Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 3 - Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

 BÀI 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
I. Lí Thuyết
 Để giải một hệ phương trình, ta có thể biến đổi hệ đã cho thành hệ phương trình tương 
đương đơn giản hơn.
 Phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương hệ phương trình, ta sử dụng 
quy tắc thế, bao gổm hai bước: 
 Bước 1. Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta 
biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ 
còn một ẩn).
 Bước 2. Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương 
trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ 
phương trình đã cho.
II. Các dạng bài tập
 Dạng 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
 Phương pháp giải: Căn cứ vào quy tắc thế, để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng 
phương pháp thế, ta làm như sau: 
 Bước 1. Từ một phương trình của hệ phương trình, biểu diên một ẩn bằng ẩn còn lại, sau đó thế 
vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.
 Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã 
cho.
 Chú ý: Để lời giải được đơn giản, ở bước 1, ta thường chọn phương trình có các hệ số có 
giá trị tuyệt đối không quá lớn (thường là 1 hoặc -1).
Bài tập minh họa
 3x 2y 5
Bài 1: Giải hệ phương trình sau: . 
 2x y 8
Hướng Dẫn:
 3x 2y 5 (1)
 2x y 8 (2)
 Nhận xét: Ta nên rút y theo x ở phương trình hai của hệ, vì hệ số của y là 1.
 Ta có: (2) y 8 2x . Thay y 8 2x vào (1) ta được: 3x 2 8 2x 5 7x 16 5 7x 21 x 3 .
 Với x 3 thì y 8 2.3 2 .
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 3;2 .
 x 2 y 1.(1)
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
 3x 2 y 3.(2)
Hướng Dẫn:
 Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y (gọi là rút x) ta có: x 1 2y.(*)
 Thay x 1 2y.(*) vào phương trình (2) ta được: 3(1 2y) 2y 3.(**)
 x 1 2y
 Thế phương trình (**) vào phương trình hai của hệ ta có: 
 3(1 2y) 2y 3
 x 1 2y x 1 2y x 1 2y x 1
 Giải hệ: 
 3(1 2y) 2y 3 3 6y 2y 3 y 0 y 0
 Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).
 3x 2y 7
Bài 3: Giải hệ phương trình 
 2x y 4
Hướng Dẫn:
 Từ phương trình dưới suy ra y 4 2x . Thay vào phương trình trên ta có phương trình:
 3x 2 4 2x 7 x 1 y 4 2.1 2
 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x; y 1;2 .
 2x y 3
Bài 4: Giải hệ phương trình 
 3x y 7
Hướng Dẫn:
 2x y 3 y 2x 3 y 2x 3 x 2 x 2
 3x y 7 3x 2x 3 7 5x 10 y 2.2 3 y 1
 x 2
 HPT đã cho có nghiệm là: 
 y 1 x y 1
Bài 5: Giải hệ phương trình sau: 
 3x 2y 3
Hướng Dẫn:
 x y 1 3x 2(x 1) 3 5x 5 x 1
 3x 2y 3 y x 1 y x 1 y 0
 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1;0 .
Bài 6: Giải các hệ phương trình:
 3x y 5 ( 2 1)x y 2
 a) ; b) . 
 5x 2y 23 x ( 2 1)y 1
Hướng Dẫn:
 a) Từ PT đầu y = 3x - 5. Thay vào PT tìm được x = 3
 Thay x = 3 vào y = 3x - 5 tìm được y = 4.
 Vậy nghiệm của HPT là (3; 4)
 2 3 1 
 b) Tương tự ý a), nghiệm của HPT là ; 
 2 2 
Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
 3x 5y 1 x 2y 3
 a) ; b) . 
 2x y 8 2x 2y 6
Hướng Dẫn: a) (-3; 2) b) Vô số nghiệm
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
 3x
 x 2 2y 2y 0
 3x 4y 2 0 x 2
 a. b. y 3 3 c. 
 5x 2y 14 x y 2y 5
 x y 1 0 x y 1 0 
 2 3 2
Hướng Dẫn:
 3x
 2y 0
 2 3x 4y 0 x 4
 c. 
 x y 2y 5 3(x y) 4y 15 y 3
 2 3 2
Bài 3: Giải các hệ phương trình: x y
 x y 3 1
 a ) ; b ) 2 3 . 
 3x 4y 2
 5x 8y 3
Hướng Dẫn:
 3 
 a) (10; 7) b) 3; 
 2 
 x 5y 7
Bài 4: Giải hệ phương trình sau: 
 3x 2y 4
 x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 7 5y x 2
 3x 2y 4 3 7 5y 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
 x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
 hoặc 
 3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:
 x 3y 10 2x y 4 2x y 7
 1) 2) 3) 
 x 5y 16 2x 0y 6 0 x 4y 10
 2x y 5 x 2y 2 3x 5y 18
 4) 5) 6) 
 x 7y 9 2x 4y 1 x 2y 5
 5x 3y 7 2x y 3 2x y 2
 7) 8) 9) 
 3x y 8 3x 4y 10 4x 2y 4 0
 2x y x 3y 3 x y 2 x 2y 4
 10) 11) 12) 
 3x 3y 9 x 3y 6 2x 9y 18
 2x 4y 3 x 2y 5 2x y 3
 13) 14) 15) 
 x 2y 1 3x 4y 5 x y 3
 3x 2y 12 2x y 10 x y 0
 16) 17) 18) 
 4x y 5 5x 2y 6 2x y 5
 3x y 2 2x y 0 x y 3
 20) 21) 22) 
 9x 3y 6 x 4y 0 x 2y 3
 x 3y 10 2x y 3x 20 x y 2
 23) 24) 25) 
 2x y 1 4x y x 2y 12 3x 2y 9
 5x y 1 3x y 2 2x y 3
 26) 27) 28) 
 10x 2y 0 6x 2y 3 3x y 7 2x y 7 x 2y 2 x 2y 5
 29) 30) 31) 
 x 2y 5 2x y 1 3x 2y 1
 2x y 5 2x y 5 x y 1
 32) 33) 34) 
 x y 1 3x y 15 3x 2y 8
 0x y 3
 35) 
 x 2y 4
 Dạng 2. Giải hệ phương trình quy vê hệ phương trình nhất hai ẩn
 Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước sau:
 Bước 1. Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình nhất hai ẩn.
 Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tìm được.
Bài tập minh họa
 x y x 2y 2
Bài 1: Giải hệ phương trình: .
 3 x y x 2y 1
Hướng Dẫn:
 x y x 2y 2 x x y 2y 2 2x 3y 2 (1)
 3 x y x 2y 1 3x x 3y 2y 1 4x y 1 (2)
 (2) y 1 4x .
 1
 Thay y 1 4x vào (1) ta được: 2x 3 1 4x 2 10x 5 x .
 2
 1 1
 Với x thì y 1 4. 1.
 2 2
 1 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm là x; y ; 1 .
 2 
Bài 2: Giải các hệ phương trình:
 3(y 5) 2(x 3) 0
a) ;
 7(x 4) 3(x y 1) 14 0
Hướng Dẫn:
 2x 3y 21
 HPT đã cho 
 10x 3y 45
 Từ đó tìm được nghiệm của HPT là (3; 5) (x 1)(y 1) (x 2)(y 1) 1
b) . 
 2(x 2)y x 2xy 3
Hướng Dẫn:
 2x 3y 2
 HPT đã cho 
 x 4y 3
 17 4 
 Từ đó tìm được nghiệm của HPT là ; 
 11 11 
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
 2x 3
 1
c. 3y 2
 3(3y 2) 4(x 2y) 0
Hướng Dẫn: 
 2x 3
 1 2 2x 3 3y 2 x 2,3
 3y 2 (3y 2 0 y ) (tm) 
 3 9y 6 4x 8y 0 y 3,2
 3(3y 2) 4(x 2y) 0
 (x 2)(6y 1) (2x 3)(3y 1)
d. 
 (2x 1)(12y 9) (4x 1)(6y 5)
Hướng Dẫn: 
 (x 2)(6y 1) (2x 3)(3y 1) x 2
 (2x 1)(12y 9) (4x 1)(6y 5) y 1
 2x 3y x y 1
 2x y 1
 4 5
e. 
 4x y 2 2x y 3 x y 1
 4 6 3
Hướng Dẫn: 
 2x 3y x y 1 2
 2x y 1 x 
 4 5 5(2x 3y) 4(x y 1) 20(2x y 1) 3
 4x y 2 2x y 3 x y 1 3(4x y 2) 2(2x y 3) 4(x y 1) 4
 y 
 4 6 3 3
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
 2x 2 3y 14
a. 
 3 3x 2y 3(4 3 2)
Hướng Dẫn: 4 3 3 6 3 3x
 y 
 2x 2 3y 14 2 x(9 2) 9 2 2 x 2
 3 3x 2y 3(4 3 2) 4 3 3 6 3 3x y 2 3 y 2 3
 2x 2 3( ) 14 
 2
 ( 3 1)x y 3
 b. 
 x ( 3 1)y 1
Hướng Dẫn: 
 4 3
 x 
 ( 3 1)x y 3 y ( 3 1)x 3 y ( 3 1)x 3 3
 x ( 3 1)y 1 x ( 3 1).x.[( 3 1)x 3]=1 3x 4 3 1
 y 
 3
 2 3x 3 5y 21
c. 
 4x 2 3y 2 3(2 5)
Hướng Dẫn: 
 4 3 2 15 2 3y
 2 3( ) 3 5y 21
 2 3x 3 5y 21 4 x 3
 4x 2 3y 2 3(2 5) 4 3 2 15 2 3y y 5
 x 
 y
 (x 1)2 (y 2)2 (x 1)2 1 (y 1)2
d. 
 2 2
 (x y 3) (x y 1)
Hướng Dẫn: 
 (x 1)2 (y 2)2 (x 1)2 1 (y 1)2 x 1,5
 2 2 
 (x y 3) (x y 1) y 0,5
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải các hệ phương trình:
 5(x 2y) 3(x y) 99 (x 1)(y 1) xy 1
 a) . b) .
 x 3y 7x 4y 17 (x 3)(y 3) xy 3
Hướng Dẫn: a) (4; 7) b) (2; 2)
Bài 2: Giải các phương trình sau:
 2(x y) 3(x y) 4 (x 1)(y 1) xy 1
 a) ; b) . 
 (x y) 2(x y) 5 (x 3)(y 3) xy 3
Hướng Dẫn: 1 13 
 a) ; b) Vô nghiệm
 2 2 
 Dạng 3. Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
 Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước sau:
 Bước 1. Chọn ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương 
trình bậc nhất hai ẩn mới ở dạng cơ bản
(Tìm điều kiện của ẩn phụ nếu có).
 Bước 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, từ đó tìm nghiệm của 
hệ phương trình đã cho.
Bài tập minh họa
 1 1
 x 
 y 2
Bài 1:Giải hệ phương trình: .
 3 7
 2x 
 y 2
Hướng Dẫn:
 1
 Điều kiện y 0 . Đặt t , hệ phương trình đã cho trở thành
 y
 1 1
 x t t x 1 x 1
 2 2 t x x 1
 2 1 (thỏa mãn)
 7 1 7 t y 2
 2x 3t 2x 3( x) 5x 5 2
 2 2 2
 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là x; y 1;2 .
 1 1
 3
 x y
Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 
 3 2
 1
 x y
Hướng Dẫn:
 1 1
 Đặt u ;v . Theo đề bài ra ta có hệ phương trình:
 x y
 u v 3 v 3 u 5u 5 u 1
 3u 2v 1 3u 2 3 u 1 v 3 u v 2 
 1 1 1
 Từ đó suy ra: x 1; y .
 u v 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: x; y 1;2 
 x y
 3
 x 1 y 1
Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 
 x 3y
 1
 x 1 y 1
Hướng Dẫn:
 x y
 Đặt u ;v . Theo bài ra ta có hệ phương trình:
 x 1 y 1
 u v 3 u 3 v u 3 v u 2
 . 
 u 3v 1 3 v 3v 1 4v 4 v 1
 x
 2 x 2
 x 1 x 2x 2 
 Từ đó suy ra: 1 .
 y y 1 y y 
 1 2
 y 1
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
 1 1 1
 x y 12
a. 
 8 15
 1
 x y
Hướng Dẫn:
 1
 1 2 a 
 1 1 a b 8a 8b 28 x 28
 Điều kiện x, y ≠ 0. Đặt a; b 12 3 
 x y 1 y 21
 8a 15b 1 8a 15b 1 b 
 21
 2 1
 3
 x 2y y 2x
b. 
 4 3
 1
 x 2y y 2x
Hướng Dẫn:
 2 1 10 1
 3 a x 
 x 2y y 2x a b 3 7 3
 (x 2y; y 2x) 
 4 3 4a 3b 1 11 1
 1 b y 
 x 2y y 2x 7 3 5 2
 8
 x y 3 x y 1
c. 
 3 1 3
 x y 3 x y 1 2
Hướng Dẫn:
 5 2 1
 8 u 1 1
 x y 3 x y 1 5u 2v 8 x y 3
 (x y 3; x y 1) 3 
 3 1 3 3u v 1,5 v 1 3
 2 
 x y 3 x y 1 2 x y 1 2
 1
 x 1
 x y 3 1 6
 3(x y 1) 2 5
 y 2
 6
 4 5 5
 x y 1 2x y 3 2
d. 
 3 1 7
 x y 1 2x y 3 5
Hướng Dẫn:
 4 5 5 10
 x 
 x y 1 2x y 3 2 3
 3 1 7 19
 y 
 x y 1 2x y 3 5 3
 3 1 1
 5x y 10
e. 
 3 3 1
 4x 4y 12
Hướng Dẫn:
 3 1 1 3 1 1
 u v u 
 5x y 10 5 10 36 x 36
 (x, y 0) (tm)
 3 3 1 3 3 1 1 y 12
 u v v 
 4x 4y 12 4 4 12 12
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau
 x 1 3 y 2 2
a. (x 1; y 2)
 2 x 1 5 y 2 15
Hướng Dẫn: