Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 2 - Bài 4: Đường thẳng song song. Đường thẳng cắt nhau

 BÀI 4: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG – ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
 Cho hai đường thẳng: d : y ax b a 0 và d ' : y a ' x b' a ' 0 
 Khi đó ta có:
 a a '
 a. d và d’ song song với nhau 
 b b'
 a a '
 b. d và d’ trùng nhau 
 b b'
 c. d và d’ cắt nhau a a '
 d. d và d’ vuông góc với nhau a.a ' 1
2. Đường thẳng đi qua điểm cố định
 Giả sử đường thẳng y ax b đi qua điểm cố định M x0 ; y0 khi đó phương trình:
 y0 ax0 b nghiệm đúng với mọi a, b
3. Ba đường thẳng đồng quy
 Cho ba đường thẳng: d1 : y a1x b1; d2 : y a2 x b2 ; d3 : y a3 x b3
 Gọi M là giao điểm của d1 và d2 khi đó ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi d3 cũng đi 
qua M.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Phương pháp giải: Cho hai đường thẳng: d : y ax b và d ' y a ' x b' a,a ' 0
Khi đó ta có:
 a a '
 a. d và d’ song song với nhau 
 b b'
 a a '
 b. d và d’ trùng nhau 
 b b'
 c. d và d’ cắt nhau a a ' d. d và d’ vuông góc với nhau a.a ' 1
Bài 1:Hãy nhận xét về vị trí tương đối hai đường thẳng d và d’ trong các trường hợp sau 
 2 1 3 1
 a) d : y 2x 3 và d ': y 2x 5 b) d : y x và d ': y x 
 3 4 2 4
 1 1 1
 c) d : y 2x 1 và d ': y x 2 d) d :3y x 1 và d ': y x 
 2 3 3
HD:
 a) Ta có d / /d ' vì a a ';b b'
 b) Ta có d cắt d ' vì a a '
 c) Ta có d  d ' vì a.a ' 1
 d) Ta có d  d ' vì a a ';b b'
 4
Bài 2:Cho các đường thẳng: d : y 3x 1,d : y x,d : x y 1 0,d : y x 
 1 2 3 4 5
 x
d : y 3x 7,d : y 3. Trong các đường thẳng trên, hãy chỉ ra các cặp đường thẳng
 5 6 3
 a) Song song b) Vuông góc
HD:
 a) Các cặp đường thẳng song song là: d1 / /d5;d2 / /d3
 b) Các cặp đường thẳng vuông góc là: d2  d4 ;d3  d4
Bài 3:Cho hai đường thẳng: d : mx m 1 y 2 m 2 0 và 
d ':3mx 3m 1 y 5m 4 0 . Tìm m để hai đường thẳng trên:
 a. Song song b. Cắt nhau c. Vuông góc với nhau
HD:
 m 2(m 2) 3m 5m 4 1
 a. d : y x (m 1) ; d ': y x (m )
 m 1 m 1 3m 1 3m 1 3 m 0
 m 3m 1
 m 
 a a ' m 1 3m 1 3 1
 d / /d ' m 
 b b' 2(m 2) (5m 4) m 0 3
 m 1 3m 1 13
 m 
 11
 m 0
 m 3m 1 1
 b. d và d’ cắt nhau a a ' 1 m 0;1; ;
 m 1 3m 1 m 3 3
 3
 m 3m 1
 c. d vuông góc d’ a.a ' 1 . 1 m 
 m 1 3m 1 2
Bài 4:Cho đường thẳng d : y m2 2 x m 1 với m là tham số. Tìm m để:
 a. d song song với d1 : y 2x 3
 b. d trùng với d2 : y x 2
 c. d cắt d3 : y 3x 2 tại điểm có hoành độ x = -1
 4 1
 d. d vuông góc với d : y x 
 4 5 2
HD:
 m2 2 2
 a) d / /d1 m 2
 m 1 3
 m2 2 1
 b) d  d2 m 1
 m 1 2
 c. Thay x = -1 vào d3 ta được y = -5 
 Thay x = -1; y = -5 vào d ta được: m = -2 hoặc m = 3 ( thỏa mãn )
 4 3
 d. d  d (m2 2) 1 m 
 4 5 2
Bài 5:Cho hàm số y m 1 x m d . Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng có 
phương trình x 2 y 1
HD: 1 1
 Đường thẳng x 2 y 1 y x d ' 
 2 2
 1
 m 1 
 a a ' 2 3
 Để d / / d ' m 
 b b' 1 2
 m 
 2
Bài 6:Cho hàm số y m 2 x n d trong đó m, n là tham số
 a) Tìm m, n để d vuông góc với đường thẳng x 2 y 3
 b) Tìm m, n để d song song với đường thẳng 3x 2 y 1
 c) Tìm m, n để d trùng với đường thẳng y 2x 3 0
HD:
 1 3
 a) Đường thẳng x 2 y 3 y x d 
 2 2 1
 1
 Để d  d m 2 . 1 m 0
 1 2
 Vậy m 0; n R thì d d1
 3 1
 b) Đường thẳng 3x 2y 1 y x d 
 2 2 2
 3 1
 m 2 m 
 2 2
 Để d / /d 2 
 1 1
 n n 
 2 2
 1 1
 Vậy m ; n thì d / /d
 2 2 2
 c) Đường thẳng y 2x 3 0 y 2x 3 d3 
 m 2 2 m 4
 Để d  d3 
 n 3 n 3
 Vậy m 4; n 3 thì d  d3 
Bài 7:Cho hàm số y mx 1 1 , trong đó m là tham số
 a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A 1; 4 . Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) 
đồng biến hay nghịch biến trên R
 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng d : y m2x m 1
HD: a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A 1; 4 nên: 4 m 1 m 3
 Vậy m 3 đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A 1;4 
 Vì m 3 0 nên hàm số (1) đồng biến
 m 2 m
 b) Đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) m 1
 m 1 1
 Vậy m 1 thỏa mãn điều kiện của bài toán.
 2
Bài 8:Cho các đường thẳng d1 : y m 1 x 2 m 2 , với m 1 và d2 : y mx m 1 m 0 
 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hai đường thẳng d1 và d2 không thể trùng nhau
 2) Tìm các giá trị của m để:
 a) d1 và d2 song song b) d1 và d2 cắt nhau
 c) d1 và d2 vuông góc.
HD:
 m m 1 0.m 1
 1) Ta có d1  d2 2 2 (vô lý)
 m 2 m 2 m 1 3 0
 Vậy với mọi giá trị của m, hai đường thẳng d1 và d2 không thể trùng nhau.
 m m 1 0.m 1 m 
 2) d1 và d2 song song 2 2 m 
 m 2 m 2 m 1 3 0 m
 b) d1 và d2 cắt nhau m m 1 0 1 (đúng với mọi m)
 Vậy với mọi m thì d1 và d2 cắt nhau
 2
 1 3
 c) d1  d2 m m 1 1 m 0 (vô lý)
 2 4
 Vậy không có giá trị nào của m để d1 và d2 vuông góc.
 2 2
Bài 9: Cho đường thẳng d1 : y x 2 và đường thẳng d2 : y 2m m x m m . Tìm m để 
(d1) / /(d2 ) .
HD:
 2m2 m 1 m 1 2m 1 0 1
 Đường thẳng (d ) / /(d ) khi và chỉ khi m .
 1 2 2 
 m m 2 m 1 m 2 0 2
 1
 Vậy với m thì (d ) / /(d ) .
 2 1 2 Bài 10:Cho các đường thẳng: 
 2
 d : y m 3 x 4m 1,d1 : y 5mx 2 3m,d2 : y 2m x 2m 4
 1 3 1
 và d : y x ,d : y 3m 4 x 5 . Tìm m để:
 3 2 2 4 2
 1
 a. d // d b. d trùng d c. d cắt d tại K có y d. d vuông góc với d
 1 2 3 k 2 4
HD:
 m 2
 3 3 9 
 a. m b. m c. m d. 7
 4 2 4 m 
 3
B ài 11 : Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.
 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
HD :
 1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 m = -1.
 Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta được : m = -3.
 Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có 
 x0 1
 y0 = (m – 1)x0 + m + 3 (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 
 y0 2
 Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).
Bài 12:Cho hàm số y mx 1 1 , trong đó m là tham số
 a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A 1;4 . Với m vừa tìm được, hàm số (1) đồng 
biến hay nghịch biến trên R? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng d : y m2x m 1
HD:
 a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A 1;4 nên: 4 m 1 m 3
 Vậy với m 3 thì đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A 1;4 
 Vì m 3 0 hàm số (1) đồng biến trên R
 m 2 m
 b) Đồ thị hàm số (1) song song với (d) m 1
 m 1 1
 Vậy với m 1 thì thỏa mãn bài toán.
 Dạng 2: Xác định phương trình đường thẳng y ax b
Phương pháp giải: Để xác định phương trình đường thẳng ta thường làm như sau
 Gọi d : y ax b là phương trình đường thẳng cần tìm (a,b là hằng số)
 Lập phương trình đường thẳng y ax b tức là đi tìm hệ số góc và hệ số b
 Để tìm a và b ta sử dụng dữ kiện bài toán cho như:
 - Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A xA, yA va điểm B xB, yB thì thay tọa độ của A và B vào 
hàm số
 Các phương trình liên hệ a và b giải phương trình tìm a và b
 - Biết đồ thị hàm số đi qua điểm x0, y0 và vuông góc (hoặc song song) với một đường 
thẳng cho trước
 + Yếu tố vuông góc (hoặc song song) với một đường thẳng cho trước hệ số góc a
 + Thay điểm x0, y0 vào hàm số tìm được hằng số b
 - Biết đồ thị hàm số đi qua điểm x0, y0 và hợp với trục hoành (Ox) một góc 
 + Yếu tố hợp với trục hoành (Ox) một góc hệ số góc a tan 
 + Thay điểm x0, y0 vào hàm số tìm được hằng số b
 Nếu là đường thẳng trung trực của đoạn AB thì vuông góc với AB tại trung điểm I 
của đoạn AB
 x y
 x A A
 I 2
 Tọa độ trung điểm của AB là: 
 y y
 y A B
 I 2 Bài 1:Xác định hàm số y ax b biết đồ thị của nó đi qua hai điểm M 2;3 và điểm N 5;4 
HD:
 Đồ thị hàm số y ax b đi qua điểm M 2;3 b 3 2a 1 
 Đồ thị hàm số y ax b đi qua điểm N 5; 4 b 4 5a 2 
 1 7
 Từ 1 2 3 2a 5 4a 3a 1 a b 
 3 3
 1 7
 Vậy ta có hàm số y x .
 3 3
Bài 2:Xác định hàm số y ax b biết đồ thị của nó đi qua điểm B 3;1 và tạo với trục hoành 
một góc 6 0 0
HD:
 Đồ thị hàm số y ax b tạo với trục hoành một góc 60 0 
 Suy ra: hệ số góc a tan600 3 y 3x b
 Mà đồ thị hàm số này đi qua điểm B 3;1 3 3 b 1 b 1 3 3
 Vậy ta có hàm số y 3x 1 3
Bài 3:Trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 2; 1 ;B 4;5 . Viết phương trình đường 
thẳng AB và phương trình đường thẳng (d) là đường thẳng trung trực của đoạn AB
HD:
 Phương trình đường thẳng AB có dạng AB : y ax b
 AB đi qua điểm A 2; 1 2a b 1 b 2a 1
 AB đi qua điểm B 4;5 4a b 5 b 5 4a
 Do đó 5 4a 2a 1 6a 6 a 1 b 1 AB : y x 1
 Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là: I 1;2 .Đường thẳng d : y kx b 'là đường trung 
trực của AB nên vuông góc với AB tại I
 + d  AB k.1 1 k 1
 + d đi qua điểm I 1;2 k b' 2 b' 2 k 3
 Vậy d : y x 3
Bài 4:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d1 : y 2x 1; d2 : y x; d3 : y 3x 2. Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng d song song với đường thẳng d3 đồng thời đi qua giao điểm 
của hai đường thẳng d1 và d2 .
HD:
 Phương trình đường thẳng d : ax b (a, b ¡ ) .
 a 3
 d Pd3 d : y 3x b, (b 2).
 b 2
 Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1, d2 là nghiệm của hệ phương trình
 y 2x 1 x 2x 1 x 1
 A(1;1)
 y x y x y 1
 A(1;1) d : y 3x b 1 3 1 b b 4 (tm).
 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d : y 3x 4 .
Bài 5:Cho điểm B 2; 3 , viết phương trình đường thẳng (d) đi qua B và vuông góc với OB. Tính 
góc tạo bởi đường thẳng (d) với trục Ox
HD:
 Phương trình đường thẳng (OB) là: y a1 x
 3
 Ta có OB đi qua B 2;3 2a 3 a 
 1 1 2
 Phương trình đường thẳng d : y a2x b
 3 2
 d vuông góc với OB a .a 1 a 1 a 
 1 2 2 2 2 3
 2 13
 d đi qua điểm B 2;3 2a2 b 3 b 3 2a 3 2. 
 3 3
 2 13
 Vậy d : y x 
 3 3
 2
 d tạo với Ox một góc thỏa mãn tan 
 3
Bài 6:Xác định hàm số y ax b , biết đồ thị của nó đi qua điểm A 1;2 và vuông góc với đồ thị 
 1
hàm số y x 1
 3 HD:
 1 1
 Đồ thị hàm số y ax b vuông góc với y x 1 a. 1 a 3
 3 3
 Đồ thị hàm số y ax b đi qua điểm A 1;2 a.1 b 2 b 2 a 2 3 5
 Vậy hàm số cần tìm là y 3x 5
Bài 7:Xác định hàm số y ax b , biết đồ thị của nó đi qua điểm M 2;3 và song song với đồ thị 
hàm số y 3x 1
HD:
 Đồ thị hàm số y ax b song song với y 3x 1 a 3; b 1
 Đồ thị hàm số y ax b đi qua điểm M 2;3 2a b 3 b 3 2a 3 2.3 3
 Vậy hàm số cần tìm là y 3x 3
 1 3 
Bài 8:Xác định hàm số y ax b , biết đồ thị của nó đi qua điểm E ; tạo với trục hoành một 
 2 2 
góc 1200
HD:
 Đồ thị hàm số y ax b tạo với trục hoành một góc 120 0 a tan120 0 3
 1 3 1 3 3 1 3 3
 Đồ thị hàm số y ax b đi qua điểm E ; a b b a b 
 2 2 2 2 2 2 2
 3 3
 Vậy hàm số cần tìm là y 3x 
 2
Bài 9:Xác định hàm số y ax b , biết đồ thị của nó cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 
và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3
HD:
 Đồ thị hàm số y ax b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 
 2.0 b 3 b 3
 Đ/thị hàm số y ax b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 
 3
 2.a b 3 a 
 2
 3
 Vậy hàm số cần tìm là y x 3 .
 2
Bài 10:Một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc bằng 5