Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 4 - Bài 1+2: Hàm số y = ax² (a≠0) và đồ thị

 BÀI 1,2 : HÀM SỐ y = a.x2 ( a # 0) VÀ ĐỒ THỊ
I.Lí Thuyết
1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
 a) Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 (a ≠ 0) nghịch biến x 0.
 b) Nếu a 0.
2. Đồ thị của hàm số
 Đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là một parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận Oy làm trục đối 
xứng (O đỉnh của parabol).
 Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
 Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.
II. Các dạng bài tập
 Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước
 2 2
 Phương pháp giải: Giá trị của hàm số y = ax tại điểm x = x0 là y0 = ax0 . 
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = -2x2.
 a) Tìm giá trị của hàm số khi x nhận các giá trị lần lượt là -2; 0 và 3 - 2 2 .
 b) Tìm các giá trị của a, biết rằng f(a) = -10 + 4 6. 
 c) Tìm điều kiện của b, biết rằng f(b) ≥ 4b + 6.
Hướng Dẫn:
 a) Tìm được f ( 2) 8; f (0); f (3 2 2) 34 24 2 
 b) Ta có f (a) 10 4 6 a ( 3 2) 
 c) Ta có f (b) 4b 6 2b2 4b 6 . Từ đó tìm được b  .
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 3x2.
 a) Tìm giá trị của hàm số khi x nhận các giá trị lần lượt là -3; 2 2 và 1 - 2 3 . b) Tìm a biết f(a) = 12 + 6 3. 
 c) Tìm a biết f(b) ≥ 6b + 12.
Hướng Dẫn:
 a) Tìm được f ( 3) 27; f (2 2) 24, f (1 2 3) 39 12 3 
 b)ta có a ( 3 1) . c) Ta có b 1 5 hoặc b 1 5 
Bài 3: Cho hàm số y = (2m + 1)x2 (m là tham số). Tìm các giá trị của tham số m để:
 2 4 
 a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A ; ;
 3 3 
 b) Đồ thị hàm số đi qua điểm (x 0; y0) với (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình 
 2x y 3
 .
 2 
 x 2y 2
Hướng Dẫn:
 2 4
 a) Thay tọa độ điểm A với x , y vào phương trình y (2m 1)x2 . Tìm được m = 1.
 3 3
 2x y 3
 b) Do (-2; 1) là nghiệm của hệ phương trình 2 nên tương tự Câu a) ta tìm được 
 x 2y 2
 3
m .
 8
Bài 4: Cho hàm số y = (2m – 1)x2 (m là tham số).
 a) Tìm giá trị của m để y = -2 khi x = -1.
 b) Tìm giá trị của m biết (x;y) thỏa mãn:
 x y 1 x y 2
 ; .
 i) ii) 2 
 2x y 3 x 2y 4
Hướng Dẫn:
 1 1
 a) Tìm được m b) i) m ; ii) m = 1
 2 2
 1 1
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A( 2;1);B(0;2);C( 2; ); D( 1; ) .Đồ thị hàm số 
 2 4
 x2
y đi qua những điểm nào trong các điểm đã cho? Giải thích.
 4
Hướng Dẫn:
 x2
 Hai điểm A và C thuộc đồ thì hàm số y 
 4
 Thật vậy thay vào ta có: 1 1
 Tại A có: 1 ( 2)2 .4
 4 4
 1 1 1
 Tại C có: ( 2)2 .2
 2 4 4
Bài 6: Tìm tọa dộ điểm A thuộc đồ thị hàm số y 2x2 , biết hoành độ của điểm A bằng 2. 
Hướng Dẫn:
 Vì A có hoành độ bằng 2 và thuộc đồ thị hàm số y 2x2 nên y 2.22 8. 
 Vậy A 2;8 .
 1
Bài 7: Biết đồ thị của hàm số y ax2 , ( a 0 ) đi qua điểm M 3; 6 . Hãy xác định giá trị của a. 
 3
Hướng Dẫn:
 1 1
 Đồ thị hàm số y ax2 , ( a 0 ) đi qua điểm M 3; 6 khi – 6 a.32 6 3a a 2 
 3 3
 Vậy a 2 là giá trị cần tìm.
Bài 8:Xác định tham số m để đồ thị hàm số y mx2 đi qua điểm P(1; 2). 
Hướng Dẫn:
 Đồ thị hàm số y mx2 đi qua điểm P(1; 2) suy ra 2 m.12 m 2
 Vậy m 2 .
Bài 9: Tìm hàm số y ax2 , biết đồ thị của nó đi qua điểm A 1;2 . Với hàm số tìm được hãy tìm 
các điểm trên đồ thị có tung độ là 8.
Hướng Dẫn:
 Ta có đồ thị hàm số y ax2 đi qua điểm A 1;2 nên ta có: 2 a.( 1)2 a 2
 Vậy hàm số cần tìm là y 2x2.
 Các điểm trên đồ thị có tung độ là 8.
 Gọi điểm cần tìm là M x0 ; y0 
 2 2
 Ta có: y0 8 8 2.x0 x0 4 x0 2
 Vậy các điểm cần tìm trên đồ thị có tung độ là 8 là : M 2;8 ;M 2;8 . 
 x2
Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P có phương trình y .Tìm tọa độ điểm 
 2
M thuộc parabol P biết điểm M có tung độ bằng 8.
Hướng Dẫn:
 x2
 Với y 8 8 x2 16 x 4.
 2
 Vậy tìm được hai điểm M 4; 8 .
Bài 11: Biết đường cong trong Hình 1 là một parabol y ax2 . Tính hệ số a và tìm tọa độ các điểm 
thuộc parabol có tung độ y 9 . Hướng Dẫn:
 Từ Hình 1, ta có parabol y ax2 đi qua điểm 2; 2 
 1
 nên 2 a.22 a .
 2
 Gọi điểm trên parabol có tung độ y 9 là x; 9 , 
 1
 ta có: 9 x2 x2 18 x 18 3 2 .
 2
 Vậy có 2 điểm trên parabol có tung độ bằng 9 là 3 2; 9 
Bài 12: Tìm hoành độ của điểm A trên parabol y 2x2 , biết tung độ y 18 .
Hướng Dẫn:
 y 18
 A x 3
 2 A 
 yA 2xA
 1 1 
Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A 2;1 ; B 0;2 ;C 2; ; D 1; .Đồ thị 
 2 4 
 x2
hàm số y đi qua những điểm nào trong các điểm đã cho? Giải thích.
 4
Hướng Dẫn:
 x2
 Hai điểm A và C thuộc đồ thì hàm số y 
 4
 Thật vậy thay vào ta có:
 1 2 1
 Tại A có: 1 2 .4
 4 4
 1 1 2 1
 Tại C có: 2 .2
 2 4 4
Bài 14: Cho parabol P : y ax2 . Tìm a biết rằng parabol P đi qua điểm A 3; –3 . Vẽ P với 
a vừa tìm được. 
Hướng Dẫn:
 1
 P đi qua điểm A 3; –3 nên ta có 3 32.a a 
 3
 1
 Vậy P x2 .
 3
Bài 15: Xác định hàm số y a 1 x2 , biết đồ thị hàm số đi qua điểm A 1; –2 . Hướng Dẫn:
 y a 1 x2 đi qua điểm A 1; –2 nên 2 a 1 12 a 1 2 a 3 .
 1
Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P có phương trình y x2 và hai điểm A, B 
 2
thuộc P có hoành độ lần lượt là xA 1, xB 2.
 a) Tìm tọa độ của hai điểm.A, B
 b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B .
Hướng Dẫn:
 a)Vì A, B thuộc P nên:
 1 2 1
 x 1 y 1 
 A A 2 2
 1
 x 2 y 22 2
 B B 2
 1 
 Vậy A 1; , B 2;2 .
 2 
 b)Gọi phương trình của đường thẳng d là y ax b .
 1 3 1
 a b 3a a 
 Ta có hệ phương tình: 2 2 2 
 2a b 2 2a b 2 b 1
 1
 Vậy d :y x 1 .
 2
Bài 17: Cho hàm số y ax2 có đồ thị P và đường thẳng d : y mx m – 3 . Tìm a để đồ thị 
 P đi qua điểm B 2; 2 .
Hướng Dẫn:
 1
 P đi qua điểm B 2; 2 nên ta có: 2 a.22 a 
 2
 1
 Vậy P : y x2
 2
Bài 18: Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100m. Quãng đường chuyển động S (đơn vị tính 
bằng mét) của vật rơi phụ thuộc vào thời gian t (đơn vị tính bằng giây) được cho bởi công thức S = 
4t2.
 a) Hỏi sau các khoảng tgian lần lượt là 3 giây và 5 giây vật này cách mặt đất bao nhiêu mét?
 b) Sau thời gian bao lâu thì vật tiếp đất?
Hướng Dẫn:
 a) Tính được S(3) = 36m; S(5) = 100m Vật cách mặt đất sau thời gian 3 giây là 100 - 
S(3) = 64m và sau thời gian 5 giây là 0m.
 b) Ta có 4t2 = 100. Tìm được t = 5(s) Bài 19: Một khách du lịch chơi trò Bungee từ tỉnh tháp Macao coa 234 mét so với mặt đất. Quãng 
đường chuyển động S (đơn vị tính bằng mét) của người rơi phụ thuộc vào thời gian t (đơn vị tính 
 13
bằng giây) được cho bởi công thức: S t 2. 
 2
 a) Hỏi sau khoảng thời gian 4 giây du khách cách mặt đất lần lượt là bao nhiêu mét? 
 b) Sau khoảng thời gian bao lâu thì du khách cách mặt đất 71,5 mét?
Hướng Dẫn:
 a) ta có s(4) = 130(m) b) t = 5(s)
 1
Bài 20: Cho parabol (P) : y= x2 và điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1; 2.Đường 
 2
thẳng (d) phuơng trình y = mx + n.
 a)Tìm toạ độ điểm A, B Tìm m, n biết (d) đi qua điểm A và B .
 b)Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB ( điểm O là gốc tọa độ).
Hướng Dẫn:
 1 1 1
 a)Ta có: A(x ; y ) (P) có hoành độ x 1 y .( 1)2 A( 1; )
 A A A A 2 2 2
 1
 B(x ; y ) (P) có hoành độ x 2 y .22 2 B(2;2)
 B B B B 2
 Vì đường thẳng y=mx+n đi qua 2 điểm A vàB lên ta có hệ:
 1
 1 3 m 1
 m n 3m 2 m 
 2 2 2
 1
 2m n 2 2m n 2 2. n 2 n 1
 2
 1
 Vậy với m=1/2,n=1 thì (d) đi qua 2 điểm A( 1; ); B(2;2)
 2
b)Vẽ (P) và (d) trên cùng 1 hệ trục tạo độ như hình vẽ
 Dễ thấy (d) cắt Ox tại C(-2;0) và cắt Oy tại D(0;1)=>OC=2;OD=1
 Độ dài đường cao OH của tam giác OAB chính là độ dài đường cao OH của tam giác OCD
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCD ta có: 1 1 1 1 1 5
 OH 2 OC 2 OD2 4 1 4
 4 2 5
 OH 2 OH (dvdt)
 5 5
 2 5
 Vậy OH (dvdt)
 5
 1
Bài 21: Cho hàm số y x2 có đồ thị là (P) .Cho điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng 4 . Tìm 
 4
tham số m để đường thẳng (d) : y x m đi qua A .
Hướng Dẫn:
 1
 A(4; y) (P) : y x2
 4
 1
 y .42 4 A(4;4)
 4
 Đường thẳng (d) : y x m qua A(4;4) 4 4 m m 0
 Vậy m 0 thì (d) : y x m đi qua A(4;4) .
Bài 22: Trên mặt phẳng tọa độOxy , cho parabol P : y 3x2 và hai điểm A 1; 3 và B 2;3 .
 a)Chứng tỏ rằng điểm A thuộc parabol P . 
 b) Tìm tọa độ điểmC (C khác A ) thuộc parabol P sao cho ba điểm A , B , C thẳng hàng
Hướng Dẫn:
 a) Thay A 1; 3 vào P ta được: 3 3 1 2 (đúng).
 Vậy A P .
 b) Phương trình đường thẳng AB có dạng: y ax b ( a 0 ).
 Do A 1; 3 và B 2;3 thuộc AB nên ta có:
 3 a 1 b a b 3 a b 3 b 1
 (nhận).
 3 a 2 b 2a b 3 3a 6 a 2
 Phương trình hoành độ giao điểm của AB và P là: 3x2 2x 1.
 3x2 2x 1 0 .
 x 1
 1
 x 
 3 2
 1 1 1
 Suyra xC và yC 3 .
 3 3 3
Bài 23:a)Hãy xác định hàm số y f x ax2 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A 2;4 .
 b)Vẽ đồ thị của hàm số đã cho 
 c)Tìm các điểm trên Parabol có tung độ bằng 16.
 d)Tìm m sao cho B m;m3 thuộc Parabol.
 e)Tìm các điểm trên Parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ.
Hướng Dẫn:
 a) Ta có A P 4 a.22 a 1
 b) Đồ thị Parabol có đỉnh là gốc tọa độ 
 O 0;0 quay bề lồi xuống dưới, có trục đối xứng là Oy đi qua các điểm 
 M 1;1 , N 1;1 , E 3;9 , F 3;9 
 c) Gọi C là điểm thuộc P có tung độ bằng 16. 
 2
 Ta có: yC 16 x C 16 xC 4 . Vậy C 4;16 hoặc C 4;16 .
 d) Thay tọa độ điểm B vào P ta được: m3 m2 m3 m2 0 m2 m 1 0 m 0 
hoặc m 1.
 e) Gọi D là điểm thuộc P cách đều hai trục tọa độ. Ta có: 
 2 2
d D,Ox yD xD ;d D,Oy xD . Theo giả thiết ta có: xD xD xD 0 (loại) hoặc xD 1. 
Vậy D 1;1 hoặc D 1;1 .
 Dạng 2. Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
 Phương pháp giải: Xét hàm số y = ax2 (a ≠ 0). Ta có: 1. Nếu a > 0 thì hàm số nghịch viến khi x 0.
 2. Nếu a 0.
 2
Bài 1: Cho hàm số y = (3m + 2)x2 với m . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
 3
 a) Đồng biến với mọi x < 0.
 b) Nghịch biến với mọi x < 0.
 c) Đạt giá trị nhỏ nhất là 0.
 d) Đạt giá trị lớn nhất là 0.
Hướng Dẫn:
 2
 a) Ta có 3m + 2 < 0. Từ đó tính được m 
 3
 2
 b) Ta có 3m + 2 > 0. Từ đó tính được m 
 3
 2
 c) Ta có 3m + 2 > 0. Từ đó tính được m 
 3
 2
 d) Ta có 3m + 2 < 0. Từ đó tính được m 
 3
 4
Bài 2: Cho hàm số y = (3m – 4)x2 với m . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
 3
 a) Nghịch biến với mọi x > 0.
 b) Đồng biến với mọi x > 0.
 c) Đạt giá trị lớn nhất là 0.
 d) Đạt giá trị nhỏ nhất là 0.
Hướng Dẫn:
 4 4 4 4
 a) m b) m c) m d) m 
 3 3 3 3
Bài 3: Cho hàm số y = (-m2 – 2m – 3)x2.
 a) Chứng minh rằng với mọi tham số m, hàm số luôn nghịch biến với mọi x > 0 và đồng 
biến với mọi x < 0.
 1 1 11
 b) Tìm các giá trị của tham số m để khi x hoặc x thì y . 
 2 2 4
Hướng Dẫn:
 a) Ta có a = -m2 - 2m - 3 = - (m + 1)2 - 2 < 0, m ĐPCM. 1 11
 b) Ta có (-m2 - 2m - 3) . Tìm được m 4;2
 4 4
 3 7
Bài 4: Cho hàm số y = ( 2m 3 2)x2 với m ;m . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 
 2 2
đồng biến với mọi x > 0 và nghịch biến với mọi x < 0.
Hướng Dẫn:
 2m 3 2 0 7
 Ta có . Từ đó tìm được m 
 2m 3 0 2
 Dạng 3. Vẽ đồ thị của hàm số
 Phương pháp giải: Ta thực hiện các bước sau:
 Bước 1. Lập bảng các giá trị đặc biệt tương ứng giữa x và y của hàm số y = ax2 (a ≠ 0). 
 Bước 2. Biểu diễn các điểm đặc biệt trên mặt phẳng tọa độ và vẽ đồ thị dạng parabol của 
hàm số đi qua các điểm đặc biệt đó.
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parabol P : y 2x2 . Vẽ đồ thị parabol P . 
Hướng Dẫn:
 Vẽ Parabol P : y 2x2
 Bảng giá trị giữa x và y :
 x 2 1 0 1 2
 y 8 2 0 2 8
 Vậy đồ thị hàm số P : y 2x2 là parapol đi qua các điểm có tọa độ (-2;8), (-1;2), (0;0), 
(1;2), (2;8)
 Vẽ đồ thị
Bài 2: Cho hàm số y 2x2 có đồ thị là P . Tìm trên P các điểm có tung độ bằng 4, vẽ đồ thị 
 P . 
Hướng Dẫn:
 Thay y 4 ta có 4 2x2 x2 2 x 2
 Vậy các điểm cần tìm là 2;4 và 2;4 .