Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 4 - Bài 3+4+5: Phương trình bậc hai một ẩn. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

 BÀI 3+4+5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. CÔNG THỨC NGHIỆM
 CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Lí Thuyết
1. Phương trình bậc hai một ân
 Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:
 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
 Trong đó a, b, c là các so thực cho trước, x là ẩn số.
 Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.
2. thức nghiệm của phương trình bậc hai
 Lập ∆ = b2 – 4ac
 Trường hợp 1. Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
 b
 Trường hợp 2. Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x x .
 1 2 2a
 b 
 Trường hợp 3. Nếu A > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x .
 1,2 2a
3. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
 Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) với b = 2b'. Gọi biệt thức a' = b'2 - ac.
 Lập ∆' = b’2 – a.c
 Trường hợp 1. Nếu ∆' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
 b'
 Trường hợp 2. Nếu ∆' = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x x .
 1 2 a
 b' '
 Trưòng hợp 3. Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x .
 1,2 a
 Chú ý: Trong trường hợp hệ số b có dạng 2b' ta nên sử dụng để giải phương trình sẽ cho lời 
giải ngắn gọn hơn.
II. Các dạng bài tập
 Dạng 1. Không dùng công thức nghiệm, giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước
 Phương pháp giải: Ta có thế sử dụng một trong các cách sau:
 Cách 1. Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
 Cách 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái một bình phương còn vế phải 
là một hằng số. Bài 1:. Giải các phương trình:
a) 3x2 6x 0
Hướng Dẫn:
 3 x 2 6 x 0
 x( 3 x 6) 0
 6
 x = 0 hoac x =
 3
 6
 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0; x =
 3
b) 2x2 – 8 = 0
Hướng Dẫn:
 2 x 2 8 0
 2 x 2 8
 x 2 4
 x = 2 hoac x =-2
 Vậy Phương trình có hai nghiệm x = 2; x = -2
 3 7
c) x2 0; 
 5 2
Hướng Dẫn:
 3 7
 x2 0
 5 2
 3 7
 x2 
 5 2
 35
 x2 
 6
 Phương trình vô nghiệm
d) x2 – 8x – 9 = 0
Hướng Dẫn: x2 8x 9 0
 x2 x 9x 9 0
 x(x 1) 9(x 1) 0
 (x 1)(x 9) 0
 x 1 hoac x = 9
 Vậy phương trình có hai nghiệm x = - 1; x = 9
e) 3x2 + 6x + 5 = 0
Hướng Dẫn:
 3x2 6x 5 0
 5
 3(x2 2x ) 0
 3
 5
 (x2 2x ) 0
 3
 2
 (x2 2x 1) 0
 3
 2
 (x 1)2 
 3
 Vậy phương trình vô nghiệm
f) x2 – 4x + 4 = 0
Hướng Dẫn:
 (x 2)2 0
 x 2
 Vậy phương trình có nghiệm x = 2
Bài 2:. Giải các phương trình:
a)5x2 -7x = 0
Hướng Dẫn:
 Ta có 5x2 7x 0 x(5x 7) 0 . 
 7 
 Tìm được x 0;  
 5
b)-3x 2 +9 = 0
Hướng Dẫn:
 Ta có 3x2 9 0 x2 3. Tìm được x 3 
c) x2 -6x+ 5 = 0
Hướng Dẫn:
 Ta có x2 6x 5 0 (x 1)(x 5) 0 . 
 Tìm được x 1;5 
d) 3x2 + 12x + 1 = 0
Hướng Dẫn:
 Ta biến đổi thành 3(x + 2)2 = 11. 
 6 33
 Tìm được x 
 3
e) x(x+3) = x2 + 6
Hướng Dẫn:
 Phương trình tương đương với: x2 + 3x – x2 – 6 = 0
  x = 2
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
f) 2x2 1 2 2 x 2 0 .
Hướng Dẫn:
 2x2 1 2 2 x 2 0 .
 2x2 x 2 2x 2 0 .
 x 2x 1 2 2x 1 0 .
 x 2 2x 1 0.
 x 2 0 x 2
 1
 2x 1 0 x 
 2
 1 
 Vậy tap nghiệm của phương trình : S 2;  .
 2
 1
g) x2 3x 4
 2 Hướng Dẫn:
 1 2 2 x 2
 x 3x 4 x 6x 8 0 x 2 x 4 0 .
 2 x 4
 Vậy tap nghiệm của phương trình : S 2;4 .
Bài 3:. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x2 + m2x + 4m = 0 có nghiệm x = 1 ?
Hướng Dẫn:
 Thay x = 1 vào phương trình ta có 4.12 + m2 + 4m = 0. 
 Tìm được m = -2.
Bài 4: . Cho phương trình 4mx2 - x - 10m2 = 0. Tìm các giá trị cua tham số m để phương trình có 
nghiệm x = 2.
Hướng Dẫn:
 4 11
 Tìm được m 
 5
 Dạng 2. Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm 
 thu gọn:
 Phương pháp giải: Sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương 
trình bậc hai để giải.
Bài tập minh họa
Bài 1: Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆' nếu b = 2b') rồi tìm nghiệm của các phương 
trình: 
a)2x2 -3x-5 = 0
Hướng Dẫn:
 Ta có a = 2, b = -3, c = -5. 
 Tính được = b2 – 4a.c = (-3)2 – 4.2.(-5) = 49 > 0. 
 Phương trình có hai nghiệm phân việt: 
 b ( 3) 49 5
 x 
 1 2a 2.2 2
 b ( 3) 49
 x 1
 2 2a 2.2 5 
 Vậy tập nghiệm của phương trình: S ; 1
 2 
b) x2 - 6x + 8 = 0
Hướng Dẫn:
 Ta có a = 1, b = -6, c = 8 
 Tính được = b2 – 4a.c = (-6)2 – 4.1.8 = 4 > 0. 
 Phương trình có hai nghiệm phân việt: 
 b ( 6) 4
 x 4 
 1 2a 2.1
 b ( 6) 4
 x 1
 2 2a 2.1
 Vậy tập nghiệm của phương trình: S 4;1
c) 9x2 - 12x + 4 = 0
Hướng Dẫn:
 Ta có a = 9, b = -12, c = 4 
 Tính được = b2 – 4a.c = (-12)2 – 4.9.4 = 0 
 Phương trình có nghiệm kép
 b ( 12) 2
 x x 
 1 2 2a 2.9 3
 2
 Vậy tập nghiệm của phương trình: S 
 3
d) -3x2 + 4x - 4 = 0.
Hướng Dẫn:
 Ta có a = -3, b = 4, c = -4 
 Tính được = b2 – 4a.c = (4)2 – 4.(-3).(-4) = -32 < 0
 Phương trình vô nghiệm 
 Vậy tập nghiệm của phương trình: S 
e) x2 - 2x - 1= 0
Hướng Dẫn: D ¢= b¢2 - ac = 12 + 1= 2 > 0
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 - b¢+ D ¢ - b¢- D ¢
 x = = 1+ 2 , x = = 1- 2 .
 1 a 2 a
f) x2 - 2x + 10 = 0
Hướng Dẫn:
 D ¢= b¢2 - ac = 12 - 10 = - 9 < 0
 Phương trình vô nghiệm.
g)9x2 + 12x + 4 = 0
Hướng Dẫn:
 D ¢= b¢2 - ac = 62 - 9.4 = 0
 - b¢ - 6 - 2
 Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = = = 
 a 9 3
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) x2 5x 6 0
Hướng Dẫn:
 Ta có 5 2 4.1.6 1 1.
 5 1
 x 2
 1 2.1
 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
 5 1
 x 3
 2 2.1
b) 2x2 3x 1 0 .
Hướng Dẫn:
 Ta có 2x2 3x 1 0 32 4 2 .1 17 17 .
 3 17 3 17
 x1 
 2. 2 4
 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
 3 17 3 17
 x2 
 2. 2 4
c) x2 2 3 x 2 3 0
Hướng Dẫn:
 Ta có: 
 2 2
 2 3 4.2 3 2 3 2 3 . 2 3 2 3
 x1 2
 2
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 
 2 3 2 3 
 x 3
 2 2
d) x2 - 49x - 50 = 0
Hướng Dẫn:
 Dùng công thức nghiệm
 (a = 1; b = - 49; c = 50)
 = (- 49) 2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51
 Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
 ( 49) 51 ( 49) 51
 x 1; x 50
 1 2 2 2
e) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
Hướng Dẫn:
 Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
 (a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
 = (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16; = 4
 Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
 2 3 4 2 3 4
 x 1; x (7 4 3)
 1 2(2 3) 2 2(2 3)
 Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn 
 (a = 2- 3 ; b’ = 3 ; c = – 2 – 3 )
 ’ = ( 3 )2- (2- 3 )(– 2 – 3 ) = 4; = 2
 Do ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
 3 2 3 2
 x 1; x (7 4 3)
 1 2 3 2 2 3
f) x2 2m 1 x m2 m 0 .
Hướng Dẫn:
 2m 1 2 4 m2 m 1. 2m 1 1
 x m 1
 1 2
 Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 
 2m 1 1
 x m
 2 2
Bài 3: Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức A ( hoặc A'nếu b = 2b') rồi tìm nghiệm của các phương 
trình:
a)x2 – x -11 = 0 
Hướng Dẫn:
 1 3 5
 Tìm được x 
 1,2 2
b)x2 - 4x + 4 = 0; 
Hướng Dẫn:
 Tìm được x = 2.
c)-5x2 – 4x + 1 = 0
Hướng Dẫn:
 1
 Tìm được x 1;  
 5
d)-2x2 + x - 3 = 0
Hướng Dẫn:
 Tìm được x  .
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a)x2 + 5x -1 = 0 
Hướng Dẫn:
 3 5 3 5 
 Tìm được x ;  
 2 2  
b)2x2 - 2 2x + 1 = 0
Hướng Dẫn:
 2
 Tìm được x 
 2
c) 3x2 (1 3)x 1 0; Hướng Dẫn:
 3
 Tìm được x , x 1 
 1 3 2
d)-3x2 + 4 6x + 4 = 0.
Hướng Dẫn:
 6 2 6 6 2 6 
 Tìm được x ; 
 3 3  
Bài 5: Giải các phương trình sau: 
a)2x2 + 2 11x -7 = 0
Hướng Dẫn:
 11 5
 Tìm được x 
 1,2 2
b) 152x2 - 5x +1 = 0
Hướng Dẫn:
 Tìm được x  
c) x2 - (2 + 3 )x + 2 3 = 0
Hướng Dẫn:
 Tìm được x 2; 3 
d)3x2 - 2 3x + 1 = 0.
Hướng Dẫn:
Bài 6: Giải các phương trình:
a)3x2 + 3 = 2(x +1)
Hướng Dẫn:
 Tìm được x  .
b) (2x 2)2 1 = (x + 1)(x-1)
Hướng Dẫn: