Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 7 - Năm học 2011-2012 (Có đáp án)

 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường
 lớp 7- năm học 2011- 2012
 Môn: Toán
 Đề chính thức Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
A = 
 Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 0 < a1 < a2 < .. < a9 thì:
Bài 3: Có 3 mảnh đất hình chữ nhật: A; B và C. Các diện tích của A và B tỉ lệ với 4 và 5, các diện tích của B và C tỉ lệ với 7 và 8; A và B có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27m. B và C có cùng chiều rộng. Chiều dài của mảnh đất C là 24m. Hãy tính diện tích của mỗi mảnh đất đó.
Bài 4: Cho 2 biểu thức:
A = ; B = 
 a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên
 b) Tìm giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên.
Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD = CE
a) Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE
c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh BH = CK
d) Chứng minh 3 đường thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm.
 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường 
 lớp 7- năm học 2011- 2012
 Môn: Toán
Đáp án và thang điểm
Bài
Cách giải
Điểm TP
Điểm toàn bài
1
A = 
= 
= 
= 
= 
= 
Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 ta được: A = 
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
2,5
2
Ta có: 0 < a1 < a2 < .. < a9 nên suy ra:
a1 + a2 + a3 < 3a3 (1)
a4 + a5 + a6 < 3a6 (2)
a7 + a8 + a9 < 3a9 (3)
Cộng vế với vế của (1) (2) (3) ta được:
 a1 + a2 + .. + a9 < 3(a3 + a6 + a9)
Vì a1 + a2 + .. + a9 > 0 nên ta được: 
0,25
0,25
0,25
0,75
0,5
2
3
Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng của các mảnh đất A, B, C theo thứ tự là SA, dA, rA, SB, dB, rB, SC, dC, rC.
Theo bài ra ta có:
 ; ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC ; dC = 24(m)
Hai hình chữ nhật A và B có cùng chiều dài nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các chiều rộng. Ta có:
 rA = 12(m) ; rB = 15(m) = rC
Hai hình chữ nhật B và C có cùng chiều rộng nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các chiều dài. Ta có:
 dB = (m) = dA
Do đó: SA = dA.rA = 21. 12 = 252 (m2)
SB = dB. rB = 21. 15 = 315 (m2)
SC = dC. rC = 24. 15 = 360 (m2)
0,25
0,5
1
0,25
1
0,5
0,5
0,5
4,5
4
a) Ta có: A = = 
Với x Z thì x - 2 Z. 
Để A nguyên thì nguyên. x - 2 là ước của 1
Ta có: x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1. Do đó: x = 3 hoặc x = 1
Vậy để A nguyên thì x = 3 hoặc x = 1
+) B = = 
Với x Z thì x - 3 Z. 
Để B nguyên thì nguyên. x - 3 là ước của 2
Ta có: x - 3 = 2 hoặc x - 3 = 1.
Do đó x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2
 Vậy để B nguyên thì x = 5 hoặc x = 1 hoặc x = 4 hoặc x = 2
b) Từ câu a) suy ra: Để A và B cùng nguyên thì x = 1
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
3
5
 ABC có AB = AC. 
 GT DB = CE (D tia đối của CB; E
 tia đối của BC)
 a) ADE cân
 b) MB = MC, chứng minh AM
 KL là tia phân giác góc DAE
 c) BH AD = H; CKAE = K
 chứng minh: BH = CK
 d) AMBHCK tại 1 điểm
 A
 H K 
 	 M
 D B C E
 O
Chứng minh:
a) ABC cân có AB = AC nên: 
 Suy ra: 
Xét ABD và ACE có: 
AB = AC (gt)
 (CM trên)
DB = CE (gt)
Do đó ABD = ACE (c - g - c) 
 AD = AE (2 cạnh tương ứng). Vậy ADE cân tại A.
b) Xét và có:
MD = ME (Do DB = CE và MB = MC theo gt)
AM: Cạnh chung
AD = AE (CM trên)
Do đó = (c - c - c)
 .
Vậy AM là tia phân giác của 
c) Vì ADE cân tại A (CM câu a)). Nên 
Xét và có: 
 (Do )
DB = CE (gt)
 = (Cạnh huyền- góc nhọn)
Do đó: BH = CK.
d) Gọi giao điểm của BH và CK là O. 
Xét và có:
OA: Cạnh chung
AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (vì = ))
 = (Cạnh huyền- Cạnh góc vuông)
Do đó nên AO là tia phân giác của hay AO là tia phân giác của .
Mặt khác theo câu b) AM là tia phân giác của .
Do đó AO AM, suy ra 3 đường thẳng AM; BH; CK cắt nhau tại O.
0,5
0,5
1
0,5
1
0,5
0,25
1
0,5
0,25
1
0,25
0,75
8