Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 3 - Bài 4.1: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo tham số m

 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
 THEO THAM SỐ m
 a mx bm y cm
 HPT bậc nhất hai ẩn phụ thuộc tham số có dạng: 
 am x bm y cm 
 Trong đó: am ; bm ; cm ; a’m ; b’m ; c’m là những hệ số phụ thuộc tham số m.
I.Các dạng bài tập
 Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình
 a mx bm y cm 1 
 Phương pháp giải: Cho hệ phương trình hai ẩn : (I) 
 am x bm y cm 2 
 Bước 1: Đưa hệ phương trình về phương trình bậc nhất dạng ax b 0 (Dùng phương 
pháp thế, phương pháp cộng đại số,)
 Bước 2: Xét phương trình ax b 0 1 ( a,b là hằng số)
 TH 1: Phương trình 1 có nghiệm duy nhất a 0 phương trình có nghiệm duy 
 b
 nhất x .
 a
 a 0
 TH 2: Phương trình 1 vô nghiệm .
 b 0
 a 0
 TH 3: Phương trình 1 có vô số nghiệm .
 b 0
 Bước 3: Kết luận.
Bài tập minh họa
 x my m 1 1 
Bài 1: Cho hệ phương trình: Giải và biện luận hệ phương trình trên theo m .
 mx y 3m 1 2
Hướng Dẫn:
 Từ phương trình (2) ta có y 3m 1 mx . Thay vào phương trình (1) ta được:
 x m 3m 1 mx m 1 m2 1 .x 3m2 2m 1 (3)
 Trường hợp 1: m 1. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất 3m2 2m 1 m 1 3m 1 3m 1
 x 2 
 m 1 m 1 . m 1 m 1
 3m 1 m 1
 y 3m 1 m. 
 m 1 m 1
 Trường hợp 2: m 1. Khi đó phương trình (3) thành: 0.x 0 .
 Vậy hệ có vô số nghiệm dạng x;2 x , x ¡ .
 Trường hợp 3: m 1 khi đó phương trình (3) thành: 0.x 4 (3) vô nghiệm, do đó hệ vô 
nghiệm.
 a 1 x y a 1 1 
Bài 2:Cho hệ phương trình: ( a là tham số). Giải và biện luận hệ 
 x a 1 y 2 2 
phương trình.
Hướng Dẫn:
 Từ PT 1 ta có: y a 1 x a 1 3 thế vào PT 2 ta được: 
 2 2 2 2
x a 1 a 1 x a 1 2 x a 1 x a 1 2 a x a 1 4 
 a2 1
 TH1: a 0 , phương trình 4 có nghiệm duy nhất x . Thay vào 3 ta có:
 a2
 2 2
 a2 1 a 1 a 1 a a 1 a3 a a2 1 a3 a2 a 1
 y a 1 a 1 
 a2 a2 a2 a2
 a2 1 a 1 
 Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2 
 a a 
 TH2: Nếu a 0 , phương trình 4 vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
 a2 1 a 1 
 KL: a 0 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2 
 a a 
 a 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
 mx y 2m 1 x 2y m 3 ax y 2
 a) b) c) 
 x (m 1)y 2 mx 3y 5 x ay 2
 mx y m ax y 3 (a 1)x y a 1
 d) e) f) 
 x y 2 4x ay 6 x (a 1)y 2 mx 2my m 1 x my 2
 g) 
 x (m 1)y 2 h) mx 4y m 2
 Dạng 2: Điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm.
 Thường trong bài toán tìm m để hệ có nghiệm, vô nghiệm còn liên quan đến các ý b), ý c) 
của bài toán nên ta thường làm theo các bước như bài toán Giải và biện luận hệ:
 Sau đó lập luận để tìm m theo yêu cầu bài toán.
 Từ đó cũng tìm được luôn nghiệm x, y theo m để làm các ý tiếp theo.
Bài tập minh họa
 x my 2
Bài 1: Cho hệ phương trình . Tìm điều kiện của m để p/trình có nghiệm duy nhất.
 mx 2y 1
Hướng Dẫn:
 x 2
 Với m 0 thì hệ 1 , hệ có nghiệm.
 y 
 2
 1 m
 Với m 0 . Hệ có nghiệm duy nhất m2 2 m2 2 (luôn đúng).
 m 2
 Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.
 a b
 Nhận xét: Khi lập tỉ số nếu a hoặc b có tham số m thì ta phải xét thêm trường hợp 
 a b 
a 0 hoặc b 0 .
 2x ay 4
Bài 2: Cho hệ phương trình : 
 ax 3y 5
 a) Giải hệ phương trình với a 1
 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Hướng Dẫn:
 a) Với a 1, ta có hệ phương trình: 2x y 4 6x 3y 12 7x 7 x 1 x 1
 x 3y 5 x 3y 5 x 3y 5 1 3y 5 y 2
 Vậy với a 1, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: x; y 1; 2 .
 b) Ta xét 2 trường hợp:
 x 2
 2x 4 
 Nếu a 0 , hệ có dạng: 5 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất
 3y 5 y 
 3
 2 a
 Nếu a 0 , hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: a2 6 (luôn đúng, vì a 2 0 
 a 3
với mọi a )
 Do đó, với a 0 , hệ luôn có nghiệm duy nhất.
 Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a .
 x my 1 1 
Bài 3: Cho hệ phương trình .Tìm giá trị của m để hệ phương 
 2mx m m 1 y 3 2 
trình:
 a)Có nghiệm duy nhất.
 b)Vô nghiệm.
Hướng Dẫn:
 a)Với m 0 thì 2 là 0x 0y 3 , vô nghiệm.
 2m m m 1 
 Với m 0 , điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là 2m m 1 m 1.
 1 m
 Vậy giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất là m 0 và m 1.
 b)Với m 0 thì hệ phương trình vô nghiệm.
 2m m m 1 1 1
 Với m 0 , điều kiện để hệ vô nghiệm là 2m m 1 m 1.
 1 m 3 3
 Vậy giá trị của m để hệ vô nghiệm là m 0 hoặc m 1.
Lưu ý: Có thể giải bằng cách rút x từ 1 rồi thay vào 2 và rút gọn được m m 1 y 2m 3 .
 Với m 0 và m 1 thì hệ có nghiệm duy nhất.
 Với m 0 hoặc m 1 thì hệ vô nghiệm.
 (m 2)x 3y 5
Bài 4: Cho hệ phương trình: (I ) ( m là tham số)
 x my 3 a) Giải hệ phương trình I với m 1.
 b) Chứng minh hệ phương trình I có nghiệm duy nhất với mọi m . Tìm nghiệm duy nhất 
đó theo m .
Hướng Dẫn:
 a) Thay m 1 ta có hệ phương trình 
 x 3y 5 2 y 2 y 1 y 1 y 1
 x y 3 x y 3 x 3 y x 3 1 x 2
 (m 2)x 3y 5 (m 2)(3 my) 3y 5 3m m2 y 6 2my 3y 5
 b) 
 x my 3 x 3 my x 3 my
 (m2 2m 3) y 3m 1 (1)
 x 3 my (2)
 Ta có: m2 2m 3 (m 1)2 2 0m nên PT 1 có nghiệm duy nhất m
 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m
 3m 1 9 5m
 Từ 1 ta có: y thay vào 2 ta có x 
 m2 2m 3 m2 2m 3
 x my m 1 1 
Bài 5: Cho hệ phương trình: Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá 
 mx y 3m 1 2
 .
trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
Hướng Dẫn:
 Từ phương trình (2) ta có y 3m 1 mx . Thay vào phương trình (1) ta được:
 x m 3m 1 mx m 1 m2 1 x 3m2 2m 1 (3)
 Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất , tức là 
 m2 1 0 m 1.
 Ta cũng có thể lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : 
 1 m
 m2 1 m 1.
 m 1
 Vậy : m 1 mx 2y 2m
Bài 6: Cho hệ phương trình . Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy 
 2x y m 1
nhất và tìm nghiệm duy nhất đó.
Hướng Dẫn:
 mx 2y 2m (1)
 Hệ .
 2x y m 1 (2)
 m 2
 Hệ có nghiệm duy nhất m 4 .
 2 1
 Từ phương trình (2) ta có: y 2x m 1. Thay vào phương trình (1) ta được:
 4m 2
 mx 2 2x m 1 2m m 4 x 4m 2 x , m 4 
 m 4
 4m 2 m2 5m
 y 2. m 1 .
 m 4 m 4
 4m 2 m2 5m 
 Vậy với m 4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x; y ; .
 m 4 m 4 
Bài tập tự luyện
 x my m (1)
Bài 1: Tìm m để hệ phương trình sau: Vô nghiệm ; Vô số nghiệm: 
 mx 9y m 6 (2)
 mx 4y 9
Bài 2: Cho hệ phương trình: . Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm.
 x my 8
 mx - y = 3
Bài 3: Cho hệ phương trình ( m là tham số ) : 
 -x + 2my = 1
 a) Giải hệ phương trình khi m = 1.
 b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 Dạng 3: Điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện đã cho.
 Bước 1: Tìm đ/kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất rồi suy ra nghiệm x ; y của hệ theo m
 Bước 2: Giải điều kiện bài toán: 
 Hệ có nghiệm nguyên: k
 Viết Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên
 f (m)
 Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
 Hệ có nghiệm x, y dương (âm):
 Giải bất phương trình ẩn m => Tập giá trị của m 
 Hệ có nghiệm x, y thỏa mãn một hệ thức đã cho: 
 Thay biểu thức nghiệm x , y vào hệ thức rồi giải phương trình ẩn m
 => Giá trị của m
 Bước 4: Giải điều kiện trên kết hợp với giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất
 => Kết luận giá trị m (tập giá trị m) thỏa mãn điều kiện.
Bài tập minh họa
 2x by a
Bài 1:Tìm a,b biết hệ phương trình: có nghiệm x 1; y 3.
 bx ay 5
Hướng Dẫn:
 Thay x 1; y 3 vào hệ ta có:
 1
 b 
 2.1 b.3 a a 3b 2 3a 9b 6 10b 1 10
 .
 b.1 a.3 5 3a b 5 3a b 5 3a b 5 17
 a 
 10
 1 17
 Vậy a ; y thì hệ phương trình có nghiệm x 1; y 3.
 10 10
 2x ay 5b 1 x 1
Bài 2:Cho hệ phương trình: . Tìm a,b biết hệ có nghiệm 
 bx 4y 5 y 2
Hướng Dẫn:
 2x ay 5b 1 x 1
 Hệ phương trình: có nghiệm 
 bx 4y 5 y 2
 2 2a 5b 1 2a 5b 3 2a 62 a 31
 b 8 5 b 13 b 13 b 13
 x 1
 Vậy a = -31, b = 13 thì hệ phương trình có nghiệm 
 y 2 a 1 x y a 1 1 
Bài 3:Cho hệ phương trình: ( a là tham số)
 x a 1 y 2 2 
 a)Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên
 b)Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x y đạt GTNN.
Hướng Dẫn:
 Từ PT 1 ta có: y a 1 x a 1 3 thế vào PT 2 ta được: 
 2 2 2 2
 x a 1 a 1 x a 1 2 x a 1 x a 1 2 a x a 1 4 
 a2 1
 Với a 0 , phương trình 4 có nghiệm duy nhất x . Thay vào 3 ta có:
 a2
 2 2
 a2 1 a 1 a 1 a a 1 a3 a a2 1 a3 a2 a 1
 y a 1 a 1 
 a2 a2 a2 a2
 a2 1 a 1 
 Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2 
 a a 
 a2 1 a 1 
 a)Với a 0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2 
 a a 
 a2 1
 ¢
 x ¢ a2
 Hệ phương trình có nghiệm nguyên: a ¢ 
 y ¢ a 1
 ¢
 a2
 a2 1 1 1
 Điều kiện cần: x 1 ¢ ¢ a2 1 a 1
 a2 a2 a2
 Điều kiện đủ:
 a 1 y 0 ¢ (nhận)
 a 1 y 2 ¢ (nhận)
 Vậy a 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
 a2 1 a 1 
 b)Với a 0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2 
 a a 
 a2 1 a 1 a2 a 2 1 2
 Ta có x y 1 . 
 a2 a2 a2 a a2 1
 Đặt t ta được:
 a
 2 2
 2 2 1 1 1 7 1 7 7
 x y 2t t 1 2 t t 2 t 2 t 
 2 2 4 16 4 8 8
 1
 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi t , khi đó a 4
 4
 7
 Vậy a 4 thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x y đạt GTNN bằng 
 8
 x 2y m 3
Bài 4: Cho hệ phương trình I ( m là tham số) .
 2x 3y m
 a) Giải hệ phương trình I khi m 1.
 b) Tìm m để hệ I có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn x y 3.
Hướng Dẫn:
 a) Với m 1, hệ phương trình I có dạng:
 x 2 y 4 2x 4 y 8 x 2
 2x 3y 1 2x 3y 1 y 1
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x, y 2;1 .
 5m 9
 x 
 x 2 y m 3 2x 4 y 2m 6 x 2 y m 3 7
 b) 
 2x 3y m 2x 3y m 7 y m 6 m 6
 y 
 7
 5m 9 m 6 
 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y ; .
 7 7 
 5m 9 m 6
 Lại có x y 3 hay 3 5m 9 m 6 21 6m 36 m 6
 7 7
 Vậy với m 6 thì hệ phương trình I có nghiệm duy nhất x, y thỏa mãn x y 3.
 2x y 5m 1
Bài 5:Cho hệ phương trình: .Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: 
 x 2y 2
x2 2y2 2
Hướng Dẫn: 2x y 5m 1 y 5m 1 2x y 5m 1 2x x 2m
 x 2 y 2 x 2(5m 1 2x) 2 5x 10m y m 1
 Thay vào ta có 
 2 2 2 2 2 m 0
 x 2 y 2 (2m) 2(m 1) 2 2m 4m 0 
 m 2
 Vậy m –2;0.
 3x y 2m 9
Bài 6:Cho hệ phương trình có nghiệm x; y . Tìm m để biểu thức A xy x 1 
 x y 5
đạt giái trị lớn nhất.
Hướng Dẫn:
 3x y 2m 9 x m 2 2
 A xy x 1 8 m 1 Amax 8 khi m 1.
 x y 5 y 3 m
 x my m 1
Bài 7:Cho hệ phương trình: ( m là tham số)
 mx y 2m
 a)Giải hệ phương trình khi m 2 .
 x 2
 b)Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn 
 y 1
Hướng Dẫn:
 5
 x 
 x 2y 3 x 2y 3 3x 5 3
 a)Thay m 1 ta có hệ phương trình 
 2x y 4 4x 2y 8 2x y 4 2
 y 
 3
 x my m 1 1 
 b)Xét hệ 
 mx y 2m 2 
 Từ (2) y 2m mx thay vào (1) ta được x m 2m mx m 1 2m2 m2 x x m 1
 1 m2 x 2m2 m 1 m2 1 x 2m2 m 1 (3)
 Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
 3 có nghiệm duy nhất m2 1 0 m 1 * 
 2m 1
 x 
 m 1
 Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất 
 m
 y 
 m 1
 2m 1 1
 2 0
 x 2 m 1 m 1
 Ta có m 1 0 m 1
 y 1 m 1
 1 0
 m 1 m 1