Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 2 - Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax+ b ( a ≠ 0)

 BÀI 5: HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y ax b a 0 
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 Khái niệm hệ số góc của đường thẳng y ax b
 Cho đường thẳng d có phương trình y ax b a 0 , khi đó:
 - Số thực a gọi là hệ số góc của d
 - Nếu ta gọi α là góc tạo bởi tia Ox và d. Ta có:
 +) Nếu α 0 và a = tanα 
 +) Nếu a> 900 thì a < 0 và α = -tan (1800 –α)
 - Khi a > 0 thì góc tạo bởi Ox và d là góc nhọn. Hệ số α càng lớn thì góc α càng lớn nhưng 
luôn nhỏ hơn 900.
 - Khi a < 0 thì góc tạo bởi Ox và d là góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc α càng lớn nhưng luôn 
nhỏ hơn 1800
 - Các đường thẳng có cùng hệ số góc α thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng
Phương pháp giải: Sử dụng các kiến thức liên quan đến vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và 
hệ số góc của đường thẳng
 - Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau
 - Đường thẳng y ax b a 0 tạo với tia Ox một góc α thì a = tan α.
Bài 1:Xác định hệ số góc của các hàm số sau
 a) y 5x 1 b) y 3x 2 x
 1
 c) y x 2 3 d) y b 2 x 5 b 2 
 2
HD:
 a) y 5x 1 có hệ số góc là a 5
 b) y 3x 2 x y 3 1 x 2 có hệ số góc là a 3 1
 1 1 1
 c) y x 2 3 y x 2 có hệ số góc là a 
 2 2 2
 d) y b 2 x 5 b 2 có hệ số góc là a b 2
Bài 4:Cho hàm số y ax 1. Tính hệ số góc của hàm số biết
 a) Đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y 2x 3
 b) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 5x 7
 c) Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y 5x 1
HD:
 1
 a) Đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y 2x 3 a.2 1 a 
 2
 b) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 5x 7 a 5
 c) Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y 5x 1 a 5
Bài 1:Cho đường thẳng y ax b . Xác định hệ số góc của d biết
 a. d song song với đường thẳng d1 : 2x y 3 0
 b. d tạo với tia Ox một góc α = 300 c. d vuông góc với đường thẳng d2 : y 2x 3
 d. d tạo với tia Ox một góc α = 1350 .
 e. d đi qua P (-1;-3) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : y x 7,d2 : y 4x 3
HD:
 a 2
 a. d1: y = 2x – 3. Ta có: d // d1 a 2
 b 3
 3 3
 b. Vì α = 300< 900 a tan  tan 300 a 
 3 3
 1
 c. d  d a 
 1 2
 d. d. Vì  900 a tan(1800 1350 ) 1
Bài 2: Cho đường thẳng d : y m 5 x m . Tìm hệ số góc của d biết rằng:
 a. d cắt trục tung tại điểm có tung độ-3
 b. d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2
HD:
 a. d cắt Oy tại điểm có tung độ = -3 từ đó tìm được m = 3 a 2
 b. d cắt Ox tại điểm có hoành độ = 2 từ đó tìm được m = 10 a 5
Bài 3:Tìm hệ số góc của đường thẳng d biết
 a. d đi qua điểm M 2;1 , N 0; 4 
 b. d đi qua điểm P 1; 3 và đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : y x 7 và 
d 2 : y 4x 3
HD:
 a) Gọi phương trình đường thẳng d có dạng y ax b 3 3
 Vì d đi qua M, N nên tìm được a ,b 4 a 
 2 2
 2
 b) d căt d tại M (2;-5). Vậy d đi qua hai điểm P(-1;-3) và M(2;-5) a 
 1 2 3
Bài 4:Cho đường thẳng d : y m 2 4m 1 x 2m 1 với m là tham số. Hãy tìm m để d có hệ số 
góc nhỏ nhất
HD:
 2 2
 Ta có a m 4m 1 m 2 5 amin 5 m 2
Bài 5:Cho đường thẳng d : y 4m 2 4m 3 x 4 với m là tham số. Hãy tìm m để d có hệ số 
góc lớn nhất
HD:
 2 1
 Ta có a 4m 2 4m 3 2m 1 4 a 4 m 
 max 2
 Dạng 2: Xác định góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox
Phương pháp giải: Để xác định góc giữa đường thẳng d và tia Ox, ta làm như sau:
 Cách 1: Vẽ d trên mặt phẳng tọa độ và sử dụng tỉ số lượng giác của tam giác vuông một 
cách phù hợp
 Cách 2: Gọi α là góc tạo bởi tia Ox và d. Ta có:
 +) Nếu α 0 và a = tanα 
 +) Nếu a> 900 thì a < 0 và α = - tan (1800 –α)
Bài 2:Cho hàm số y ax 1. Biết đồ thị hàm số hợp với trục Ox một góc 45 0. Tìm a và cho biết 
hàm số này đồng biến hay nghịch biến
HD:
 Vì đồ thị hàm số hợp với trục Ox một góc 45 0 hệ số góc a tan450 1 0
 Vậy hàm số đồng biến trên R. Bài 3:Cho hàm số y a 1 x 3. Biết đồ thị hàm số hợp với trục Ox một góc 120 0Tính hệ số 
góc của hàm số và cho biết hàm số đồng biến hay nghịch biến
HD:
 Vì hàm số hợp với trục Ox một góc 1200 hệ số góc a 1 tan1200 3 0 
 Vậy hàm số nghịch biến trên R
Bài 6: Tìm góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d, biết:
 a. d có phương trình: y x 2
 b. d cắt Oy tại điểm có tung độ = 1 và cắt Ox tại điểm có hoành độ 3
 c. d đi qua 2 điểm A (0; 1) và B ( 3 ; 0)
 O
 A
 B
HD:
 a. Cách 1: vẽ d trên hệ trục tọa độ
 +) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox , Oy
 Ta có góc tạo bởi d và Ox là: 
  1800 ABO 1350 (ABO 450 )
 Cách 2: Vì 
 a 1 0 a tan(1800 ) tan(1800 ) 1 1800  450  1350
 b. Tương tự:  300 OA 1
 c. Chú ý:  180 0 AOB; tan AOB=  150 0
 OB 3
Bài 10:Cho đường thẳng y 2m 1 x m 1. Tìm m biết
 a) Hệ số góc của đường thẳng bằng 5
 b) Đường thẳng tạo với trục Ox một góc 3 0 0
 c) Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B với AOB vuông cân.
HD:
 a) Hệ số góc của đường thẳng bằng 5 2m 1 5 m 3
 3 3 3
 b) Đường thẳng tạo với trục Ox một góc 300 2m 1 tan300 2m 1 m 
 3 6
 1
 c) Điều kiện để đường thẳng cắt hai trục tọa độ: 2m 1 0 m 
 2
Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B với AOB vuông cân
Trường hợp 1:
 Đường thẳng tạo vưới trục Ox một góc 450 2m 1 tan450 2m 1 1 m 1
Trường hợp 2:
 Đường thẳng tạo vưới trục Ox một góc 1350 2m 1 tan1350 2m 1 1 m 0
Vậy m 1; m 0 là giá trị cần tìm.
Bài 7: Cho các đường thẳng: (d1) : y x 1;(d2 ) : y 3x 3
 a. Vẽ d1 và d2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ
 b. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d1, d2 với trục hoành và C là giao điểm của d1, d2. Tính 
số đo các góc của tam giác ABC.
 c. Tính diện tích tam giác ABC.
HD:
 0
 b. CAB CAx;tan CAx=a1 1 CAB 45
 0 0
 Ta có: tan CBx a2 3 CBA 120 ACB 15
 1 9 5 3
 c. S (1 3)(2 3 3) (dvdt)
 ABC 2 2 1
Bài 8: Vẽ các đường thẳng (d ) : y x 2;(d ) : y x 1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ và 
 1 2 2
chứng minh chúng cắt nhau tại điểm A nằm trên trục hoành
 b. Gọi giao điểm của d1 và d2 với trục tung theo thứ tự là B và C. Tính các góc của tam giác 
ABC
 c. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
HD:
 a. d1 cắt d2 tại A (-2;0)
 b. Tính được: BAC 750 ; ABC 450 ; ACB 600
 c. Chu vi 3 2 2 5;SABC 3
 Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc
Phương pháp giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là d : y ax b
Nếu d đi qua A (x0;y0) và biết hệ số góc thì ta thay tọa độ A(x0;y0) vào d, từ đó tìm được b và (d)
Bài 9: Xác định đường thẳng d, biết rằng:
 1
 a. d đi qua điểm A (2;-3) và có hệ số góc bằng 
 4
 b. d đi qua B(2;1) và tạo với Ox một góc = 600
 c. d đi qua C(-4;0) và tạo với tia Ox một góc 1500
HD:
 Gọi phương trình đường thẳng d: y = ax + b
 1 1 1
 a. Vì d có hệ số góc là nên a = d : y x b
 4 4 4
 7
 Điểm A (2;-3) d b 
 2
 b. Vì d tạo với trục Ox một góc = 600 nên a 3
 Vì B(2;1) d b 1 2 3 3 3 4 3
 c. Tương tự câu b, chú ý: a tan(1800 1500 ) d : y x 
 3 3 3
Bài 10: Xác định đường thẳng d, biết rằng:
 4 
 a. d đi qua điểm M ; 1 và có hệ số góc bằng -3
 5 
 b. d đi qua N 2; 3 và tạo với Ox một góc = 1200
 c. d đi qua P 0; 2 và tạo với tia Ox một góc 300
HD:
 7
 a) d; y 3x b) d : y 3x 3 2 3
 5 
 3
 c) d; y x 2
 3
 4 12
Bài 11: Lập phương trình đường thẳng d có hệ số góc và khoảng cách từ O đên d bằng 
 3 5
 H A
 B O
HD:
 4 4
 (d) có hệ số góc d : y x b
 3 3
 Gọi A, B là giao điểm của d với Oy, Ox, ta được
 +) Thay tọa độ A vào d ta được: y = b
 3b
 +) Thay tọa đọ B vào d ta được: x = 
 4
 Gọi H là hình chiếu của O lên d. Ta có tam giác AOB vuông tại O, có: 3b
 b
 1 1 1 OA.OB 12 4 3 b
 OH b 4 b 4
 OH 2 OA2 OB2 2 2 5 3b 5
 OA OB b2 ( )2
 4
 4
 d : y x 4
 3
 4
 d : y x 4
 3
 BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Cho đường thẳng d : y ax 3. Tìm hệ số góc của d biết rằng:
a) d song song với đường thẳng d ':3x y 1 0
b) d vuông góc với đường thẳng d ': 4x 2y 3 2 0
c) d đi qua điểm A 1; 2 
HD:
a) d ':3x y 1 0 d ': y 3x 1 tìm được a 3
 3 2 1
b) d ': 4x 2y 3 2 0 d ': y 2x tìm được a 
 2 2
Bài 2: Tìm hệ số góc của d, biết rằng:
a. d đi qua hai điểm A( 2;1); B(0;1 3 2)
 1 1 2
b. d đi qua C( ; ) và đồng quy với hai đường thẳng d : y x 1;d : y x 2
 2 4 1 5 2
 m 3m 2
c. d đi qua D(0;-1) và điểm cố định của đường thẳng d : y x (m 1)
 3 m 1 m 1
HD:
 43
a. a = - 3 b. a 
 6 c. Chú ý điểm M(-1;-2) là điểm cố định thuộc d3. Vậy d đi qua 2 điểm M (-1;-2) và D(0;-1). Vậy hệ 
số góc của d = 1.
 1
Bài 3: Cho hai đường thẳng d : y x 4;d : y x 4
 1 2 2
a. Xác đinh các góc giữa d1 và d2 với tia Ox ( làm tròn đến độ )
b. Xác định góc tạo bởi d1 và d2
c. Gọi giao điểm của d1, d2 với trục hoành theo thứ tự là A, B và giao điểm của hai đường thẳng là 
C. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC ( đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm )
HD:
 0 0
a. 1 27 ; 2 135
 0
b. Góc giữa d1 và d2 là 108
c. A(-8;0) ; B(4;0) ; C(0;4) ; OA = 8; OB = 4; 0C = 4 ; AB = 12; AC = 4 5 ;BC= 4 2
Chu vi: P = 12 4 5 4 2; S 24
Bài 4: Xác định đường thẳng d biết rằng:
 9 5 1
a) d đi qua điểm I ; và có hệ số góc bằng 
 2 2 3
b) d đi qua điểm J 2 3;1 và tạo với tia Ox một góc 1500
c) d đi qua K 4; 3 và tạo với trục Ox một góc 600
HD:
 1
a) Ta tìm được d : y x 1
 3
 3
b) Ta tìm được d : y x 3
 3
c) Ta tìm được d : y 3x 3 3