Đề thi tuyển sinh Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nam (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC: 2013 – 2014
Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
	Cho biểu thức M = 
Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M.
Tính giá trị của M khi a = , b = 
Bài 2. (2,0 điểm)
	Cho phương trình x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0, m là tham số.
Tìm điều kiện của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3.
Tìm giá trị của m để x12 + x22 + x32 = 11.
Bài 3. (1,0 điểm)
	Cho số nguyên dương n và các số A = (A gồm 2n chữ số 4); B = (B gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương.
Bài 4. (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tuỳ ý trên d kẻ các tiếp tuyếnMA và MB với (O) (A và B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD.
Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp.
Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp COD.
Chứng minh rằng đương thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d.
Chứng minh 
Bài 5. (1,0 điểm)
	Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 2013.
Chứng minh .
Dấu đẳng thức sảy ra khi nào?
HẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC: 2013 – 2014
Môn: Toán (Chuyên Toán)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn này gồm 4 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(2,0 đ)
a) M = 
ĐK xác định của M: 
0,25
M = 
0,25
= 
0, 5
b) Ta có M = với a = , b = 
0,25
0,25
Vậy 
0,25
Từ đó M = 
0,25
Câu 2
(2,0 đ)
a) x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0 (1)
Nếu trừ 0,25 điểm 
0,25
Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2
0,25
Điều kiện là 
0,5
b) Ta có ba nghiệm phân biệt của phương trình (1) là x1 = 2; x2; x3 trong đó x2; x3 là hai nghiệm phân biệt của pt (*) 
0,25
Khi đó x12 + x22 + x32 = 11 
0,25
áp dụng định lý Vi-ét đối với pt (*) ta có (0,25 đ)
Vậy (**) (thoả mãn ĐK)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
0,5
Câu 3
(1,0 đ)
Ta có 
0,25
=
0,25
=
0,25
Khi đó
=
Ta có điều phảI chứng minh.
0,25
Câu 4
(4,0 đ)
a) MA, MB là các iếp tuyến của (O)
0,25
I là trung điểm của CD 
0,25
A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO
0,25
 Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO.
b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB
 MO là đường trung trực của AB
 MO AB
 MH.MO = MB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
0,25
sđ
 (2)
0,25
Từ (1) và (2) MH.MO = MC.MD
0,25
tứ giác CHOD nội tiếp
 H thuộc đường tròn ngoại tiếp COD.
0,25
c) Gọi Q là giao điểm của AB và OI
Hai tam giác vuông MIO và QHO có chung
0,25
 (R là bán kính (O) không đổi)
0,25
O, I cố định độ dài OI không đổi
 lại có Q thuộc tia OI cố định
 Q là điểm cố định đpcm.
0, 5
d) ( cân tại O)
= 
= (3)
0,25
 (4) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Từ (3) và (4) 
 (5)
0,25
 (chứng minh trên)
 (6)
0,25
Từ (5) và (6) 
0,25
Câu 5
(1,0 đ)
Ta có 2013a + bc=(a + b + c)a + bc =a2 + ab + ac + bc = a2 +bc + a(b + c)
Theo BĐT Cô-Si cho hai số dương ta có a2 + bc 2a. Từ đó
a2 + bc + a(b + c) 2a +a(b + c) = a(b + c + 2) = a()2
0,25
Vậy (1)
0,25
Chứng minh tương tự được
 (2) và (3)
Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta được
0,25
Dờu “=” xảy ra 
0,25
**
HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU 3,5 MÔN TOÁN CHUYÊN HÀ NAM
Câu 3: Từ giả thiết ta có 
Từ đó suy ra D=A+2B+4=+4
	 9D =
	9D=
 Suy ra đpcm.
Câu 5: Với gt đã cho ta có: 
(theo BĐT cosi 2a+b dấu = xảy ra khi a=b.
 Từ đó suy ra VT=1 (ĐPCM)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c= 2013:3=671.