Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 4 - Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình

 BÀI 5+6+8: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – PHƯƠNG 
 TRÌNH
 Dạng 1: Bài toán về tìm số
I.Lí thuyết
 Những kiến thức cần nhớ: 
 + Biểu diễn số có hai chữ số : ab 10a b ( víi 0<a 9; 0 b 9;a,b N)
 + Biểu diễn số có ba chữ số : abc 100a 10b c ( víi 0<a 9; 0 b,c 9;a,b,c N)
 + Tổng hai số x; y là: x + y
 + Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2
 + Bình phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2.
 1 1
 + Tổng nghịch đảo hai số x, y là: .
 x y
Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 14 và nếu 
đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị.
Hướng Dẫn:
 Gọi số cần tìm là ab , điều kiện: 1 a 9 ; 0 b 9 ; a;b N
 Vì tổng hai chữ số của nó là 14 nên ta có ptrinh: a + b = 14 (1)
 Do đổi chỗ hai chữ số của số ab thì ta được số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị nên ta 
có phương trình: ba ab 18 10b a 10a b 18
 Hay a – b = 2 (2)
 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
 a b 14 a 8
 (Thỏa đk)
 a b 2 b 6
 Vậy số cần tìm là 86
Ví dụ 2. Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng tổng của chữ số hàng chục và hai 
lần chữ số hàng đơn vị là 12. Nếu thêm số 0 vào giữa hai chữ số thì ta được một số mới 
có ba chữ số lớn hơn số ban đầu 180 đơn vị. Tìm số ban đầu.
Hướng Dẫn:
 Gọi số ban đầu là ab , điều kiện: 1 a 9 ; 0 b 9 ; a;b N Vì tổng của chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị là 12 nên ta có phương 
trình: a + 2b = 12
 Do thêm số 0 vào giữa hai chữ số của số ab thì được số mới có ba chữ số lơn hơn số 
ban đầu 180 đơn vị nên ta có phương trình:
 a0b ab 180 100a b 10a b 180 a 2 (thỏa mãn )
 Thay a = 2 vào a + 2b = 12 ta được 2 + 2b = 12 hay b = 5 (thỏa mãn)
 Vậy số ban đầu là 25
Ví dụ 3.Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số của nó bằng 9. Nếu lấy 
số đó chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 2 và dư 18. Tìm số ban 
đầu.
Hướng Dẫn:
 Gọi số cần tìm là ab , điều kiện: 1 a 9 ; 0 b 9 ; a;b N
 Vì tổng hai chữ số của nó là 9 nên ta có phương trình a + b = 9 (1)
 Do lấy số ab chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 2 và dư 18 nên ta 
có phương trình:
 ab 2.ba 18 10a b 2(10b a) 18
 Hay: 8a – 19b = 18 (2)
 a b 9 a 7
 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
 8a 19b 18 b 2
 Vậy số cần tìm là 72
 II.Bài tập tự luyện 
Bài 1 : Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị của một số có ba chữ số là 14. Nếu viết 
số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu là 396.Tìm số đó biết rằng chữ số 
hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị.
Hướng Dẫn:
 Gọi số cần tìm có dạng abc (a,c N*,b ¥ ) Theo đề bài ta có:
 +)Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là 14 a c 14 a 14 c (1)
 +)Chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị b c 1 (2)
 Khi viết ngược số ban đầu ta được số mới có dạng cba
 Ta có số mới nhỏ hơn số ban đầu là 396
 abc cba 396
 100a 10b c 100c 10b a 396
 100a 100c c a 396
 99(a c) 396 a c 4
 14 c c 4 2c 10
 c 5(tm) a 14 5 9(tm)
 (2) b c 1 5 1 4(tm)
 Vậy số cần tìm là 945.
Bài 2 : Trong lúc học nhóm, bạn Nam yêu cầu bạn Linh và bạn Mai mỗi người chọn một số tự 
nhiên sao cho hai số này hơn kém nhau là 6 và tích của chúng bằng 280 . Vậy hai bạn Linh và 
Mai phải chọn những số nào.
Hướng Dẫn:
 Gäi x lµ1trong2sè tù nhiª n x ¥ * ,sè cßn l¹i lµ x + 6 .
 x = 14(chän)
 Theo ®Ò ta cã :x(x + 6) = 280 x2 + 6x - 280 = 0 
 x = -20(lo¹i)
 VËy2sè Linh vµ Mai chän lµ14 vµ 20
 Dạng 2: Toán có nội dung hình học:
I.Lí thuyết
 Kiến thức cần nhớ: 
 - Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y là chiều dài)
 1
 - Diện tích tam giác S x.y ( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng)
 2 - Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a,b là các cạnh góc vuông)
Ví dụ 1. Một khu vườn hình chữ nhật. Nếu tăng mỗi cạnh thêm 4m thì diện tích của mảnh 
vườn tăng thêm 216 m2 . Nếu chiều rộng tăng thêm 2m và chiều dài giảm đi 5 m thì diện 
tích mảnh vườn sẽ giảm đi 50 m2 . Tính độ dài các cạnh của khu vườn.
Hướng Dẫn:
 Chiều rộng Chiều Diện tích
 dài
 Khu vườn x y xy
 Trường hợp x + 4 y + 4 (x + 4)( y + 4)
 1
 Trường hợp x + 2 y - 5 (x + 2)( y - 5)
 2
 Gọi chiều rộng và chiều dài của khu vườn lần lượt là x và y (m)
 Điều kiện: x > 0; y > 5 và x < y
Trường hợp 1:
 Chiều rộng là x + 4 (m), chiều dài là y + 4 (m)
 Suy ra diện tích trong trường hợp 1 là: (x + 4)(y + 4) (m2)
 Do diện tích tăng thêm 216 m2 nên ta có phương trình
 (x + 4)(y + 4) = xy + 216 hay x + y = 50 (1)
Trường hợp 2:
 Chiều rộng là x + 2 (m) , chiều dài là y – 5 (m)
 Suy ra diện tích trong trường hợp 2 là: (x + 2)(y - 5) (m2)
 Do diện tích tăng thêm 50 m2 nên ta có phương trình
 (x + 2)(y - 5) = xy - 50 hay -5x + 2y = -40 (2)
 x y 50 x 20
 Từ (1) và (2) ta có hệ: (thỏa điều kiện)
 5x 2y 40 y 30
Vậy chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là 20m và 30m
Ví dụ 2. Trong một phòng họp hình chữ nhật, ghế được sắp theo hàng và số ghế trong 
mỗi hàng là như nhau. Nếu kê bợt đi 2 hàng và mỗi hàng bớt đi 2 ghế thì tổng số ghế 
trong phòng họp đó giảm đi 80 ghế so với ban đầu. Nếu kê thêm 1 hàng và mỗi hàng kê thêm 2 ghế thì tổng số ghế trong phòng học đó tăng thêm 68 ghế so với ban đầu. Tính số 
hàng ghế và số ghế trong phòng họp đó lúc ban đầu.
Hướng Dẫn:
 Số hàng Số ghế / Tổng số ghế
 ghế hàng
 Ban đầu x y xy
 Trường x - 2 y - 2 (x - 2)( y - 2)
 hợp 1
 Trường x +1 y + 2 (x +1)( y + 2)
 hợp 2
 Gọi số hàng ghế và số ghế trong một hàng lúc đầu lần lượt là x (hàng) và y (ghế)
 Điều kiện: x > 2, y > 2 và y là số tự nhiên
 Tổng số ghế lúc đầu là: xy (ghế)
Trường hợp 1: số ghế là x – 2 (ghế), số ghế trong một hàng là: y – 2 (ghế)
 Suy ra tổng số ghế trong trường hợp 1 là: (x – 2)(y – 2) (ghế)
 Do tổng số ghế trong trường hợp 1 giảm đi 80 ghế so với ban đầu nên ta có phương trình:
 (x – 2)(y – 2) = xy – 80 hay x + y = 42 (1)
Trường hợp 2: số ghế là x + 1 (ghế), số ghế trong một hàng là: y + 2 (ghế)
 Suy ra tổng số ghế trong trường hợp 2 là: (x +1)(y + 2) (ghế)
 Do tổng số ghế trong trường hợp 2 tăng thêm 68 ghế so với ban đầu nên ta có phương trình:
 (x +1)(y + 2) = xy + 68 hay 2x + y = 66 (2)
 x y 42 x 24
Từ (1) và (2) ta có hẹ phương trình: (thỏa điều kiện)
 2x y 66 y 18
Vậy trong phòng họp lúc ban đầu có 24 (hàng ghế) và có tổng số ghế là: 432 (ghế)
Ví dụ 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và một đường chéo bằng 10 
mét. Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất đó theo đơn vị là mét.)
Hướng Dẫn:
 Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là x,y (m)
 Điều kiện x > 0; y > 0; x > y 
 Do chu vi mảnh đất là 28m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 28 suy ra y = 14 – x (1)
 Vì độ dài đường chéo bằng 10m nên theo định lý Pitago, 
 ta có: x2 + y2 = 10 (2)
 Thay (1) vào (2) ta được : x2 – 14x + 48 = 0
 Giải phương trình ta được: x = 6 (thỏa mãn); x = 8 (thỏa mãn)
 Khi x = 6 suy ra : y = 8
 Khi x = 8 suy ra: y = 6
 Kết hợp với điều kiện x > y ta được: x = 8 ; y = 6
 Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là 8m và 6m.
Ví dụ 4. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 200 m. Sau khi người ta làm một lối đi 
rộng 2m xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) thì phần đất còn lại để trồng cây là một 
hình chữ nhật có diện tích là 2016 m2. Tính các kích thước của khu vườn lúc đầu.
Hướng Dẫn:
 Chiều dài Diện tích
 Chiều rộng
 Ban đầu x y xy
 x - 4 y - 4 (x-4)(y-4)
 Sau
 Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x,y (m)
 Điều kiện: x > 0; y > 0; x > y
 Do khu vườn lúc đầu có chu vi là 200m nên ta có phương trình
 2(x + y) = 200 hay y = 100 – x (1)
 Sau khi làm lối đi rộng 2m xung quanh vườn thì chiều rộng là: x – 4 (m) 
 và chiều dài là: y – 4 (m) nên diện tích là: (x – 4)(y – 4) = 2016 (2)
 thay (1) vào (2) ta được: x2 – 100x + 2400 = 0
 Giải phương trình trên ta được: x = 40 hoặc x = 60
 Khi x = 40 suy ra: y = 60 Khi x = 60 suy ra: y = 40
 Kêt hợp điều kiện x > y, ta được: x = 60; y = 40
 Vậy khu vườn lúc ban đầu có chiều rộng và chiều dài lần lượt là 40m và 60m
 II.Bài tập tự luyện
Bài 1 : Cho vườn hoa hình chữ nhật có diện tích bằng 91m2 và chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m . 
Tìm chu vi của vườn hoa?
Hướng Dẫn : 
 Gọi x m là chiều rộng của vườn hoa, x 0 .
 Chiều dài của vườn hoa là x 6 m .
 Theo đề bài ta có phương trình:
 x 7 nhân 
 x x 6 91 x2 6x 91 0 x 7 x 13 0 
 x 13 loai 
 Vậy chu vi vườn hoa hình chữ nhật là 40m .
Bài 2 : Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 24 m. Nếu tăng độ dài một cạnh lên 2 m và giảm độ 
dài cạnh còn lại 1 m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 1 m2. Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật 
ban đầu.
Hướng Dẫn : 
 Gọi x (m) là cạnh thứ nhất của mảnh đất hình chữ nhật.
 y (m) là cạnh thứ hai của mảnh đất hình chữ nhật.
 Điều kiện: 0 x 12 , 1 y 12 .
 Diện tích mảnh đất ban đầu: x.y (m2).
 Theo đề ta có phương trình: 2 x y 24 (m). (1)
 Giả sử tăng độ dài một cạnh lên 2 m và giảm độ dài cạnh còn lại 1 m. 
 Độ dài cạnh thứ nhất khi tăng 2 m: x 2 (m).
 Độ dài cạnh còn lại khi giảm 1 m: y 1 (m).
 Diện tích mảnh đất khi thay đổi: (x 2)(y 1) (m2).
 Theo đề ta có phương trình: (x 2)(y 1) xy 1. (2)
 Từ (1) , (2) ta có hệ phương trình: 2 x y 24 x y 12 x 7
 (x 2)(y 1) xy 1 x 2y 3 y 5
 Vậy kích thước mảnh đất lúc đầu là: 7 m; 5 m.
Bài 3 : Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật. Biết rằng nếu tăng cả chiều dài và 
chiều rộng lên 4 cm thì ta được hình chữ nhật có diện tích tăng thêm 80 cm2 so với diện tích hình 
chữ nhật ban đầu, còn nếu tằng chiều dài lên 5 cm và giảm chiều rộng xuống 2 cm thì ta được một 
hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật ban đầu.
Hướng Dẫn : 
 Gọi x; y (cm) lần lượt là chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật ban đầu. 
 ĐK: x y 2 .
 Diện tích hình chữ nhật sau khi tăng hai kích thước là: x 4 y 4 cm2 .
 Diện tích hình chữ nhật sau khi tăng chiều dài và giảm chiều rộng là:
 x 5 y 2 cm2 .
 x 4 y 4 xy 80 x y 16 x 10
 Theo đề ta có hệ: (Thỏa mãn).
 x 5 y 2 xy 0 2x 5y 10 y 6
 Vậy chiều dài và chiều rộng lần lượt là 10cm và 6cm .
Bài 4 : Một miếng đất HCN có chu vi 100 m . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất biết rằng 
5 lần chiều rộng hơn 2 lần chiều dài là 40 cm.
Hướng Dẫn : 
 Gọi x là chiều dài hình chữ nhật ( x 0 , m )
 y là chiều rộng hình chữ nhật( y 0 , m )
 x y 50
 Theo đề bài ta cóhệ phương trình: 
 5y 2x 40
 Giải hệ phương trình ta được:
 x 30
 ( nhận)
 y 20
 Vậy chiều dài hình chữ nhật là30 m, chiều rộng hình chữ nhật là 20 m.
Bài 5 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 15 m. Nếu giảm chiều dài 
2 m và tăng chiều rộng 3 m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 44 m2 .Tính diện tích mảnh vườn. 
Hướng Dẫn : Gọi x, y m lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn
 điều kiện x 0, y 0 suy ra diện tích mảnh vườn là: xy m2 .
 Do chiều dài lớn hơn chiều rộng của mảnh vườn là 15 m nên ta có phương trình:
 x y 15 1 .
 Khi giảm chiều dài 2 m, tăng chiều rộng 3 m thì diện tích mảnh vườn tăng 44 m2 nên ta có 
phương trình : x 2 y 3 xy 44 3x 2y 50 2 .
 x y 15
 Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình: .
 3x 2y 50
 Giải hệ phương trình ta được : x 20, y 5 ( TMĐK ).
 Vậy diện tích của mảnh vườn là: S xy 100 m2 .
Bài 6 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là300m2 . Nếu giảm chiều dài đi 2m và tăng 
chiều rộng thêm3m thì mảnh vườn trở thành hình vuông. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh 
vườn.
Hướng Dẫn : 
 Gọi chiều dài là x m , chiều rộng là y m x, y 0 ta có hệ phương trình
 xy 300 x 20 x 15
 (TM ) hoặc (KTM ) .
 x 2 y 3 y 15 y 20
Bài 7 : Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và độ dài đường chéo bằng 
 65
 lần chiều rộng . Tính diện tích của mảnh đất hình chữ nhật đã cho.
 4
Hướng Dẫn : 
Bài 8 : Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm và diện tích bằng 6cm2 . Tính độ dài các 
cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
Hướng Dẫn : 
 12
 Gọi x (cm) là độ dài một cạnh góc vuông ( x 0 ). Khi đó cạnh góc vuông kia là: ( cm )
 x
 2
 2 12 2 4 2
 Theo đề bài ta có phương trình: x 5 x 25x 144 0
 x Đặt x2 t , t 0 , phương trình trở thành: t 2 25t 144 0
 Giải phương trình bậc 2 theo biến t ta được: t1 16 (thỏa điều kiện); t2 9 (thỏa điều kiện) 
 Với t 16 x 4 (vì x 0 )
 Với t 9 x 3 (vì x 0 ) 
 Vậy hai cạnh góc vuông cần tìm là 3cm và 4cm . 
 Cách 2: Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác là x (cm), y(cm) (ĐK: x, y 0 ).
 Theo định lí Py-ta-go, ta có: x2 y2 25.
 1
 Diện tích tam giác là 6 cm2 nên: xy 6 xy 12
 2
 2 2
 Ta có: x2 y2 25 x y 2xy 25 x y 49 x y 7
 x y 7 x 3 x 4
 Do đó, ta có: hoặc 
 xy 12 y 4 y 3
 Vậy 2 cạnh góc vuông cần tìm là: 3cm và 4cm .
Bài 9 : Cho tam giác vuông cạnh huyền bằng 13cm.Tính các cạnh góc vuông của tam giác, biết hai 
cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm
Hướng Dẫn:
 Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ của tam giác đã cho là x cm , 0 x 13 
 Độ dài các cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm độ dài cạnh góc vuông lớn là x 7(cm)
 Áp dụng định lý Pytago ta có phương trình:
 x2 x 7 2 132 x2 x2 14x 49 169
 2x2 14x 120 0 x2 7x 60 0
 x2 5x 12x 60 0 x x 5 12 x 5 0
 x 5(tm)
 x 12 x 5 0 
 x 12(ktm)
Vậy độ dài cạnh góc vuông nhỏ của tam giác là 5cm, độ dài cạnh góc vuông lớn của tam giác là 
5 7 12cm
Bài 10 : Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 80m2.Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài 
10m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 20m2.Tìm kích thước của mảnh đất 
Hướng Dẫn: