Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 2 - Bài 1: Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

 BÀI 1: NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm hàm số
 a. Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn 
xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến sô
 b. Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc công thức
 c. Khi y là hàm số của x, ta có thể viết: y = f(x) ; y = g(x) ; ....
 d. Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là hàm hằng.
2. Giá trị của hàm số, điều kiện xác định của hàm số
 Giá trị của hàm số f(x) tại điểm x0 kí hiệu là: y0 = f(x0)
 Điều kiện xác định của hàm số y = f(x) là tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có 
nghĩa
3. Đồ thị của hàm số
 Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm M(x;y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy 
sao cho x,y thỏa mãn hệ thức: y = f(x).
 Điểm M (x0;y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) y0 f (x 0 )
4. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
 Cho hàm số: y = f(x) xác định với x R
 Nếu giá trị của x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng cũng tăng lên thì hàm số y = 
 f(x) được gọi là đồng biến trên R.
 Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của y = f(x) tương ứng giảm đi thì hàm số 
 gọi là nghịch biến trên R
 Nói cách khác: Với x1 , x2 bất kỳ thuộc R
 Nếu x1< x2 mà f(x1) < f(x2) thì y = f(x) đồng biến trên R
 Nếu x1 f(x2) thì y = f(x) nghịch biến trên R
 Chú ý: Trong quá trình giải toán ta có thể sử dụng kiến thức sau đây để xét tính đồng biến 
hoặc nghịch biến của hàm số trên R.
 f (x2 ) f (x1)
 Cho x1, x2 thuộc R và x1 ≠ x2 . Đặt T 
 x2 x1
 +) Nếu T > 0 thì hàm số đã cho đồng biến trên R +) Nếu T < 0 thì hàm số đã cho nghịch biến trên R.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1: Tính giá trị của hàm số tại một điểm
Phương pháp giải: Để tính giá trị của hàm số y = f(x) tại điểm x0, 
 Ta thay x = x0 vào y = f(x) được: y0 = f(x0)
Bài 1:Tính giá trị của hàm số 
 2 1 2 3
 a) y f x x x 2 tại x0 b) y f x tại x 3
 2 x2 1 0
 x 1
 c) y = f(x) = x2 1 2 tại x 5 và tại x 
 2 0 0 4
HD:
 1 2
 x x 2 1 1 1 5
 a) Thay 0 vào y f x x x 2 ta được: y0 f 2 
 2 2 2 2 4
 3
 b) Tương tự thay x 3 vµo y f x ta tÝnh ®­îc y 
 0 0 2
 5 1
 x 
 c) tại x0 5 y f (x) Tại 0 Không tồn tại
 2 4 : 
Bài 2: Cho hàm số y = f x = 2x + 3
 3
 a)Tính giá trị của hàm số khi x = -2; - 0,5; 0; 3; 
 2
 b)Tìm giá trị của x để hàm số có giá trị bằng 10; -7 
HD:
 a) Ta có: Khi x = -2 f 2 = 2.(-2) + 3= - 4 + 3 = - 1
 1 1 1 
 x = f 2. 3 1 3 2
 2 2 2 
 x = 0 f 0 2.0 3 3
 x = 3 f 3 2.3 3 6 3 9
 3 3 3
 x = f 2. 3 3 3
 2 2 2
 b) Để hàm số y = f x 2x + 3 có giá trị bằng 10 2x + 3=10
 7
 2x = 10 - 3 2x = 7 x = 
 2
 7
 Vậy khi x = thì hàm số có giá trị bằng 10. 
 2
 +) Để hàm số y = f x = 2x + 3 có giá trị bằng -7 2x + 3 = -7 2x = -7 - 3 2x = - 10 x = -5
 Vậy khi x = -5 thì hàm số có giá trị bằng -7. 
 2
Bài 3:Cho hàm số y f (x) 3 x 1 mx 2x 3 (m là tham số). Tìm m để f(3) = f(-1)
HD:
 Ta có: f(3) = 9m + 3 và f(-1) = m + 5 
 1
 f (3) f ( 1) 9m 3 m 5 m 
 4
Bài 4: Tìm m để hàm số: y f (x) ( m2 4 m)x2 2mx 5 thỏa mãn điều kiện f(0) = f(1) 
HD:
 Ta có: f(0) = 5 và 
 3m 0 2
 f (1) m2 4 3m 5 f (0) f (1) m2 4 3m m
 2 2 
 m 4 (3m) 2
Bài 5: Cho hàm số y f (x) x2 6x 9
 a. Tính f(-1) ; f(5) b. Tìm x để f(x) = 10
 f (x)
 c. Rút gọn A (x 3)
 x2 9
HD:
 a. Ta có: y f (x) x2 6x 9 x 3 f ( 1) 4; f (5) 2
 x 3 10 x 13
 b. f (x) 10 x 3 10 
 x 3 10 x 7
 f (x) x 3
 c. A 
 x2 9 (x 3)(x 3)
 1
 +) Nếu x < 3 thì x – 3 < 0 x 3 3 x A 
 x 3
 1
 +) Nếu x > 3 A 
 x 3
 1
Bài 6:Cho hai hàm số f x 5x 3 và g x x 1
 2
 a. Tìm a sao cho: f(a) = g(a) b. Tìm b sao cho: f b 2 g 2b 4 
HD:
 1 8
 a. f(a) = g(a) 5a 3 a 1 a 
 2 11
 b. Ta tìm được b = 2
Bài 7: Cho hai hàm số f9x) = 5x – 3 và g(x) = -4x + 1 . Tính 1
 a. f(-2) - g( ) b. 2. f 2 ( 3) 3.g 3 ( 2)
 2
HD:
 1
 a. f(-2) - g( ) = -12 b. -1539
 2
 x 1
Bài 8:Cho hàm số y f (x) 
 x 1
 a. Tìm tập xác định của hàm số b. Tính f (4 2 3)
 c. Tìm x nguyên để f(x) nhận giá trị nguyên
HD:
 x 0 x 0
 a. Hàm số xác định khi: 
 x 1 0 x 1
 ( 3 1)2 1 3
 b. f (4 2 3) 
 ( 3 1)2 1 3 2
 x 1 2
 y f (x) 1 Z ( x 1) U (2)
 c. x 1 x 1
 x 1 1; 2 x 0;4;9
Bài 9: (Khó) Cho hàm số y = f(x) với f(x) là một biểu thức đại số xác định với mọi số thực x khác 
 1 2
không. Biết rằng: f(x) + 3f = x  x ≠ 0. Tính giá trị của f(2).
 x 
HD:
 1 2
 Xét đẳng thức: f(x) + 3f = x x 0 (1)
 x 
 1 
 Thay x = 2 vào (1) ta có: f(2) + 3. f = 4.
 2 
 1 1 1
 Thay x = vào (1) ta có: f + 3.f(2) = 
 2 2 4
 a + 3b = 4
 1 13
 Đặt f(2) = a, f = b ta có. 1 . Giải hệ, ta được a = - 
 2 3a + b = 32
 4
 13
 Vậy f(2) = - .
 32
 Dạng 2: Tìm điều kiện xác định của hàm số
Phương pháp giải: Chú ý rằng
 +) Hàm số dạng căn thức: y A(x) xác định ( Hay có nghĩa ) A(x) 0 A(x)
 +) Hàm số dạng phân thức: y xác định ( Hay có nghĩa ) B(x) 0
 B(x)
Bài 1: Tìm điều kiện của x để hàm số sau xác định
 2 x 4
 a. y 3 b. y 
 x 1 1 x
 5x 3 x 4 x
 c. y d. y 
 x2 1 x 1
HD:
 a) Hàm số xác định x 1 0 x 1
 x 0
 b) Hàm số xác định 0 x 1
 1 x 0
 c) Hàm số xác định x
 d) Hàm số xác định 0 x 1
Bài 2: Tìm điều kiện của x để hàm số sau xác định
 x x
 a. y b. y x 3 6 x c. y 2x 1 3 5
 x2 2x x 1
 4 2 2 x
 d. y x 3 x 7 e. y 
 x 3x 4
HD:
 2 x 0
 a. Hàm số xác định x 2x 0 
 x 2
 3 x 0 x 3
 b. Hàm số xác định 3 x 6
 6 x 0 x 6
 2x 1 0 1
 c. Hàm số xác định x 1
 x 1 0 2
 d. Hàm số xác định 7 x 0
 4
 Hàm số xác định x 2
 e. 3
Bài 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau x 1
a. y x 1 x2 3x 2 b. y c. y x 3 2 x 2 2 x2 2 1 x2
 x 4
HD:
 x 1
 x 1
 x 1 0 
 x 1 0 x 1 x 1
 x 2 0 
 2 (x 1)(x 2) 0 x 2
 x 3x 2 0 
 x 1 0 
 x 1
 a. Hàm số xác định x 2 0 
 x 2
 x 1
 x 2
 x 2 
 1 x 1
 x 1
 Vậy điều kiện: [ -1; 1] [2;+ ]
 x 0 x 0
 b. Hàm số xác định 0 x 4
 x 4 0 x 4 0
 y x 3 2 x 2 2 x2 2 1 x2 ( x 2 1)2 ( 1 x2 1)2
 c. 
 x 2 1 1 x2 1 x 2 1 x2 2
 Hàm số xác định
 x 2 x 2
 1 x 0 x 1
 x 2 0 x 2 
 1 x 0 x 1
 2 
 1 x 0 (1 x)(1 x) 0 
 1 x 0 x 1
 (vonghiem)
 1 x 0 x 1
 1 x 1
 Dạng 3: Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Phương pháp giải: Ta thực hiện một trong các cách sau
 Cách 1: Sử dụng định nghĩa
 Giả sử x1< x2 , ta xét hiệu f(x1) – f(x2)
 +) Nếu f(x1) – f(x2) 0 thì hàm số nghịch biến
 f (x 2 ) f (x1)
 Cách 2:Với mọi x1, x2 thuộc R, x1 ≠ x2 , xét tỷ số: T 
 x 2 x1
 +) Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến
 +) Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến.
Bài 1: Chứng minh rằng
 1
 a) Hàm số y f x 3x đồng biến trên R
 4
 1
 b) hàm số y f x x 3 nghịch biến trên R
 2
HD:
 a) Ta có a 3 0 dpcm
 1
 b) Ta có b 3 0 dpcm
 2
Bài 2: Với a là hằng số, các hàm số sau đồng biến hay nghịch biến trên R?
 2 1
 a) y f x x 5a b) y f x 5x a2 
 3 2
Bài 3: Xét sự biến thiên của hàm số y = f(x) = x – 2
HD:
 Cách 1: Hàm số xác định trên R
 Cho x các giá trị bất kỳ x1, x2 sao cho x1< x2 x1 x2 0
 Xét f(x1) – f(x2) = ( x1 – 2 ) – ( x2 – 2) = x1 – x2< 0 f (x1) f (x2 )
 Hàm số đồng biến trong tập xác định của nó
 Cách 2: Hàm số xác định trong R
 Với mọi x1, x2 thuộc R, x1 ≠ x2 , ta có:
 f (x ) f (x ) (ax b) (ax b)
 T 2 1 2 1 a
 x 2 x1 x2 x1
 +) Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên R
 +) Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên R.
 4
Bài 4: Cho hàm số y x 3với x R . Chứng minh hàm số đồng biến trên R
 7
HD: Trên tập hợp số thực R cho x hai giá trị tùy ý x1 , x2 sao cho: x1< x2 x1 x2 0
 4 4 4
 y y ( x 3) ( x 3) (x x ) 0 y y o y y
 1 2 7 1 7 2 7 1 2 1 2 1 2
 Vậy hàm số đồng biến trên R.
Bài 5: Chứng tỏ rằng hàm số y = 4x2 + 9 đồng biến trong khoảng (0; 5)
HD:
 Trong khoảng ( 0 ; 5) lấy hai giá trị tùy ý của x sao cho x1< x2 , ta có:
 2 2
 f (x1) f (x2 ) (4x 1 9) (4x2 9) 4(x1 x2 )(x1 x2 )
 Vì: x1< x2 x1 x2 0 ; x1 , x2 (0;5) x1 x2 0 4(x1 x2 )(x1 x 2 ) 0
 f (x1) f (x2 ) 0 f (x1) f (x2 )
 Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (0; 5)
Bài 6: Cho hàm số y 3x2 6x 5(x R)
 a. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
 b. CMR: Hàm số đồng biến khi x > -1 , hàm số nghịch biến khi x < -1
HD:
 a. y 3x2 6x 5 3(x 1)2 2 2x R min y 2 x 1
 b. Trên tập hợp số R cho hai giá trị bất kỳ x1< x2 , ta có: x1 – x2< 0 , khi đó:
 2 2
 y1 y2 [3(x1 1) 2] [3(x2 1) 2] 3(x1 x2 )(x1 x2 2)
 +) Khi x > -1 x1 x2 2 x1 x2 2 0 3(x 1 x2 )(x1 x2 2) 0 y1 y2 
 Suy ra hàm số đồng biến
 +) Khi x < -1 x1 x2 2 x1 x2 2 0 3(x1 x2 )(x1 x2 2) 0 y1 y2 
 Suy ra hàm số nghịch biến.
 Dạng 4: Biểu diễn tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Phương pháp giải: Để biểu diễn tọa độ của điểm M x0 ; y0 trên hệ trục tọa độ Oxy, ta làm như 
sau:
 Vẽ đường thẳng song song với trục Oy tại điểm có hoành độ x x0 Vẽ đường thẳng song song với trục Ox tại điểm có hoành độ y y0
 Giao điểm của hai đường thẳng trên chính là điểm M x0 ; y0 
 3 
Bài 1: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho các điểm A 2;1 ; B 0; 1 ;C ; 2 
 2 
 a. Biểu diễn điểm A, B, C trên Oxy
 b. Trong các điểm A, B, C điểm nào thuộc hàm số y f x 2x 1
HD:
 b) Xét điểm A 2;1 
 Thay x 2; y 1 vào y f x 2x 1 ta được: 1 2.( 2) 1 (vô lý)
 Vậy điểm A 2;1 không thuộc đồ thị hàm số y f x 2x 1
 Tương tự ta có điểm B thuộc và điểm C không thuộc đồ thị hàm số y f x 2x 1
Bài 2: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho các điểm M 1; 1 ; N 2;0 ; P 2;2 
 a. Biểu diễn điểm M, N, P trên Oxy
 1
 b. Trong các điểm M, N, P điểm nào thuộc hàm số y f x x2
 2
HD:
 b) Các điểm M, N không thuộc, điểm P thuộc đồ thị hàm số
Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD với A 1;2 ; B 3;0 ;C 2;0 ; D 2;2 
 a. Vẽ tứ giác ABCD trên mặt phẳng tọa độ
 b. Gọi độ dài mỗi đơn vị trên các trục Ox, Oy là 1cm, tính diện tích tứ giác ABCD
HD:
 b) Ta thấy ABCD là hình thang vuông đáy AD và BC, chiều cao CD
 2
 Áp dụng công thức tính diện tích hình thang tính được: SABCD 8cm
Bài 4: Cho tam giác ABC trên mặt phẳng tọa độ Oxy với A 3;0 ; B 2;0 ;C 0;4 
 a. Vẽ tam giác ABC trên Oxy b. Tính diện tích tam giác ABC biết mỗi đơn vị trên các trục Ox, Oy cùng là 1m
HD:
 1 1 2
 b) Ta có: SABC OC.AB .4.5 10 m 
 2 2
 BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tính giá trị của hàm số
 2 2 3
 a) y f x 3x 2x 1 tại x 2 b) y f x x 5 tại x0 
 0 3 4
 2x
 c) y f x tại x0 6 d) y f x mx 2m 1 tại x0 3 (m 
 x2 3
là tham số)
HD:
 3 9
 a) f 2 9 b) f 
 4 2
 2 6
 c) f 6 d) f 3 5m 1
 3
Bài 2: Tìm điều kiện của x để hàm số sau xác định
 1 3x 4 1
 a. y b. y x 1 5x2 
 2 2x 5 5 2x 3
 x 2 x 1
 c. y d. y 
 2 x 1 5 2x 3 x
HD:
 5 3 1 5
 a) x b) 1 x c) 0 x d) 0 x 3; x 
 2 2 4 2
Bài 3: Cho các điểm K 1;2 ;M 0; 3 ; N 4;2 trên cùng hệ trục tọa độ Oxy
 a) Biểu diễn các điểm K, M, N trên Oxy