Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO 	 	KỲ THI HỌC SINH GIỎI
 THANH HOÁ 	 NĂM HỌC 2012 - 2013
 ĐỀ CHÍNH THỨC 	 Môn thi : TOÁN
(Đề gồm có 1 trang) 
 	Thời gian làm bài :150 phút 
Câu 1: (2.0 điểm ) 
Cho biểu thức :
1/ Rút gọn biểu thức A.
2/ Tìm các giá trị của x để 
Câu 2 (2,0 điểm )
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 và đường thẳng (d): 
 y = bx + 1
1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2) 
2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)
Câu 3 (2.0 điểm) 
1/ Cho phương trình: (m là tham số). Tìm m để 
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
2/ Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.
1/ Chứng minh rằng: MO = MA
2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng:
a) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC
Câu 5 (1.0 điểm)
 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn : . Chứng minh rằng :
---------- Hết ----------
Họ tên thí sinh .. Số báo danh: 
Chữ ký giám thị 1:  Chữ ký giám thị 2: 
Bài giải
Câu 1: (2.0 điểm ) 
Cho biểu thức :
1/ Rút gọn biểu thức A.
 (ĐK: x ³ 0, x ¹ 4, x ¹ 9 )
A =  = 
2/ Tìm các giá trị của x để 
Kết hợp với ĐK Þ 
Câu 2 (2,0 điểm )
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 và đường thẳng (d): y = bx + 1
1/ Tìm các giá trị của a và b để (P) và (d) cùng đi qua điểm M(1; 2) 
M Î(P) Þ  Þ a = 2 Þ y = 2x2
M Î (d) Þ  Þ b = 1 Þ y = x + 1
2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng (P) và (d) còn có một điểm chung N khác M. Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)
Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x + 1 Û 2x2 - x - 1 = 0 
Câu 3 (2.0 điểm) 
1/ Cho phương trình: (m là tham số). Tìm m để 
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt?
phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 
Û
2/ Giải hệ phương trình: (ĐK: x ³ 1; y ³ 1)
(2) Û x + y = xy (3)
Hai vế của (1) đều dương ta bình phương hai vế ta có: 
Thay (3) vào ta có: x + y = 4 kết hợp với (3) có hệ: 
Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có x; y là hai nghiệm của pt: X2 - 4x + 4 = 0
Þ x = 2; y = 2
Câu 4 (3.0 điểm) : Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.
1/ Chứng minh rằng: MO = MA
ÐA1 = ÐO1 và ÐA1 = ÐA2 Þ ÐA2 = ÐO1 Þ DMAO cân Þ MO = MA
2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng:
a) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
Theo t/c hai tia tiếp tuyến ta có  Þ AB + AC - BC =  = 2.AP (không đổi)
b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì PQ//BC
Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được Þ ÐP1 = ÐC1 
 mà ÐP1 = ÐQ1 Þ ÐC1 = ÐQ1 Þ PQ//BC
Câu 5 (1.0 điểm)
 Cho x, y là các số thực dương thoả mãn : . Chứng minh rằng :
* Ta có:
* 
Vì : y > 0 ; x > 0 Þ 2x - 1 > 0 Þ x > 1/2 Thay vào 
Ta có: (1)
Vì 2x - 1 > 0 Þ (1) Û 
 Mà 
Vậy