Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 4 - Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

 BÀI 6. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. Lí Thuyết
1. Hệ thức Vi-ét
 2
 Cho phương trình bậc hai ax +bx + c = 0 (a 0). Nếu x1, x2 là hai nghiệm của p/trình thì:
 b
 S x x 
 1 2 a
 . 
 c
 P x .x 
 1 2 a
2. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
 a) Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
 c
 Nếu a + b + c = 0 thì p/trình có một nghiệm là x1 = 1, nghiệm còn lại là x . 
 2 a
 c
 Nếu a - b + c = 0 thì p/trình có một nghiệm là x1 = -1, nghiệm còn lại là x . 
 2 a
 b) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai 
số đó là hai nghiệm của phương trình : X2 - SX + P = 0.
II. Các dạng bài tập
 Dạng 1. Không giải phương trình, tính giá trị của biêu thức đối xứng giữa các nghiệm
 Phương pháp giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
 a 0
 Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: . 
 0
 b c
 Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: S x x và P x .x .
 1 2 a 1 2 a
 Bước 2. Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng x 1 + x2 và tích 
x1x2 sau đó áp dụng Bước 1.
 Chú ý: Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là:
 2 2 2 2
 A x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 S 2P; 
 3 3 3 3
 B x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) S 3PS; 
 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
 C x1 x2 (x1 x2 ) 2x1 x2 (S 2P) 2P ;
 2 2
 D x1 x2 (x1 x2 ) 4x1x2 S 4P. 2 2
 E x1 x2 x1 x2 4x1x2 S 4P .
 2 2
 F x2 x1 x1 x2 4x1x2 S 4P .
 2 2 2 2
 G x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4x1x2 S. S 4P .
 1 1 x x S
 H 1 2 .
 x1 x2 x1x2 P
 2
 1 1 x x x x 4x x S 2 4P
 N 2 1 1 2 1 2 .
 x1 x2 x1x2 x1x2 P
 2
 2 2 2
 x x x x x x x x x1 x2 x1 x2 4x1x2 S. S 4P
 M 1 2 1 2 1 2 1 2 
 x2 x1 x1x2 x1x2 x1x2 P
 R x 3 x 3 x x x 2 x .x x 2 x x x x 2 x .x .
 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 
 x x 2 4x x x x 2 x .x S 2 4P S 2 P .
 1 2 1 2 1 2 1 2 
 2 2
 P x 4 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 S 2 2P S. S 2 4P .
 1 2 1 2 1 2 1 2 
Bài tập minh họa
 2
Bài 1:. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x - 5x + 3 = 0. Không giải phương trình, hãy tính 
giá trị của các biểu thức:
 2 2 3 3
 a) A x1 x2 ; b) B x1 x2 ; 
 1 1
 c) D 4 4 d) E x1 x2
 x1 x2
Hướng Dẫn:
 Ta có 13 0 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2
 b ( 5)
 x x 5
 1 2 a 1
 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có 
 c 3
 x .x 3
 1 2 a 1
 2 2 2 2
 a) Ta có A x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 5 2.3 19 
 3 3 3
 b) Ta có C x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) 80
 1 1 x4 x4 (x2 x2 )2 2(x x )2 343
 c) Ta có D 1 2 1 2 1 2 
 x4 x4 4 (x x )4 81
 1 2 x1.x2 1 2 2
 d) Ta có E x1 x2 x1 x2 4x1x2 13 
 2
Bài 2: Cho phương trình x + 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Không giải phương trình 
hãy tính giá trị của biểu thức sau:
 1 1
 1 1 2 2 3 3
 A = ; B = x1 + x2 ; C = 2 2 ; D = x1 + x2
 x2 x2 x2 x2
Hướng Dẫn:
 Ta có 3 4 5 0 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2
 x1 + x2 = 3 ; x1.x2 = 5
 1 1 x x 3 1
 A = 1 2 15 ; 
 x 2 x 2 x1 .x 2 5 5
 2 2 2 2
 B = x1 + x2 = (x1+x2) - 2x1x2= ( 3) 2( 5) 3 2 5
 x 2 x 2 3 2 5 1
 C = 1 2 (3 2 5) ; 
 2 2 2
 x1 .x2 ( 5) 5
 2 2
 D = (x1+x2)( x1 - x1x2 + x2 ) = ( 3)[3 2 5 ( 5)] (3 3 3 15)
 2
Bài 3: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x + x - 2 + 2 = 0 . Không giải phương trình, 
tính các giá trị của các biểu thức sau:
 1 1 2 2 3 3
 A = + . B = x1 + x2 . C = x1 - x2 . D = x1 + x2 .
 x1 x2
Hướng Dẫn:
 Ta có 1 4( 2 2) 0 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2
 ïì - b
 ï S = x + x = = - 1
 ï 1 2 a
 Ta có: íï
 ï c
 ï P = x x = = - 2 + 2
 îï 1 2 a
 1 1 x + x - 1
 A = + = 2 1 = .
 x1 x2 x1 x2 - 2 + 2
 2 2 2
 B = x1 + x2 = (x1 + x2 ) - x1 x2 = 1- (- 2 + 2)= 3- 2 .
 2 2
 C = x1 - x2 = (x1 - x2 ) = (x1 + x2 ) - 4x1 x2 = 1- 4(- 2 + 2) = 2 2 - 1.
 3 3 3
 D = x1 + x2 = (x1 + x2 ) - 3x1 x2 (x1 + x2 ) = - 1+ 3(- 2 + 2)= - 7 + 3 2 .
 2
Bài 4: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x - 3x - 7 = 0 . Không giải phương trình tính các 
giá trị của các biểu thức sau:
 1 1 2 2
 A = + . B = x1 + x2 .
 x1 - 1 x2 - 1
 3 3
 C = x1 - x2 . D = x1 + x2 . 4 4
 E = x1 + x2 . F = (3x1 + x2 )(3x2 + x1 ).
Hướng Dẫn:
 Ta có 37 0 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2
 ïì - b
 ï S = x + x = = 3
 ï 1 2 a
 Ta có: íï
 ï c
 ï P = x x = = - 7
 îï 1 2 a
 1 1 x + x - 2 1
 A = + = 2 1 = .
 x - 1 x - 1 x x - x + x + 1 - 9
 1 2 1 2 ( 1 )2
 2 2 2
 B = x1 + x2 = (x1 + x2 ) - x1 x2 = 23 .
 2 2
 C = x1 - x2 = (x1 - x2 ) = (x1 + x2 ) - 4x1 x2 = 37 .
 3 3 3
 D = x1 + x2 = (x1 + x2 ) - 3x1 x2 (x1 + x2 )= 72 .
 4 4 2 2 2
 E = x1 + x2 = (S - 2P) - 2P = 527
 2 2
 F = (3x1 + x2 )(3x2 + x1 )= 10x1 x2 + 3(x1 + x2 )= - 1.
 2
Bài 5: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x + 5x - 6 = 0 . Không giải phương trình, tính 
các giá trị của các biểu thức sau:
 x2 x1
 A = (3x1 - 2x2 )(3x2 - 2x1 ). B = + .
 x1 - 1 x2 - 1
 x1 + 2 x2 + 2
 C = x1 - x2 D = + .
 x1 x2
Hướng Dẫn:
 Ta có 97 0 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2
 ïì - b - 5
 ï S = x + x = =
 ï 1 2 a 3
 a) Ta có: íï
 ï c
 ï P = x x = = - 2
 îï 1 2 a
 2 2 2 - 200
 A = (3x1 - 2x2 )(3x2 - 2x1 )= 13x1 x2 - 6(x1 + x2 )= 13P - 6(S - 2P)=
 3
 2
 x x (x + x ) - 2x x - (x + x )- 2 38
 B = 2 + 1 = 2 1 1 2 2 1 = .
 x - 1 x - 1 x x - x + x + 1 3
 1 2 1 2 ( 1 )2
 2 2 97
 C = x - x = (x - x ) = (x + x ) - 4x x = .
 1 2 1 2 1 2 1 2 3
 x + 2 x + 2 2x x + 2(x + x ) 11
 D = 1 + 2 = 1 2 1 2 = .
 x1 x2 x1 x2 3
Bài tập tự luyện 2
Bài 1: Cho phưoug trình: -3x - 5x-2 = 0. Với x1,x2 là nghiệm của phương trình, không giải 
phương trình, hãy tính:
 1 1 1 1
 a) M x1 x2 ; b) N ; 
 x1 x2 x1 3 x2 3
 x1 3 x2 3 x1 x2
 c) P 2 2 ; d) Q . 
 x1 x2 x2 2 x1 2
Hướng Dẫn:
 25 13
 a) Ta có M b) Ta có N 
 6 14
 49 17
 c) Ta có P d) Ta có Q 
 4 12
Bài 2:Cho phương trình : x2 8x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính
 2 2 1 1 8 
 1. x1 x2 ĐS: 34 2. ĐS: 
 x1 x2 15 
 x1 x2 34 2
 3. ĐS: 4. x1 x2 ĐS: 46
 x2 x1 15 
Bài 3:Cho phương trình : 8x2 72x 64 0 Không giải phương trình, hãy tính:
 1 1 9 2 2
 1. ĐS: 2. x1 x2 ĐS: (65)
 x1 x2 8 
Bài 4:Cho phương trình : x2 14x 29 0 Không giải phương trình, hãy tính:
 1 1 14 2 2
 1. ĐS: 2. x1 x2 ĐS: 138
 x1 x2 29 
Bài 5:Cho phương trình : 2x2 3x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính:
 1 1 1 x 1 x
 1. ĐS: 3 2. 1 2 ĐS: 1
 x1 x2 x1 x2
 2 2 x1 x2 5 
 3. x1 x2 ĐS: 1 4. ĐS: 
 x2 1 x1 1 6 
 2
Bài 6:Cho phương trình x 4 3x 8 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính
 2 2
 6x1 10x1x2 6x2
 Q 3 3
 5x1x2 5x1 x2 6x2 10x x 6x2 6(x x )2 2x x 6.(4 3)2 2.8 17
HD: Q 1 1 2 2 1 2 1 2 
 3 3 2 2
 5x1x2 5x1 x2 5x x x x 2x x 5.8 (4 3) 2.8 80
 1 2 1 2 1 2 
 Dạng 2. Giải phương trình bằng cách nhấm nghiệm
 Phương pháp giải: Sử dụng ứng dụng của hệ thức Vi-ét.
Bài tập minh họa
Bài 1: Xét tổng a + b + c hoặc a - b + c rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình sau: 
 a) 15x2 -17x + 2 = 0;
 b) 1230x2 - 4x - 1234 = 0;
 c) (2 - 3 )x2 + 2 3 x - (2 + 3 ) = 0;
 d) 5x2 - (2 - 5 )x - 2 = 0.
Hướng Dẫn:
 2
 a) Ta có a b c 15 17 2 0 x 1, x 
 1 2 15
 1234
 b) Ta có a b c 0 x 1, x 
 1 2 1230
 c) Ta có a b c 0 x1 1, x2 7 4 3
 2
 d) Ta có a b c 0 x 1, x 
 1 2 5
Bài 2: Giải phương trình sau:
a) x2 - 49x - 50 = 0 
Hướng Dẫn:
 Ứng dụng của định lí Viet
 Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0 
 50
 Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50
 1
b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
Hướng Dẫn:
 Ứng dụng của định lí Viet
 Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 - 3 ) = 0 
 Nên phương trình có nghiệm:
 2 3
 x1 = 1; x1 = (7 4 3)
 2 3 c) x2 + (1- 2)x - 2 = 0
Hướng Dẫn:
 Ta có: a - b + c = 1- (1- 2)+ (- 2)= 0 
 - c
 Nên phương trình có hai nghiệm: x = - 1; x = = 2 .
 1 2 a
d) 2x2 + ( 3 - 2)x - 3 = 0
Hướng Dẫn:
 Ta có: a + b + c = 2 + ( 3 - 2)+ (- 3)= 0 
 c
 Nên phương trình có hai nghiệm: x = 1; x = = - 3 .
 1 2 a
e) x2 + x - 6 = 0
Hướng Dẫn:
 ïì - b
 ï S = x + x = = - 1
 ï 1 2 a
 Ta có: íï 
 ï c
 ï P = x x = = - 6
 îï 1 2 a
 Suy ra x1 = 2 ; x2 = - 3 .
f) x2 - 9x + 20 = 0
Hướng Dẫn:
 ïì - b
 ï S = x + x = = 9
 ï 1 2 a
 Ta có: íï 
 ï c
 ï P = x x = = 20
 îï 1 2 a
 Suy ra x1 = 4 ; x2 = 5 .
Bài 3:. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 2x2 5x 3 0
Hướng Dẫn:
 Phương trình (1) có dạng a b + c = 0 
 3
 Nên có nghiệm x 1 và x 
 1 2 2
b) 3x2 8x 11 0
Hướng Dẫn:
 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 11
 Nên có nghiệm x 1 và x 
 1 2 3
Bài tập tự luyện
Bài 1:. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
 a)7x2 -9x + 2 = 0; b)23x2 -9x-32 = 0;
 c)1975x2 + 4x - 1979 = 0; d) 31, 1x2 - 50,9x + 19,8 = 0.
Hướng Dẫn:
 2 32
 a) Ta có x 1, x b) Ta có x 1, x 
 1 2 7 1 2 23
 1979 198
 c) Ta có x 1, x d) Ta có x 1, x 
 1 2 1975 1 2 311
Bài 2: Giải các phương trình sau:
 a) 3x2 - 11x + 8 = 0 . b) x2 - (1+ 3)x + 3 = 0 . c)3x2 - 19x - 22 = 0.
 d)5x2 + 24x + 19 = 0 . e)3x2 + 19x - 22 = 0 . f) x2 - 10x + 21= 0 .
 g)- 2018x2 + x + 2017 = 0. h) x2 - 12x + 27 = 0 . i)5x2 - 17x + 12 = 0 .
 2
 j)(1- 2)x - 2(1+ 2)x + 1+ 3 2 = 0. k)(1+ 3)x2 + 2 3x + 3 - 1= 0 .
Hướng Dẫn:
 éx = 1 éx = - 1 éx = - 1 éx = 1
 ê éx = 1 ê ê ê éx = 3
 ê ê
 a) ê 8 . b) ê . c) ê 22 . d) ê 19 . e) ê 22 . f) .
 êx = x = 3 êx = êx = - êx = - ëêx = 7
 ëê 3 ë ëê 3 ëê 5 ëê 3
 éx = 1 éx = 1 éx = 1 éx = 1
 ê éx = 3 ê ê ê
 g) ê 2017 . h) ê . i) ê 12 . j) ê 1+ 3 2 . k) ê 3 - 1
 ê ê ê ê ê
 x = - ëx = 9 x = êx = êx = -
 ëê 2018 ëê 5 ë 1- 2 ë 1+ 3
Bài 3: Giải các phương trình sau:
 1. 3x2 – 7x - 10 = 0 2. x2 – 3x + 2 = 0 
 3. x2 – 4x – 5 = 0 4. 3x2 – 2 3 x – 3 = 0
 5. x2 – (1+ 2 )x + 2 = 0 6. 3 x2 – (1- 3 )x – 1 = 0
 7.(2+ 3 )x2 - 2 3 x – 2 + 3 = 0
 Dạng 3 : Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn 
 lại và chỉ ra hệ số của phương trình
Phương pháp giải :
 Bước 1 : Thay nghiệm đã biết vào phương trình để tìm tham số Bước 2 : Thay tham số vừa tìm được vào phương trình để được một phương trình mới
 Bước 3 : Sử dụng công thức nghiệm hoặc hệ thức vi-et để tìm nghiệm còn lại
Bài tập minh họa
Bài 1 : Phương trình x2 2 px 5 0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
Hướng Dẫn:
 Thay x1 2 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc : 
 1
 4 4 p 5 0 p 
 4
 5 5
 T ừ x1x2 5 suy ra x2 
 x1 2
Bài 2 : Phương trình x2 5x q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
Hướng Dẫn:
 Thay x1 5 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
 25 25 q 0 q 50
 50 50
 T ừ x1x2 50 suy ra x2 10
 x1 5
Bài 3:. Cho phương trình mx2 -3(m + l)x + m2 - 13m - 4 = 0 (ra là tham số). Tìm các giá trị của ra 
để phương trình có một nghiệm là x = -2. Tìm nghiệm còn lại.
Hướng Dẫn:
 Thay x = -2 vào phương trình ta tìm được m = 1 hoặc m = 2
 2 x 8
 Với m = 1, ta có: x 6x 16 0 
 x 2
 13
 x 
 Với m = 2, ta có: 2x2 9x 26 0 2 
 x 2
Bài 4:. Tìm giá trị của tham số ra để phương trình x2 +3mx - 108 = 0 (ra là tham số) có một 
nghiệm là 6. Tìm nghiệm còn lại.
Hướng Dẫn:
 Tính được m = 4; x2 = -18. Bài 5: Cho phương trình 2x2 mx 5 0 , với m la tham số. Biết phương trình có một nghiệm là 2
, tìm m và tìm nghiệm còn lại.
Hướng Dẫn:
 Vì x 2 là nghiệm của phương trình nên thay x 2 vào phương trình 
 13
 Ta được 8 2m 5 0 m . 
 2
 5 5
 Theo hệ thức Viet ta có: x x mà x 2 nên x .
 1 2 2 1 2 4
 13 5
 Vậy m và nghiệm còn lại là .
 2 2
Bài 6: Cho phương trình x2 2m 1 x 2m 0 với x là ẩn số; m là tham số. Tìm m để phương 
trình có nghiệm x 2 . Tìm nghiệm còn lại.
Hướng Dẫn:
 Do phương trình có nghiệm x 2 nên thỏa: 22 2m 1 .2 2m 0
 4 4m 2 2m 0
 2m 2 0
 2m 2
 m 1
 Thay m 1vào phương trình ta được phương trình: x2 3x 2 0 * 
 c 2
 Ta có a b c 1 3 2 0 nên phương trình * có hai nghiệm: x 1; x 2
 1 2 a 1
 Vì x2 2 nên nghiệm còn lại là x1 1 
 Vậy m 1 và nghiệm còn lại là 1 là giá trị cần tìm.
Bài 7 : Cho p/trình : x2 7x q 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của p/trình.
Hướng Dẫn:
 Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 x2 11 
 Và theo VI-ÉT ta có x1 x2 7
 x1 x2 11 x1 9
 Ta giải hệ sau: 
 x1 x2 7 x2 2
 Suy ra q x1x2 18