Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 3 - Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

 BÀI 4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
I. Lí Thuyết
 Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, ta sử dụng quy tắc 
cộng đại số bao gổm hai bước như sau:
 Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được 
một phương trình mới.
 Bước 2. Dùng phương trình mới ây thay thê'cho một trong hai phương trình của hệ phương 
trình và giữ nguyên phương trình kia ta được một hệ mới tương tương với hệ đã cho.
II. Các dạng bài tập
 Dạng 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
 Phương pháp giải: Căn cứ vào quy tắc cộng đại số, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 
bằng phương pháp cộng đại số, ta làm như sau:
 Bước 1. Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số 
của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau;
 Bước 2. Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình để thu được một 
phương trình một ẩn;
 Bước 3. Giải p/trình một ẩn vừa thu được từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
 Lưu ý: 
 - Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
 - Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.
 - Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số 
thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).
Bài tập minh họa
 3x 2y 5
Bài 1: Giải hệ phương trình sau: . 
 2x y 8
Hướng Dẫn:
 3x 2y 5 (1)
 2x y 8 (2)
 Nhận xét: Bằng phương pháp cộng đại số, bài toán có hai hướng làm: Để hệ số x bằng nhau ta nhân hai vế của (1) với 2, nhân hai vế của (2) với 3.
 Để hệ số y bằng nhau đối nhau ta nhân hai vế của (2) với 2.
 Ở bài này, làm theo hướng 2:
 3x 2y 5 3x 2y 5
 .
 2x y 8 4x 2y 16
 Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta có: 7x 21 x 3 .
 Thay vào phương trình (2) ta được: 6 y 8 y 2 .
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 3;2 .
 2 1 x y 2 (1)
Bài 2: Giải hệ phương trình .
 x 2 1 y 1 (2)
Hướng Dẫn:
 Nhân cả hai vế của (1) với 2 1 ta được:
 2 1 x y 2 2 1 2 1 x 2 1 y 2 2 1 x 2 1 y 2 2
 x 2 1 y 1 x 2 1 y 1 x 2 1 y 1
 3 2
 Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta có: 2x 3 2 x .
 2
 3 2 3 2 3 2 1
 Thay x vào (1): 2 1 y 2 y 2 1 2 .
 2 2 2 2
 3 2 1 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y ; .
 2 2 
 3x y 3
Bài 3: Giải hệ pt: 
 2x y 7
Hướng Dẫn:
 Nhận thấy: các hệ số của ẩn y là đối nhau => Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ được 
phương trình mới chỉ chứa ẩn x 3x y 3 3x y 3 y 3
 Hệ  
 5x 10 x 2 x 2
 2x 5y 8
Bài 4: Giải hệ pt: 
 2x 3y 0
Hướng Dẫn:
 Nhận thấy: các hệ số của ẩn x là bằng nhau => Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ 
được phương trình mới chỉ chứa ẩn y
 3
 2x 5y 8 2x 5y 8 x 
 Hệ  2
 2x 3y 0 8y 8
 y 1
 5x 2y 4 (1)
Bài 5: Giải hệ pt: 
 6x 3y 7 (2)
Hướng Dẫn:
 Nhận thấy: các hệ số của ẩn x cũng như các hệ số của ẩn y là không bằng nhau 
 Cách 1: (Cân bằng hệ số của ẩn x) Nhân 2 vế phương trình (1) với 6, nhân hai vế phương 
trình (2) với 5 => Được hệ mới có hệ số của ẩn x đối nhau.
 2
 5x 6y 4 x 
 30x 12y 24 30x 12y 24 3
 Hệ  11 
 30x 15y 35 3y 11 y 11
 3 y 
 3
 Cách 1: (Cân bằng hệ số của ẩn y) Nhân hai vế phương trình (1) với 3, nhân hai vế 
phương trình (2) với 2 => Được hệ mới có hệ số của ẩn x đối nhau.
 11
 5x 2y 4 y 
 15x 6y 12 15x 6y 12 3
 Hệ  2 
 12x 6y 14 3x 2 x 2
 3 x 
 3
 3x 2y 11
Bài 6: Giải hệ phương trình: 
 x 2y 1
Hướng Dẫn: 4x 12 x 3
 Cộng hai phương trình lại với nhau, ta có: 
 x 2y 1 y 1
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 3; 1 
 x 2y 3
Bài 7: Giải hệ phương trình: 
 x y 3
Hướng Dẫn:
 3y 6 y 2
 Trừ phương trình trên cho phương trình dưới của hệ, ta có: 
 x y 3 x 1
 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1; 2 .
 x 3y 4
Bài 8: Giải hệ phương trình: 
 3x 4y 1
Hướng Dẫn:
 x 3y 4 (1)
 3x 4y 1 (2)
 Nhân hai vế phương trình (1) với 3 ta được 3x 9y 12 (3)
 Lấy (3) – (2) ta được: 13y 13 y 1.
 Thay y 1 vào (1) ta được x 4 3y 4 3.1 1.
 Vậy hệ phương trình có một nghiệm x; y 1;1 .
 2x y 5
Bài 9: Giải hệ phương trình sau: 
 x y 1
Hướng Dẫn:
 2x y 5 3x 6 x 2 x 2
 x y 1 x y 1 x y 1 y 1
 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2;1 .
 2x 5y 3
Bài 10: Giải hệ phương trình sau: 
 3x y 4
Hướng Dẫn:
 2x 5y 3 17x 17 x 1
 3x y 4 3x y 4 y 1
 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1; 1 . x 7y 26
Bài 11: Giải hệ phương trình sau: 
 5x 3y 16
Hướng Dẫn:
 x 7y 26 5x 35y 130 x 7y 26 x 5
 5x 3y 16 5x 3y 16 38y 114 y 3
 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 5;3 .
 3x 2y 11
Bài 12: Giải hệ phương trình sau: 
 x 2y 1
Hướng Dẫn:
 3x 2y 11 4x 12 x 3
 x 2y 1 x 2y 1 y 1
 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 3; 1 .
 2x 3y 1
Bài 13: Giải hệ phương trình sau: 
 4x y 9
Hướng Dẫn:
 2x 3y 1 2x 3y 1 2x 3y 1 x 2
 4x y 9 12x 3y 27 14x 28 y 1
 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2;1 .
 x 2y 8
Bài 14: Giải hệ phương trình: 
 x y 1
Hướng Dẫn:
 x 2y 8 3y 9 y 3 y 3
 .
 x y 1 x y 1 x ( 3) 1 x 2
 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2; 3 .
 2x y 1
Bài 15: Giải hệ phương trình: 
 x y 1
Hướng Dẫn:
 2x y 1 x 0 x 0
 .
 x y 1 x y 1 y 1
 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 0;1 . 3x y 5
Bài 16: Giải hệ phương trình: 
 5x 2y 23
Hướng Dẫn:
 3x y 5 6x 2y 10 11x 33 x 3
 .
 5x 2y 23 5x 2y 23 3x y 5 y 4
 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 3;4 .
 2x y 3
Bài 17: 
 3x y 7
Hướng Dẫn: 
 2x y 3 5x 10 x 2 x 2
 3x y 7 3x y 7 3.2 y 7 y 1
 x 2
 HPT đã cho có nghiệm là: 
 y 1
 2x 3y 2
Bài 18: 
 5x 2y 6
Hướng Dẫn:
 Để giải loại HPT này ta thường sử dụng PP cộng cho thuận lợi.
 2x 3y 2 10x 15y 10 11y 22 y 2 x 2
 5x 2y 6 10x 4y 12 5x 2y 6 5x 2.( 2 6) y 2
 x 2
 HPT có nghiệm là 
 y 2
Bài tập tự luyện
Bài 1: . Giải các hệ phương trình sau:
 4x 7y 16 3 5x 4y 15 2 7
 a) ; b) . 
 4x 3y 24 2 5x 8 7y 18
Hướng Dẫn:
 a) Lấy hai PT trừ cho nhau ta được y = 4.
 Thay y = 4 vào một trong hai PT của hệ tìm được x = -3.
 Vậy nghiệm của HPT là (-3; 4) 7 
 b) Tương tự câu a) tìm được nghiệm của HPT là 5; 
 2 
Bài 2: Giải các hệ phương trình:
 2x 11y 7 x 7 2 3
 a) ; b) .
 10x 11y 31 2x 2 7y 11
Hướng Dẫn: a) (2; 1) b) Vô nghiệm
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
 x 3y 10 3x 3y 10 4x 3y 7
 a. b. c. 
 x 5y 16 x 3y 14 2x 5y 16
Hướng Dẫn:
 x 2
 3x 2y 3 5x 10 
 a. 3 
 2x 2y 7 2x 2y 7 y 
 2
 2x 5y 8 2x 2 x 1
 b. 
 4x 5y 6 2x 5y 8 y 2
 32
 x 
 5x 7y 6 15x 21y 18 43x 32 43
 c. 
 4x 3y 2 28x 21y 14 4x 3y 2 14
 y 
 43
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau :
 x y x y
 2x 3y 5 2 4
 a) ; b) . 
 3x 4y 2 x y
 1
 3 5
 5 5 
Hướng Dẫn:a) (14; 11); b) ; 
 2 6 
Bài 5: Giải hệ phương trình sau:
 x 3y 10 3x 2y 8 2x y 4
 1) 2) 3) 
 x 5y 16 2x 3y 12 2x 0y 6 0
 2x y 7 2x y 5 x 2y 2
 4) 5) 6) 
 x 4y 10 x 7y 9 2x 4y 1 3x 5y 18 5x 3y 7 3x 2y 2 0
 7) 8) 9) 
 x 2y 5 3x y 8 9x 6y 4 0
 4x 3y 6 2x y 3 2x y 2
 10) 11) 12) 
 2x 5y 16 3x 4y 10 4x 2y 4 0
 2x y x 3y 3 x 2y 4 2x 4y 3
 13) 14) 15) 
 3x 3y 9 2x 9y 18 x 2y 1
 x 2y 5 2x y 3 x y 2(x 1)
 16) 17) 18) 
 3x 4y 5 x y 3 7x 3y x y 5
 3x 2y 12 x y 0 2x y 10
 19) 20) 21) 
 4x y 5 2x y 5 5x 2y 6
 2x y 0 3x y 2 5x 2y 10
 22) 23) 24) 
 x 4y 0 9x 3y 6 5x 2y 6
 3x 2y 8 x y 2 2x 5y 7
 25) 26) 27) 
 4x 3y 12 3x 2y 9 2x 3y 1
 x 3y 10 3x y 2 2x 3y 2
 28) 29) 30) 
 2x y 1 6x 2y 3 3x 2y 3
 5x y 1 2x 3y 6 3x 2y 6
 31) 32) 33) 
 10x 2y 0 4x 6y 12 2x 3y 4
 5x 3y 22 3x 2y 8 2x 3y 5
 34) 35) 36) 
 3x 2y 22 5x 2y 12 4x 6y 10
 Dạng 2. Giải hệ phương trình quy vê hệ phương trình bậc nhất hai ân
 Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước sau:
 Bước 1. Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
 Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như ở Dạng 1.
Bài tập minh họa
 3x 2 2y 1 0
Bài 1: Giải hệ phương trình sau: .
 3x 2y 2 7 x 
Hướng Dẫn: Nhận xét: Hệ phương trình chưa có dạng bậc nhất hai ẩn nên bước đầu tiên chúng ta rút gọn 
các phương trình của hệ đưa về phương trình bậc nhất hai ẩn.
 3x 2 2y 1 0 3x 4y 2 3x 4y 2 3x 4y 2
 .
 3x 2y 2 7 x 3x 2y 2x 14 5x 2y 14 10x 4y 28
 Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta có: 13x 26 x 2 .
 Thay x 2 vào phương trình thứ hai: 5.2 2y 14 y 2 .
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 2;2 .
 x y 5 2y xy 9
Bài 2: Giải hệ phương trình: .
 3x 1 2y 1 6xy
Hướng Dẫn:
 x y 5 2y xy 9 xy 5x 2y xy 9 5x 2y 9 (1)
 .
 3x 1 2y 1 6xy 6xy 3x 2y 1 6xy 3x 2y 1 (2)
 Trừ các vế tương ứng của hai phương trình ta có: 8x 8 x 1.
 Thay x 1 vào phương trình thứ nhất: 5.1 2y 9 y 2 .
 Vậy hệ phương trình có nghiệm là x; y 1;2 .
 3(x 1) 2(x 2y) 4
Bài 3: Giải hệ phương trình 
 4(x 1) (x 2y) 9
Hướng Dẫn:
 Hệ phương trình tương đương với:
 3x 3 2x 4y 4 5x 4y 1 5x 4y 1
 4x 4 x 2y 9 3x 2y 5 6x 4y 10
 11x 11 x 1
 6x 4y 10 y 1
 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1; 1 .
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau: 
 2(x 1) 3(y 2) 5(x y) 17
a) 
 4(x 3) (y 2) y 2 6x
Hướng Dẫn: 2(x 1) 3(y 2) 5(x y) 17
 4(x 3) (y 2) y 2 6x
 2x 2 3y 6 5x 5y 17 3x 8y 9
 4x 12 y 2 y 2 6x x y 8
 Giải ra ta được: (x; y) = (11; -3)
 3 1
 x y 
 4 2
b) 
 3
 x y 1
 4
Hướng Dẫn:
 3 1
 x y 
 4 2 3x 4y 2 9x 12y 6
 3 4x 3y 4 16x 12y 16
 x y 1 
 4
 10 4
 Giải ra ta được (x; y) = ( ; )
 7 7
 x y 2
 3
 3 3
c) 
 4x y x
 1
 6 4
Hướng Dẫn:
 x y 2
 3
 3 3 x y 7 2x 2y 14
 4x y x 11x 2y 12 11x 2y 12
 1 
 6 4
 Giải ra ta được (x; y) = (2; 5)
Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các hệ phương trình:
 5(x 2y) 3(x y) 99 (x y)(x 1) (x y)(x 1) 2(xy 1)
 a) ; b) . 
 x 3y 7x 4y 17 (y x)(y 1) (y x)(y 2) 2xy
Hướng Dẫn:
 2x 13y 99 x 4
 a) HPT đã cho Từ đó tìm được 
 6x y 17 y 7