Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 3 - Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

 BÀI 2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. Lí Thuyết
1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
 ax by c (1)
 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng 
 a ' x b' y c ' (2)
 Trong đó a, b, a’, b’ là cá số thực cho trước và a2 + b ≠ 0; a’2 + b’2 ≠ 0, x và y là ẩn số.
 Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) được gọi là nghiệm của 
hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô 
nghiệm.
 Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
 Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
 Tập nghiệp của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung 
của hai đường thẳng d: ax +by = c và d’ : a’x + b’y = c’.
 Trường hợp 1. d  d’ = A(x0; y0) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x0; y0);
 Trường hợp 2. d // d’ Hệ phương trình vô nghiệm;
 Trường hợp 3. d  d’ Hệ phương trình có vô số nghiệm;
 Chú ý:
 a b
 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; 
 a ' b'
 a b c
 Hệ phương trình vô nghiệm ;
 a ' b' c '
 a b c
 Hệ phương trình có vô số nghiệm .
 a ' b' c '
II. Các dạng bài tập
Dạng 1. Không giải hệ phương trình, đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai 
 ẩn
 ax by c
 Phương pháp giải: Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 
 a ' x b' y c ' a b
 Hệ phương trình có duy nhất ;
 a ' b'
 a b c
 Hệ phương trình vô nghiệm ;
 a ' b' c '
 a b c
 Hệ phương trình có vô số nghiệm .
 a ' b' c '
Bài 1: Dựa ào các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ dự đoán số nghiệm của các hệ phương trình sau:
 3x 2y 4 2x y 3
 a) ; b) ;
 6x 4y 8 3x-2y 7
 2x 2y 3 2x 5y 11
 c) ; d) . 
 3 2x 6y 7 3x 0y 2 3
Hướng Dẫn:
 a) Ta có a = 3; b = -2; c = 4; a' = -6; b'=4; c' = -8
 a b c 1
 Hệ phương trình có vô số nghiệm.
 a ' b' c ' 2
 a b
 b) Ta có: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 a ' b'
 a b c
 c) Ta có Hệ phương trình vô nghiệm.
 a ' b' c '
 a ' 3 b' 0 a ' b'
 d) Vì b' 0 nên ta xét: ; 0 
 a 2 b 5 a b
Bài 2: . Không giải hệ phương trình, dự đoán số nghiệm của các hệ phương trình sau:
 3x 2y 4 0x - 5y 11
 a) ; b) ;
 0x 4y 8 2x - 0y 2 3
 1
 2x y 2 2x 4y 3
 2 
 c) ; d) .
 3 3 3
 3x y 2x 2y 
 2 4 2
Hướng Dẫn:
 a) Có nghiệm duy nhất b) Có nghiệm duy nhất;
 c) Vô số nghiệm; d) Vô nghiệm. x y 1
Bài 3: Cho hệ phương trình . Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình: 
 mx y 2m
 a) Có nghiệm duy nhất; b) Vô nghiệm;
 c) Vô số nghiệm.
Hướng Dẫn:
 a ' m b' c '
 Xét các tỉ số: m; 1; 2m . Hệ phương trình:
 a 1 b c
 a ' b'
 a) Có nghiệm duy nhất m 1.
 a b
 a ' b' c ' m 1
 b) Vô nghiệm m 1
 a b c m 2m
 a ' b' c ' m 1
 c) Vô số nghiệm m 
 a b c m 2m
 mx y 1
 .
Bài 4: Cho hệ phương trình 2 Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình: 
 x my m
 a) Có nghiệm duy nhất; b) Vô nghiệm;
 c) Vô số nghiệm.
Hướng Dẫn:
 Xét m = 0: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 Xét m ≠ 0: Tương tự 2A. a) m 1; b) m 1; c)cm 1 
 3mx y 2m
Bài 5: Cho hệ p/trình: . Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình:
 3x my 1 m
 a) Có nghiệm duy nhất; b) Vô nghiệm;
 1 10 
 c) Vô số nghiệm; d) Nhận ; làm nghiệm. 
 9 3 
Hướng Dẫn:
 a) m 1; b) m 1; c) m = 1; d) m = -2
Bài 6: Không giải hệ phương trình, xác định số nghiệm cua các hệ phương trình sau:
 x 4y 3 x 2y 3 3x 4y 0
 a) ; b) ; c) ; 
 2x y 4 2x 4y 1 4x 3y 0 0x - 2y 0 2x 2y 2
 x y 4
 d) 1 ; e) x y 1 ; g) .
 2x+ y 1 0x y 2
 2 3 3 3
Hướng Dẫn:
 a) Có nghiệm duy nhất; b) Vô nghiệm;
 c) Có nghiệm duy nhất; d) Có nghiệm duy nhất;
 e) Vô số nghiệm g) Có nghiệm duy nhất;
 Dạng 2. Kiểm tra một cặp số cho trước có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai 
 ẩn hay không
 ax by c
 Phương pháp giải: Cặp số (x0;y0) là nghiệm của hệ phương trình , kh nà chỉ 
 a ' x b' y c '
khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.
Bài 1: Kiểm tra xem cặp số (-4; 5) là nghiệm của hệ phương trình nào trong các hệ phương trình 
sau đây:
 1
 x 2y 12
 2x y 3 2
 a) ; b) . 
 3x 2y 21 1 7
 x y 
 3 3
Hướng Dẫn:
 a) Thay x = -4 và y =5 vào -3x + 2y = 21 ta có: -3.(-4) + 2.5 = 21 (Vô lý)
 (-4; 5) không là nghiệm của hệ phương trình.
 b) Thay x = -4 và y = 5 vào các phương trình của hệ phương trình thấy đều thỏa mãn. Vậy (-
4; 5) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Bài 2: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có là nghiệm của hệ phương trình tương ứng không?
 1
 x 2y 12
 3x 5y 7 2
 a)(1;2) và ; b) 
 2x y 4 1 7
 x y 
 3 3
Hướng Dẫn:
 a) Có; b) Không
Bài 3: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có là nghiệm của hệ phương trình tương ứng không: 2x y 3 2x y 3
 a) (1, 1) và ; b) (-2; 1) và . 
 x y 7 x 3y 1
Hướng Dẫn:
 a) Không b) Có
 mx y 2m
 .
Bài 4: Cho hệ phương trình 2 Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình 
 x m y 7
nhận cặp số (1; 2) làm nghiệm. 
Hướng Dẫn:
 m 2 2m
 m 2
 Thay x = 1 và y = 2 vào hệ phương trình, ta được: 2 
 1 2m 7
 2mx y m
Bài 5: Cho hệ phương trình: . Tìm các giá trị của tham số m để cặp số (-2; 1) là 
 x my 1 6m
nghiệm của phương trình đã cho. 
 1
Hướng Dẫn: m 
 5
 Dạng 3. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị
 ax by c
 Phương pháp giải: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương 
 a ' x b' y c '
pháp giải đồ thị, ta làm như sau:
 Bước 1. Vẽ hai đường thẳng d: ax + by = c và d': a'x + b'y = c' trên cùng một hệ trục tọa độ.
 Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở Bước 1.
Bài 1: Cho hai phương trình đường thẳng: d1 : 2x – y = 5 và d2 : x – 2y = 1.
 a) Vẽ hai đường thẳng d1 và d2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
 2x - y = 5
 b) Từ đồ thị của dl và d2, tìm nghiệm của hệ phương trình: .
 x 2y 1
 c) Cho đường thẳng d 3 : mx + (2m -1 )y = 3. Tìm các giá trị của tham số m để ba đường 
thẳng d1, d2 và d3 đồng quy.
Hướng Dẫn:
 a) Học sinh tự vẽ hình.
 b) Từ đồ thị của (d1) và (d2), ta xác định tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là M (3; 1) (3; 1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
 4
 c) (d1), (d2) và (d3) đồng quy M (3;1) (d ) m 
 3 5
Bài 2: Cho ba đường thẳng: dl : x + 2y = 5,d 2 : 2x + y = 4 và d 3 : 2mx + (m - l)y = 3m + 1.
 a) Vẽ hai đường thẳng d1 và d2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
 x 2y 5
 b) Từ đổ thị của d1 và d2 tìm nghiệm của hệ phương trình: 
 2x y 4
 c) Tìm các giá trị của tham số m để ba đường thẳng d1, d2 và d3 đồng quy.
Hướng Dẫn:
 a) Học sinh tự vẽ hình; b) (1; 2); c)m = 3
Bài 3: Cho hai đường thẳng d1 : 2x + y = 3 và d2 : x - 4y = 6.
 a) Vẽ hai đường thẳng d1 và d2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
 2x y 3
 b) Từ đổ thị của d1 và d2, tìm nghiệm của hệ phương trình: .
 x 4y 6
 c) Cho đường thẳng d 3 : (2m + l)x + my = 2m - 3. Tìm các giá trị của tham số m để ba 
đường thẳng d1, d2 và d3 đổng quy.
Hướng Dẫn:
 a) Học sinh tự vẽ hình
 b) (2; -1); c) m = -5.