Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 3 - Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

 BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. Lí Thuyết
1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
 Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là phương trình có dạng: ax + by = c
 Trong đó a, b, c là các số cho trước, a ≠ 0 hoặc b ≠ 0.
 Nếu các số thực x 0; y0 thỏa mãn ax 0 + by0 = c thì cặp số (x 0; y0) được gọi là nghiệm của 
phương trình ax + by = c.
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệp (x 0; y0) của phương trình ax + by = c được biểu 
diễn bởi điểm có tọa độ (x0; y0).
2. Tập nghiệp của phương trình bậc nhất hai ẩn
 Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm..
 Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng d : ax + by = c.
 c
 x 
 Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì phương trình có nghiệm a và đường thẳng d song song 
 y R
 hoặc trùng với trục tung.
 x R
 Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình có nghiệm c và đường thẳng d song song 
 y 
 b
 hoặc trùng với trục hoành.
 x R y R
 Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì phương trình có nghiệm a c hoặc b c khi 
 y x x y 
 b b a a
 đó đường thẳng d cắt cả hai trục tọa độ.
 a c
 Đường thẳng d là đồ thị hàm số y x . 
 b b
II. Các dạng bài tập
 Dạng 1. Xét xem một cặp số cho trước có là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn hay 
 không
 Phương pháp giải: Nếu cặp số thức (x0; y0) thỏa mãn ax0 + by0 = c thì nó được gọi là 
nghiệm của phương trình ax + by = c. Bài 1: Trong các cặp số (12; 1), (1; 1), (2; - 3), (1; -2), cặp số nào là nghiệm của phương trình bậc 
nhất hai ẩn 2x – 5y = 19.
Hướng Dẫn:
Xét cặp số (12; 1)
 Thay x = 12, y = 1 vào 2x - 5y = 19 ta có 2.12 - 5.1 = 19 (luôn đúng). Vậy (12; 1) là nghiệm 
của phương trình 2x - 5y = 19.
 Xét cặp số (1 ; 1):
 Thay mặt x = 1, y = 1 vào 2x - 5y = 19 ta có: 2.1 - 5.1 = 19 (vô lí)
 Vậy (1; 1) không là nghiệm của phương trình 2x - 5y = 19.
 Tương tự như trên, ta có cặp số (2; -3) là nghiệm, (1; -2) không là nghiệm của phương trình.
Bài 2: Cặp số (-2; 3) là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau:
 a) x – y = 1; b) 2x + 3y = 5; c) 2x + y = -4;
 d) 2x – y = -7; e) x – 3y = -10; g) 2x – y = 2.
Hướng Dẫn:
 Ta có (-2; 3) là nghiệm của các phương trình b) và d).
Bài 3: Trong các cặp số (0;2), (-1; -8), (1; 1), (3; -2), (1; -6), cặp số nào là nghiệm của phương 
trình 3x – 2y = 13 ?
Hướng Dẫn: (-1; -8), (3; -2)
Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m để cặp số (2; -1) là nghiệm của phương trình x – 5y =3m – 1.
Hướng Dẫn:
 Để cặp số (2; -1) là nghiệm của phương trình mx - 5y = 3m - 1 
 Ta phải có: 2m - 5. (-1) = 3m - 1 m = 6.
 Vậy với m = 6 thì (2; -1) là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 5: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình bậc nhất hai ẩn m 1x 2y m 1 có một 
nghiệm là (1; -1).
Hướng Dẫn:
 Vì (1; -1) là nghiệm của phương trình nên
 m 1 0
 m 1 m 1 m 3
 2 
 m 1 (m 1) Bài 6: Viết phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm là (2;0) và (-1;-2).
Hướng Dẫn:
Gọi phương trình cần tìm có dạng: ax + by = c
 Thay các nghiệm (2; 0) và (-1; -2) vào ax + by = c ta được:
 c
 a 
 2a 0b c 2
 a 2b c 3
 b c
 4
 a 2
 Chọn c 4 2x 3y 4. 
 b 3
 a 0
 Chú ý:Nếu chọn c 0 Loại.
 b 0
 Nếu c ≠ 0, ta có thể chọn c tùy ý. Tuy nhiên, nên cân nhắc chọn c hợp lý để tìm được 
 a, b là những số "đẹp".
Bài 7: Cho biết (0;-2) và (2;-5) là hai nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn. Hãy tìm phương 
trình bậc nhất hai ẩn đó.
Hướng Dẫn: -3x - 2y = 4.
Bài 8: Tìm p/trình đường thẳng d biết rằng d đi qua hai điểm phân biệt M(2; 1) và N(5; -1).
Hướng Dẫn: 2x + 3y = 7.
Dạng 2. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn tập 
 nghiệm trên mặt phẳng tọa độ
 Phương pháp giải: Xét phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c.
 Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên, ta biểu diễn x theo y (hoặc 
y theo x) rồi đưa ra kết luận về công thức nghiệm tổng quát.
 Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có 
phương trình ax + by = c.
Bài 1: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt 
phẳng tọa độ:
 a) 2x – 3y = 5; b) 4x + 0y = 12; c) 0x – 3y = 6.
Hướng Dẫn: x ¡
 x 3 x ¡
 a) 2 5; b) c) 
 y x y ¡ ' y 2
 3 3
 Chú ý: Học sinh tự biểu diễn các tập nghiệm của các phương trình bằng cách lần lượt vẽ các 
 2 5
đường thẳng có phương trình y x , x 3 và y 2 trên mặt phẳng tọa độ.
 3 3
Bài 2: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt 
phẳng tọa độ:
 a) 2x – y = 3; b) 5x + 0y = 20; c) 0x – 8y = 16.
Hướng Dẫn:
 x ¡ x 4 x ¡
 a) b) c) 
 y 2x 3' y ¡ ' y 2
Bài 3: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt 
phẳng tọa độ:
 a) x – 3y = 6; b) 3y – 2x = 3; c) 7x + 0y = 14;
 d) 0x – 4y = 8; e) 2x – y = 5; g) 3y + x = 0.
Hướng Dẫn:
 x ¡ x ¡
 x 2
 a) x ; b) 2 c) 
 y 2 y x 1 y ¡
 3 3
 x ¡
 x ¡ x ¡ 
 d) ; e) g) 1
 y 2 y 2x 5 y x
 3
Dạng 3. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước
 Phương pháp giải: Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:
 c
 Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì phương trình đường thẳng d : ax + by = c có dạng d : x = . Khi đó 
 d
d song song hoặc trùng với Oy.
 c
 Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình đường thẳng d : ax + by = c có dạng d : y = . Khi đó d 
 b
song song hoặc trùng với Ox.
 Đường thẳng d : ax + by = c đi qua điểm M(x0; y0) khi và chỉ khi ax0 + by0 = c. Bài 1: . Cho đường thẳng d có phương trình (m – 2)x + (3m – 1)y = 6m – 2.Tìm các giá trị của 
tham số m để:
 a) d song song với trục hoành;
 b) d song song với trục tung;
 c) d đi qua gốc tọa độ;
 d) d đi qua điểm A(1; -1).
Hướng Dẫn:
 m 2 0
 a) song song với Ox 3m 1 0 m 2 
 6m 2 0
 m 2 
 b) d song song với Oy 3m 1 0 m  
 6m 2 0
 1
 c) d đi qua O(0;0) O (d) 6m 2 0 m . 
 3
 1
 d) d đi qua A(1; 1) (m 2) (3m 1) 6m 2 m 
 8
Bài 2: Cho đường thẳng d có phương trình: (2m – 1)x + 3(m – 1)y = 4m – 2. Tìm các giá trị của 
tham số m để:
 a) d song song với trục hoành;
 b) d song song với trục tung;
 c) d đi qua gốc tọa độ;
 d) d đi qua điểm A(2; 1).
Hướng Dẫn:
 1
 a) m ; b) m 1; c)m ; d) m 1 
 2
Bài 3: Cho đường thẳng d có phương trình: (2m – 3)x + (3m – 1)y = m + 2. Tìm các giá trị của 
tham số m để:
 a) d // Ox; b) d // Oy;
 c) d đi qua O(0;0); d) d đi qua điểm A(-3; -2).
Hướng Dẫn: 3 1 9
 a) m b) m ; c) m 2 ; d) m 
 2 3 13
 Dạng 4. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn
 Phương trình giải: Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = 
c, ta làm như sau:
 Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên (x0; y0) của phương trình.
 Bước 2. Đưa phương trình về dạng a(x – x 0) + b(y – y0) = 0 từ đó dễ dàng tìm được các 
nghiệm nguyên của phương trình đã cho.
Bài 1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 3x – 2y = 5.
Hướng Dẫn:
Cách 1. Vì (1; -1) là nghiệm của 3x - 2y = 5 nên ta có:
 x 1 y 1 x 1 2t
 3(x 1) 2(y 1) t (t ¢ ) 
 2 3 y 1 3t
 3x 5 x 5
 Cách 2. Ta có 3x 2y 5 y x 
 2 2
 x 5 x 5 2t
 Đặt t (t ¢ ) 
 2 y 5 3t
 Chú ý: Hai kết quả trong cách 1 và cách 2 hình thức viết khác nhau nhưng nếu biểu diễn tập 
hợp nghiệm trê,n mặt phẳng tọa độ thì lại trùng nhau. Vì vậy, cả hai đều đúng.
Bài 2: a) 5x – 11y = 4; b) 7x + 5y = 143.
Hướng Dẫn:
 x 3 11t x 4 5t
 a) (t ¢ ) b) (t ¢ )
 y 1 5t y 23 7t
Bài 3: Cho phương trình 11x + 18y = 120.
 a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình.
 b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình.
Hướng Dẫn:
 x 6 18t
 a) (t ¢ )
 y 3 11t
 b) Vì x, y nguyên dương nên ta có: 6 1 3 x 6
 t t 0 
 18 3 11 y 3
Bài 4: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
 a) 2x – 3y = 7; b) 2x + 5y = 15.
Hướng Dẫn:
 x 2 3t x 5t
 a) (t ¢ ) ; b) (t ¢ ) 
 y 1 2t y 3 2t
Bài 5: Cho phương trình: 5x + 7y = 112.
 a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình;
 b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình.
Hướng Dẫn:
 x 14 7t
 a) (t ¢ ) b) (x; y) (7; 11),(14;6),(21;1) 
 y 6 5
Bài 6: Cho phương trình 11x + 8y = 73.
 a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình.
 b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình.