), 
 a) Cho biết AB = 3cm, BC = 5cm. Tính BH, CH, AC và AH
 b) Cho biết BH = 9cm, CH = 16cm Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC và AH
HD:
 A
 3 4
 B C
 H 5
 a) Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có:
 9
 +) AB2 BH.BC BH 1,8(cm) CH 3,2(cm)
 5
 +) AC 2 CB.BC AC 2 5.3,2 16 AC 4(cm)
 1 1 1 1 1 1 1
 +) AH 2,4(cm)
 AH 2 AB2 AC 2 32 42 9 16
 b) Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có: AB 15cm, AC 20cm, BC 25cm, AH 12cm
Bài 4: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), có: AC = 10cm , AB = 8cm. Tính 
BC, BH, CH và AH.
 A
 8 10
 B C
 H
HD:
 Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có: BC 2 AB2 AC 2 ( pytago)
 BC 2 41(cm)
 AB2 64 32
 +) AB2 BH.BC BH (cm) 
 BC 2 41 41
 32 50
 +) CH BC BH 2 41 (cm)
 41 41
 1 1 1 1 1 1 1
 +) AH 6,4(cm)
 AH 2 AB2 AC 2 82 102 64 100
Bài 5: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), có: BH = 10cm , CH = 42cm. Tính 
BC, AH, AB và AC.
 A
 B C
HD: 10 H 42
 Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), Áp dụng hệ thức lượng trong tam 
giác vuông, có:
 +) BC BH HC 52(cm) +) AB2 BH.BC 10.52 520 AB 2 130(cm)
 +) AH 2 AB2 BH 2 AH 2 105(cm)
 +) AC 2 AH 2 HC 2 ( pytago) AC 2 546(cm)
Bài 6: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ). Biết AB : AC = 5 : 12 và BC = 26 
cm. Tính HB và HC.
 A
 B C
HD: H
 Theo giải thiết ta có: 
 AB 5 AB AC AB 5k
 k(k 0) 
 AC 12 5 12 AC 12k
 Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ),
 Ta có: AB2 AC 2 BC 2 ( pytago) 25k 2 144k 2 262 k 2 AB 10; AC 24(cm)
 +) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
 AB2 102 50 50 288
 AB2 BC.BH BH (cm); HC BC BH 26 (cm)
 BC 26 13 13 13
 AB 5
Bài 7: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ). Biết ; BC 122 cm . Tính 
 AC 6
HB và HC
 A
HD: B C
 H Làm tương tự, ta tính được: BH 50cm,CH 72cm
Bài 8: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), AB = 12cm , AC = 16cm, phân 
giác AD. Tính độ dài đoạn HD.
 A
 12 16
 B C
 H D
HD:
 Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có: 
 AB2 AC 2 BC 2 ( pytago) BC 20(cm)
 +) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 
 AB2 122
 AB2 BC.BH BH 7,2(cm)
 BC 20
 +) Ta có AD là phân giác của góc BAC 
 DB AB 3 BD DC 20
 (cm)
 DC AC 4 3 4 7
 20 60 60 36 552
 DB .3 (cm) HD DB BH (cm)
 7 7 7 5 35
Bài 9: Cho ABC vuông tại A, có AB = 6cm, BC = 10cm, phân giác trong và ngoài tại đỉnh B cắt 
AC lần lượt tại M và N. Tính BM, BN?
 N
 A
 M
 6 8
 x
 B C HD:
 Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ( H thuộc BC ), ta có: 
 AB2 AC 2 BC 2 ( pytago) AC 8(cm)
 +) Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: 
 AM AB 6 3 AM MC AC
 1 AM 3(cm)
 MC BC 10 5 3 5 8
 +) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông BMn, ta có:
 AB2 AM.AN 36 3.AN AN 12(cm);MN AM AN 15(cm)
 BM 2 MN.AM 15.3 BM 3 5(cm); BN 2 MN.AN 15.12 BN 6 5(cm)
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và đường phân giác AD (D BC). Biết 
DB = 15 cm, CD = 20 cm. Tính AH, AD (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
HD:
 A
 C D H B
 Ta có BC = BD + DC = 15 + 20 = 35(cm)
 Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có :
 AB BD 15 3 AB AC AB2 AC 2 AB2 AC 2 BC 2 352
 49
 AC DC 20 4 3 4 9 16 9 16 25 25
 ( Định lý pytago và dãy tỉ số bằng nhau)
 Do đó AB2 = 9 . 49 AB = 21 (cm)
 AC2 = 16.49 AC = 28(cm)
 *) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:
 21.28
 +) AH.BC = AB . AC. Suy ra: AH . 35 = 21 . 28 AH = 16,8 (cm)
 35 +) AB2 = BC . BH . Suy ra: 212 = 35 . BH BH = 12,6(cm)
 Vì BH < BD nên H nằm giữa B và D HD = BD – BH = 15- 12,6 = 2,4 (cm)
 +) Áp dụng định lý pytago vào tam giác AHD vuông tại H ta có :
 AD AH 2 HD2 16,82 2,42 12 2 (cm)
Bài 11: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1cm, còn tổng của hai 
cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.
HD:
 A
 C B
 Giả sử theo gt tam giác ABC vuông tại A có BC – AB = 1 (1)
 và AB +AC – BC = 4 (2)
 Từ (1) BC = 1 + AB thay vào (2) ta được : AB + AC – 1 – AB = 4 
 Do đó AC = 5 (cm)
 Mặt khác theo định lý py-ta-go ta có :
 BC 2 AB2 AC 2 25 (BC AB).(BC AB) 25
 Thay BC – AB = 1 BC+ AB = 25 (3)
 Từ (1) và (3) ta có : BC = 13 (cm) ; AB = 12 (cm)
 Vậy : BC = 13 (cm) ; AB = 12 (cm); AC = 5 (cm)
Bài 12: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 
2. Hãy tính các cạnh của vuông này.
HD: