Kế hoạch dạy thêm Đại số Lớp 9 - Chương 1 - Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

 BÀI 8: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 Bước 1: Rút gọn trực tiếp các cụm (nếu có)
 Bước 2: Tách mẫu để xác định mẫu chung, quy đồng (nếu có)
 Bước 3: Xác định mẫu chung để quy đồng.
 Lưu ý: 
 2 3
 x x. x x2 x voi x 0 ; x x x3 x voi x 0
 2
 a.x + b.x + c = 0 Nếu x = x1 và x = x2 là nghiệm pt, ta viết: a.(x – x1).(x – x2) = 0
 Cho x 0, y 0. Ta có các công thức biến đổi sau:
 1. x ( x )2 ; x x ( x )3
 2. x x x( x 1)
 3. x y y x xy( x y )
 4. x y ( x y )( x y )
 5. x 2 xy y ( x y )2
 6. x x y y ( x )3 ( y )3 ( x y )( x  xy y )
II.CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1: Xác định mẫu chung để quy đồng trực tiếp
Nhận dạng: Ở dạng toán này chúng ta nhìn thấy mẫu thức chung bằng cách nhân hai mẫu lại với 
nhau và tiến hành quy đồng trực tiếp
 1 1 x 4
Bài 1:Rút gọn biểu thức: Q 
 x 4 x 4 x
 HD:
 Nhận xét: Đối với bài toán này ta thực hiện rút gọn trong ngoặc tròn trước, ta thấy mẫu thức 
chung là: MTC: x 4 x 4 . Vì vậy ta quy đồng mẫu trực tiếp.
 x 4 x 4 x 4 2 x x 4
 Q . .
 ( x 4)( x 4) x ( x 4)( x 4) x
 2
 x 4 1 x 1
Bài 2: Rút gọn biểu thức: Q (1 ). với x > 0, x 1.
 x 1 x
 x 1 x 1 1 2 x 1 2
 HD: Q . . (0 x 1)
 ( x 1) x x 1 x x 1
 1 1 2
Bài 3: Rút gọn biêu thức: Q ( )(1 ) với x>0 và x khác 4
 x 2 x 2 x
 1 1 2 x 2 x 2 x 2
 Q ( )(1 ) ( )( )
 x 2 x 2 x ( x 2)( x 2) x
 HD: 
 2 x x 2 2
 ( )( ) 
 ( x 2)( x 2) x x 2
 1 1
Bài 4: Rút gọn biểu thức: P ( )(x x x) với x>0
 x x 1
 1 1
 HD: Với x > 0 có P ( )(x x x)
 x x 1
 x 1 x
 .x( x 1)
 x( x 1)
 1
 .x.( x 1) x
 x( x 1)
 3 x 1 x 1
Bài 5: Rút gọn biểu thức A ( 3). với x ≥ 0 và x ≠ 1
 x 1 x 1 x 2
 HD: Với x 0 và x 1 ta có:
 3 x 1 x 1
 A ( 3).
 x 1 x 1 x 2
 3 x( x 1) ( x 1) 3( x 1)( x 1) x 1
 .
 ( x 1)( x 1) x 2
 3x 3 x x 1 3x 3 x 1 2( x 2) x 1 2
 . . 
 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1
 x 2 x 4
Bài 6: Rút gọn biểu thức A ( ) : với x 0 và x 4
 x 2 x 2 x 2
 HD: Với x 0 và x 4 ta có:
 x 2 x 4
 A ( ) :
 x 2 x 2 x 2
 x( x 2) 2( x 2) x 2
 ( ).
 ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) x 4
 x 2 x 2 x 4 x 2 1 x 2
 . 
 ( x 2)( x 2) x 4 x 2 x 4 1 1 a 1
Bài 7: Rút ngắn biểu thức: P ( ) :
 a 1 a 1 a 1
 1 1 a 1
 HD: Rút gọn: P ( ) : 
 a 1 a 1 a 1
 ĐK: a 0;a 1
 a 1 ( a 1) a 1 2 a 1 2
 : . 
 ( a 1)( a 1) a 1 a 1 a 1 a 1
 1 1 2 x
Bài 8: Rút gọn biểu thức A : (x 0; x 16)
 x 4 x 4 x 16
 1 1 2 x x 4 x 4 x 4 . x 4 2 x
 HD: A : . 1
 x 4 x 4 x 16 x 4 . x 4 2 x 2 x
 2 x x 4 x 4
Bài 9: B : x 0; x 1; x 4 
 x x 2 x 2 x
 HD: Điều kiện: x 0, x 1, x 4
 2 x x 4 x 4
 B :
 x x 2 x 2 x
 2 x x 2 x x. x 2 x 4 x x. x 2 
 . .
 x. x 2 4 x 1 x x 2 4 x 1 
 4 1
 4 x 1 x 1
 a 1 a 1
Bài 10: Cho biểu thức A (với a R,a 0 và a 1)
 a 1 a 1
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tính giá trị biểu thức A tại a=2 .
 HD: 
 a 1 a 1 ( a 1)2 ( a 1)2 a 2 a 1 a 2 a 1 4 a
 a) A 
 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1
 4 2
 b) Với a=2 thì A 4 2
 2 1 1 1 a 1 a 2
Bài 11: Cho biểu thức: P ( ) : ( ) Với a>0;a 1;a 4
 a 1 a a 2 a 1
 a)Rút gọn P
 1
 b)So sánh giá trị của P với số 
 3
HD: 
 a) Rút gọn
 1 1 a 1 a 2
 P ( ) : ( )
 a 1 a a 2 a 1
 a a 1 ( a 1)( a 1) ( a 2)( a 2) 
 : 
 a( a 1) ( a 2)( a 1) ( a 2)( a 1) 
 1 ( a 2)( a 1) a 2
 . 
 a( a 1) (a 1) (a 4) 3 a
 1
 b) So sánh giá trị của P với số 
 3
 a 2 1 a 2 a 2
 0
 Xét hiệu: 3 a 3 3 a 3 a
 1
 P 
 3
 2 x 2 x
Bài 12: Cho biểu thức: P điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1
 x 1 x 1
 a)Rút gọn biểu thức P
 b)Tính giá trị P khi x 17 12 2
HD: 
 (2 x)( x 1) (2 x)( x 1)
 P 
 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
 a) Có: 
 (x x 2) ( x x 2) 2 x
 x 1 x 1
 x 17 12 2 9 2.3.2 2 8 (3 2 2)2 3 2 2 x 0, x 1
 b) Có : x 3 2 2 2 2 2.1 1 ( 2 1)2 2 1
 2( 2 1) 2( 2 1)
 P 1
 3 2 2 1 2(1 2) 1 1 a 1 a 2 
 P : 
Bài 13: Cho biểu thức 
 a 1 a a 2 a 1 
 a) Rút gọn biểu thức P
 1
 b) Tìm a để P 
 6
HD:
 1 1 a 1 a 2 a 0 
 a) P= : 
 a 1 a a 2 a 1 a 1;a 4 
 a a 1 a 1 a 1 a 2 a 2 
 :
 a( a 1) a 2 . a 1 
 1 a 2 . a 1 a 2
 . 
 a( a 1) a 1 a 4 3 a
 1 a 2 1 4 16
 b)V× P 6 a 12 3 a 9 a 12 a a 
 6 3 a 6 3 9
 16 1
 VËy a vµ a 4 th× P 
 9 6
 1 1 x 3
Bài 14: Cho biểu thức: B . (x 0, x 9)
 3 x 3 x x
 1
 Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để B 
 2
HD: 
 Điều kiện x 0, x 9
 1 1 x 3 3 x 3 x x 3
 B . .
 3 x 3 x x 3 x . 3 x x
 2 x 1 2
 . 
 3 x x 3 x
 Ta có: 
 1 2 1 2 1 4 3 x
 B 0 0
 2 3 x 2 3 x 2 2 3 x 
 x 1
 0 3 x 0(do... x 1 0x 0)
 2 3 x 
 x 3 x 9 1 1 x 4
Bài 15: Chứng minh đẳng thức . 1 (với x 0;x 4 ).
 x 2 x 2 4
HD: Với x 0; x 4 .
 1 1 x 4 x 2 x 2 x 4
 . .
 x 2 x 2 4 x 2 . x 2 4
 4 x 4
 . 1 (đpcm).
 x 4 4
 Dạng 2: Tách mẫu để xác định mẫu chung và quy đồng
Nhận dạng: Ở dạng toán này ta nhìn thấy mẫu thức chung bằng cách tách một mẫu ( sử dụng hằng 
đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung) để xác định mẫu chung và quy đồng.
 x x 2 x 1 x
Bài 1: Rút gọn biểu thức: P = : với x 0; x 1; x 4 .
 x x 2 x 2 x 2 x
 x x 2 x 1 x x x 2 x( x 1) 2 x
HD: Ta có: P = : = .
 ( x 1)( x 2) x( x 2) 2 x ( x 1)( x 2) 1 x
 2 2 x 2(1 x) 2
 = = 
 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x 1
 x - 2 1 1
Bài 2: Rút gọn biểu thức P = - + , với x > 0.
 x + 2 x x x + 2
 x - 2 - ( x + 2)+ x x - 4 x - 2
HD: P = = =
 x ( x + 2) x ( x + 2) x
 4 2 x 5
Bài 3: Rút gọn biểu thức: B với x ≥ 0, x ≠ 1
 x 1 1 x x 1
HD: Với x ≥ 0 và x ≠ 1, ta có:
 4 2 x 5
 B 
 x 1 1 x x 1
 4( x 1) 2( x 1) x 5
 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
 4( x 1) 2( x 1) ( x 5) x 1 1
 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x 1 1
 Vậy B = 
 x 1
 1 1 4 x x 1
Bài 4: . Rút gọn biểu thức B : (với x ≥ 0; x ≠ 4).
 x 2 x 2 x 4 x 4
HD: Ta có:
 1 1 4 x x 1 x 2 x 2 4 x x 4
 B : .
 x 1 x 2 x 4 x 4 ( x 2)( x 2) x 1
 4( x 1) x 4
 . 4
 x 4 x 1
 Vậy B = 4, với x ≥ 0; x ≠ 4.
 x 2 x 1
Bài 5: Rút gọn biểu thức: B với x 0 và x 1
 x 1 x 1 x 1
 x 2 x 1
HD: B với x 0 và x 1 
 x 1 x 1 x 1
 x 2 x 1
 B 
 x 1 ( x 1)( x 1) x 1
 x( x 1) 2 x ( x 1) x x 2 x x 1
 B 
 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
 x 2 x 1 ( x 1)2 x 1
 B 
 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x 1
 x 2 2x 2
Bài 6: Rút gọn biểu thức P với x > 0, x 2
 2 x x 2 x 2
 x 2 2( x 2) x 2
HD: P 1
 2x( 2 x) ( x 2)( x 2) 2 x x 2
 2 x x 1 x 2
Bài 7: Rút gọn biểu thức: A ( ) : (1 ) với x ≥ 0, x ≠ 1
 x x 1 x 1 x x 1
 2 x x x x 1 x x 1 ( x 2)
 :
 3 3 
 ( x) 1 ( x) 1 x x 1
HD: 
 2 x x x x 1 x x 1 2 x x x x 1
 . 
 ( x 1)( x x 1) x x 1 x 2 ( x 1)(x 1) x 1 1
 ( x 1)(x 1) x 1
 x 12 6
Bài 8: Rút gọn biểu thức B (x 0 va x 36)
 6 x 36 x 6 x
HD: Với x>0 và x khác 36
 x 12 6 x 12 6
 B 
 6 x 36 x 6 x 6( x 6) x( x 6)
 x( x 12) 6.6 x 12 x 36 ( x 6)2 x 6
 B= = 
 6 x( x 6) 6 x( x 6) 6 x( x 6) 6 x
 1 2 x
Bài 9: Rút gọn biểu thức P ( ) với x > 0; x ≠ 4.
 x 2 x 2 x x 2
HD: x > 0 và x khác 4 có
 1 2 x
 P ( )
 x 2 x 2 x x 2
 x 2 x x 2 x 1
 ( ) . 
 x( x 2) x( x 2) x 2 x( x 2) x 2 x 2
 x x x x x 3 x 1 1
Bài 10: Cho biểu thức B . (với x 0; x 1 và x ). 
 x x 1 1 x 2x x 1 4
 Tìm tất cả các giá trị của x để B 0.
 x x x 1 x 3 x 1
HD: Ta có B .
 x 1 x x 1 x 1 2x x 1
 x x 3 x 1 x 1 2 x 3 x 1 2 x 3
 . . 
 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1
 1
 Vì x 0 nên 2 x 3 0 , do đó B 0 khi 2 x 1 0 x . 
 4
 1 1
 Mà x 0; x 1 và x nên ta được kết quả 0 x .
 4 4
 7 x 2 x 24
Bài 11: Cho hai biểu thức A và B với x ≥ 0, x ≠ 9
 x 8 x 3 x 9 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25
 x 8
 2) Chứng minh B 
 x 3
 3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên
HD: 
 x 2 x 24 x( x 3) 2 x 24 x 3 x 2 x 24
 B 
 x 3 x 9 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3)
 x 3 x 8 x 24 x( x 3) 8( x 3) ( x 8)( x 3) x 8
 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x 3
 1) P = A.B nên ta có:
 7 x 8 7
 P . 
 x 8 x 3 x 3
 +) Ta có x 0 nên P > 0
 7 7
 +) x 0 => x 3 3 
 x 3 3
 7
 Nên : 0 P 
 3
 Để P Z =>P {1;2}
 +)P = 1 x=16 (thỏa mãn điều kiện)
 1
 +) P = 2 x= (thỏa mãn điều kiện)
 4
 1
 Vậy x { ;16}
 4
 x 2 1 x 1
Bài 12: Cho biểu thức P ( ). với x > 0 và x khác 1
 x 2 x x 2 x 1
 x 1
 a)Chứng minh rằng P 
 x
 b)Tìm các giá trị của x để 2P 2 x 5
 x 2 x x 1 ( x 1)( x 2) x 1 x 1
HD: a) P ( ). ( ). 
 x( x 2) x 1 x( x 2) x 1 x
 b)Từ câu a ta có 2 x 2
 2P 2 x 5 2 x 5
 x
 2 x 2 2x 5 x va x>02x+3 x 2 0 va x>0
 1
 ( x 2)(2 x 1) 0 va x>02 x 1 0 x 
 4
 x 3 x 1 5 x 2
Bài 13: Cho hai biểu thức P và Q với x>0, x 4
 x 2 x 2 x 4
 1)Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9.
 2)Rút gọn biểu thức Q.
 P
 3) Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
 Q
 9 3
HD: Với x = 9 ta có P 12
 3 2
 x 1 5 x 2 ( x 1)( x 2) 5 x 2
 1) Với Q 
 x 2 x 4 x 4
 x 3 x 2 5 x 2 x 2 x x( x 2) x
 x 4 x 4 ( x 2)( x 2) x 2
 P x 3 3
 3) x 2 3 (Do bất đẳng thức Cosi).
 Q x x
 3
 Dấu bằng xảy ra khi x x 3
 x
 P
 Vậy giá trị nhỏ nhất của là 2 3
 Q
 2 x x 1 2 x 1
Bài 14: Với x > 0, cho hai biểu thức A và B 
 x x x x
 1)Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
 2)Rút gọn biểu thức B.
 A 3
 3)Tìm x để 
 B 2
HD: 
 2 64 2 8 5
 1) Với x = 64 ta có A 
 64 8 4
 ( x 1)(x x) (2 x 1) x x x 2x 1 x 2
 2) B 1 
 x(x x) x x x x 1 x 1
 2) Với x > 0 ta có: