Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 4 - Bài 7: Phương trình quy vể phương trình bậc hai

 BÀI 7. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Lí Thuyết
1. Phương trình trùng phương
 Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4 + bx2 + c - 0 (a ≠ 0).
 Cách giải: Đặt ẩn phụ t = x2 (t > 0) để đưa phương trình vẽ phương trình bậc hai: 
 at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0).
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
 Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:
 Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.
 Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
 Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở Bước 2.
 Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.
3. Phương trình đưa về dạng tích
 Để giải phương trình đưa vể dạng tích, ta có các bước giải như sau:
 Bước 1. Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.
 Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.
II. Các dạng bài tập
 Dạng 1. Giải phương trình trùng phương
 Phương pháp giải: Xét phương trình trùng phương: ax2 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0).
 Bước 1. Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta được phương trình bậc hai: at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0)
 Bước 2. Giải phương trình bậc hai ẩn t từ đó ta tìm được các nghiệm của phương 
 trình trùng phương đã cho.
Bài tập minh họa Bài 1: Giải phương trình: x4 13x2 36 0 (1)
Hướng Dẫn:
Cách 1: Đặt t = x2 t 0 phương trình (1) có dạng :
 t2-13t +36 = 0 . Ta có
 13 2 4.36 25 5
 13 5 13 5
 t 9; t 4
 1 2 2 2
 2
 Với t1 = 9 x = 9 x 9 3
 2
 Với t2 = 4 x =4 x 4 2
 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1=-2 ; x2=-3; x3 =2; x4 =3.
Cách 2: x4 13x2 36 0
 (x4 12x2 36) x2 0
 (x2 6)2 x2 0
 (x2 6 x)(x2 6 x) 0
 x2 6 x 0
 2
 x 6 x 0
 Giải phương trình : x2 –6 –x = 0 ta được 2 nghiệm: x=-2; x= 3.
 Giải phương trình : x2 – 6 +x = 0 ta được 2 nghiệm x= 2; x= -3.
 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1=-3; x2= -2; x3=2; x4 = 3.
Bài 2: Giải phương trình: x4 5x2 6 0 (2)
Hướng Dẫn:
Cách 1: Đặt t = x2 t 0 phương trình (2) có dạng : 
 t2-5t +6 = 0 Ta có:
 5 2 4.6 1 1
 5 1 5 1
 t 3; t 2
 1 2 2 2
 2
 Với t1 = 3 x = 3 x 3 2
 Với t2 = 2 x =2 x 2
 Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm: x1= 3 ; x2= - 3 ; x3=2 ; x4 = - 2 .
Cách 2: x4 5x2 6 0
 x4 – 2x2 – 3x2 6 0 
 x4 – 2x2 3x2 6 0
 x2 x2 – 2 3 x2 – 2 0
 x2 – 2 x2 – 3 0
 x2 – 2 0
 2
 x – 3 0
 Giải phương trình : x2 –2= 0 ta được 2 nghiệm: x= 2 ; x=-2 .
 Giải phương trình : x2 –3= 0 ta được 2 nghiệm x=3 ; x= -3 .
 Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm: x1= 2 ; x2=-2 ; x3=3 ; x4= -3 .
Bài 3: Giải phương trình: x4 –10x2 9 0 3 
Hướng Dẫn:
 Đặt x2 t 0 x4 t 2 , phương trình (3) có dạng t 2 10t 9 0 3’ 
 Giải phương trình (3’) , có a b c 1 10 9 0 t1 1,t2 9
 2
 Với t = t1 = 1 thì x = 1 x1 = 1 ; x2 = - 1 
 2
 Với t = t2 = 9 thì x = 9 x3 = 3 ; x4 = -3 
Bài 4: x4 9x2 10 0
Hướng Dẫn:
 x4 9x2 10 0
 Đặt t x2 ,t 0, phương trình trở thành t 2 9t 10 0
 Giải ra được t 1 (nhận); t 10 (loại)
 Khi t 1, ta có x2 1 x 1. Bài 5: Giải phương trình x4 2x2 3 0
Hướng Dẫn:
 Đặt t=x2 (t 0) ta có phương trình t2-2t-3=0 (2)
 Ta có a-b+c=1+2-3=0 nên phương trình (2) có 2 nghiệm t1=-1(loại);t2=3(nhận)
 2
 Với t2=3 x 3 x 3
 Vây phương trình có tập nghiệm S 3; 3
Bài 6: Giải phương trình sau: 9x4-16x2-25=0
Hướng Dẫn:
 9x4 – 16x2 – 25 = 0
 Đặt x2 = t (t ≥ 0)
 Phương trình trở thành
 9t2 – 16t – 25 = 0
 Có a – b + c = 9 + 16 – 25 = 0
 25
 nghiệm phân biệt t = -1 (loại) hoặc t= (thỏa mãn)
 9
 25 25 5 5
 Với t= ta có x2= =>x= hoặc x=-
 9 9 3 3
 5 5
 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x= ;x=-
 3 3
Bài 7:Giải phương trình sau: x4 8x2 9 0
Hướng Dẫn:
 Đặt t x2 ,t 0 ta được t 2 8t 9 0
 t 1
 Giải phương trình ta tìm được 
 t 9
 t=-9loại 
 t=1x2=1 x 1
Bài 8: Giải phương trình x4 + 5x2 36 = 0 Hướng Dẫn:
 Giải phương trình x4 + 5x2 36 = 0
 Đặt t = x2 ( t 0) ta có phương trình t2 + 5t 36 = 0. t = 25 4.1.( 36) = 169
 => 13
 5 13
 t 4(TM )
 1 2
 5 13
 t 9(L)
 2 2
 Với t = 4 x2 = 4 x = 2
Bài 9: Giải phương trình : (5x 19)(x4 7x2 6) 0
Hướng Dẫn:
 (5x 19)(x4 7x2 6) 0
 5x 19 0(1)
 4 2
 x 7x 6 0(2)
 19
 Giải phương trình (1) ta có: 5x 19 0 x 
 5
 Giải phương trình (2) ta có: x4 7x2 6 0
 Đặt t=x2 (t ≥ 0), khi đó phương trình trở thành: t 2 7t 6 0
 Vì a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = 6
 Với t1 = 1 thì x2 = 1  x = ±1
 Với t2 = 6 thì x2 = 6  x 6
 19
 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S { 1; 6;1; 6; }
 5
Bài 10: Giải phương trình x4 + 9x2 = 0
Hướng Dẫn:
 Giải pt x4 + 9x2 = 0 
 x2(x2 + 9) =0
 x2 0 x 0
 2 2
 x 9 0 x 9(VN)
 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = 0
Bài 11:Giải phương trình sau: 2x 3 4 4 2x 3 2 21 0 Hướng Dẫn:
 Đặt t 2x 3 2 (t 0)
 Phương trình trở thành t 2 4t 21 0
 t 2 25 7 N 
 2 2 21 25 0 1
 t2 2 25 3(L)
 3 7
 x 
 2 2x 3 7 2
 Với t 7 2x 3 7 . 
 2x 3 7 3 7
 x 
 2
 4 2 3 7 
 Vậy phương trình 2x 3 4 2x 3 21 0 có tập nghiệm S  .
 2  
Bài 12: Giải ptrinh sau: x 1 4 8 x 1 2 9 0
Hướng Dẫn:
 Đặt x 1 2 t 2 t 0 .
 Khi đó phương trình 1 trở thành: 
 t 2 8t 9 0 2 
 8 2 4.1. 9 100
 Vì 0 nên phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt:
 8 100
 t 9 (thoả mãn)
 1 2
 8 100
 t 1 (không thoả mãn)
 2 2
 Với t 9 ta có:
 x 1 2 9
 x 1 3 x 4 
 x 1 3 x 2
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 2;4. Bài 13: Giải phương trình: (x + 1)4 - 2(x + 1)2 - 3 = 0 .
Hướng Dẫn:
 Đặt t = (x + 1)2 , điều kiện: t ³ 0 .
 Phương trình trở thành: t 2 - 2t - 3 = 0
 Û t 2 + t - 3t - 3 = 0
 Û (t + 1)(t - 3)= 0
 é
 2 êx = - 1+ 3
 Vậy (x + 1) = 3 Û ê .
 ëêx = - 1- 3
 Kết luận: tập nghiệm của phương trình là S = {- 1+ 3;- 1- 3} .
Bài 14: Giải phương trình sau: x4 2017x2 2018 0.
Hướng Dẫn:
 x4 2017x2 2018 0
 x2 2018 x2 1 0 x2 1 0 (do x2 2018 0 x R ).
 x2 1. x 1; x 1
 Phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x 1
Bài tập tự luyện
Bài 1:. Giải các phương trình sau:
a)x 4 + 5x2 -6 = 0
Hướng Dẫn:
 a) Đặt x2 t 0, ta có: t 2 5t 6 0 
 Giải ra ta được t = 1 (TM) hoặc t 6 (loại)
 Từ đó tìm được x 1 b)(x + 1)4 - 5(x + 1)2 -84 = 0.
Hướng Dẫn:
 Đặt (x 1)2 t 0 
 Sau khi tìm được t ta tìm được x 1 2 3 .
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) 2x4 + 7x2 + 5 = 0;
Hướng Dẫn: x  
b)4x4 + 8x2 - 12 = 0;
Hướng Dẫn: x 1 
Bài 3: Giải các phương trình sau:
 a) x4 – 5x2 + 4 = 0 b) 2x4 – 3x2 – 2 = 0 c) 3x4 + 10x2 + 3 = 0 
 d) 9x4 – 10x2 + 1 = 0 e) 5x4 + 3x2 – 16 = 0 f) 3x4 + 18x2 + 15 = 0 
 g) x4 – 8x2 – 9 = 0 h) x4 – 1,16x2 + 0,16 = 0 i) x4 – 7x2 – 144 = 0 
 j) 3x4 – 12x2 + 9 = 0 k) 2x4 + 3x2 – 2 = 0 l) 3 x4 – (2– 3 )x2 – 2 = 0
 m) x4 + 5x2 + 1 = 0 n) x4 – 13x2 + 36 = 0 o) x4 – 5x2 – 6 = 0 
 p) 3x4 – 6x2 + 3 = 0 q) 2x4 + 3x2 + 1 = 0 r) x4 – 11x2 – 28 = 0
 s) 4x4 + 8x2 – 12 = 0 t) 12x4 – 5x2 + 30 = 0 u) 8x4 – x2 – 7 = 0.
 v) x4 – x2 – 6 = 0.
Bài 4: Giải các phương trình sau: 
 a) 2x4 – 6x2 = 0 b) – x4 + 4x2 = 0 c) – x4 – 2013x2 = 0 
 d) 9x4 – 1 = 0 e) 16x4 + 3 = 0 f) x4 – 625 = 0. Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
 Phương pháp giải: Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:
 Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn.
 Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
 Bước 3. Giải phương trình bậc hai nhận được ở Bước 2.
 Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.
Bài tập minh họa
 x 1
Bài 1: giải phương trình sau 1 0
 2
Hướng Dẫn:
 x 1 x 1
 1 0 1 x 1 2 x 1
 2 2
 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.
 1
Bài 2: Giải phương trình 2x2 2x 1 0
 x2 x
Hướng Dẫn:
 1 2 x 0
 Giải phương trình 2 2x 2x 1 0 ĐK: 
 x x x 1
 1
 2(x2 x) 1 0. (1) Đặt t = x2 x (t ≠ 0)
 x2 x
 1
 (1) 2t 1 0 2t 2 t 1 0. 
 t
 Có: a +b +c = 2 – 1 – 1 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = -1/2.
 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = -1/2.
 x 2
Bài 3: Giải phương trình: 0
 x 1 x2 4x 3
Hướng Dẫn: ĐK: x 1,x 3
 x 2 x 2
 0 0
 x 1 x2 4x 3 x 1 (x 1)(x 3)
 x(x 3) 2 0
 x2 3x 2 0
 Vì a + b + c = 1 – 3 + 2 = 0 x1 = 1 (không TMĐK), x2 2 (TMĐK)
 Vậy phương trình có một nghiệm là x 2
 1 1 1
Bài 4:Giải phương trình sau: 
 x 2 2x
Hướng Dẫn:
 Điều kiện x ≠ 0
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 (1 ) . 1 x 1
 x 2 2x x 2x 2 2 x 2 2 x 2 x
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {1}
 x 1 x 1
Bài 5: Giải phương trình: 1 
 2 4
Hướng Dẫn:
 x 1 x 1
 Giải pt: 1 
 2 4
 2(x 1) 4 x 1
 2x 2 4 x 1
 x 1
 Vậy phương trình có nghiệm x=-1
 x2 8 1 1
Bài 6:Giải phương trình sau: 
 x2 16 x 4 x 4
Hướng Dẫn:
 x = - 2; loại x = 4.
 3
Bài 7: Giải phương trình: 4x 11. 
 x 1
Hướng Dẫn: