Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ngãi (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI
 ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)	
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 -2017
MÔN TOÁN LỚP 9
Thi ngày 08 tháng 12 năm 2016
 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
-------------------------------
Bài 1 (4,0 điểm). 
1) Rút gọn biểu thức: A = 
2) Cho 
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình 
1) Giải phương trình : 
2) Giải phương trình: .
Bài 3 (3,0 điểm). 
1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên.
 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 4 (7,0 điểm)
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH.
a) Chứng minh 
b) Chứng minh CJH đồng dạng với HIB
c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2 
d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5 (2,0 điểm). Cho . Chứng minh rằng .
-------------------HẾT--------------------
Họ và tên thí sinh:.............. Họ, tên chữ ký GT1:..
Số báo danh:............... Họ, tên chữ ký GT2:..
 GD-ĐT Quảng Ngãi
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi : Toán 9
Bài
Câu
Nội dung
Điểm
Bài 1 (4 đ)
Câu 1
(1,75đ)
1. Rút gọn biểu thức: A = 
A = =
0,75
A = 
0,5
A = 
0,5
Câu 2
(2,25)
2. 
a) ĐKXĐ: 
0,25
0,5
0,5
b) B = A + x – 1=
0,5
Dấu “=” xảy ra ( TM ĐKXĐ)
0,25
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
0,25
Bài 2 (4 đ)
1) Giải phương trình : 
Câu 1
(2đ)
ĐKXĐ : 
0,25
0,5
0,25
 (*)
0,25
Nếu phương trình (*) (TM)
0,25
Nếu phương trình (*) ( TM)
0,25
Vậy phương trình có nghiệm x=1 và x=5
0,25
Câu 2
(2đ)
2) Giải phương trình: .
Đặt (
0,25
0,25
Từ (1) (2)
0,25
Vì , từ (2) suy ra: . Vì vậy (3)
0,25
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình 2
0,25
0,5
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= 
0,25
Bài 3 (3 đ)
Câu 1
(1,5đ)
1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên.
Giả sử 2016k + 3 = a3 với k và a là số nguyên. 
Suy ra: 2016k = a3 - 3
Ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7.
0,5
Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r .
0,25
Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết cho 7
0,5
Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3 – 3 2016k. ĐPCM
0,25
Câu 2
(1,5đ)
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Từ 
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
0,25
Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể hạn chế giải với x là số tự nhiên.
Khi đó: y+3+x y+3-x .
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn 
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của chúng là số chẵn , vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn.
0,5
Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:
-16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong ®ã thõa sè ®Çu b»ng gi¸ trÞ (y+3+x).
0,25
Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta cã x= 5 , y= 0.
Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta cã x= 4 , y= -3.
Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta cã x= 5 , y= -6.
V× thÕ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã c¸c nghiÖm :
( x,y) 
0,5
Bài 4 (7 đ)
Câu a (1,5 đ)
+ Vì nội tiếp đường tròn đường kính AB nên 
 Suy ra (1)
0,5
+ Lập luận để chỉ ra IJ // CD (2)
0,5
+ Từ (1) và (2) suy ra 
+ Suy ra (cùng phụ với ) (3) 	
0,5
Câu b 
(2 đ)
+) Trong vuông CBH ta có: (4)
0,5
+ Lập luận chứng minh được CJ // AB
+ Mà CH AB (gt)
+ Suy ra CJ CH
0,5
+) Trong tam giác vuông CIJ ta có (5)
+ Từ (3), (4), (5) 
0,5
+ Xét CJH vàHIB có và (cmt)
+ Nên CJH đồng dạng với HIB
0,5
Câu c (1,5 đ)
+ Lập luận để chứng minh được 
0,5
+ Chứng minh được đồng dạng với 
+ Suy ra 
0,5
+ Suy ra HE.HJ = HI.HC
+ Mà 
+ Suy ra HE.HD = HC2
0,5
Câu d
 (2 đ)
+ Lấy điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho 
+ Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt AB tại N. Ta có M và N cố định.
0,5
+ Kẻ MK AB tại K
+ Chứng minh được vuông cân tại M và KM = KN
 Suy ra 
Xét C M
Ta có C M nên H K
Do đó AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi)
0,5
+ Xét C khác M.
Tia NC nằm giữa hai tia NA và NM
Do đó 
+ HNC có 
nên 
Mà nên 
Suy ra 
Suy ra HC < HN
0,5
+ Do đó AH + CH < AH + HN = AN
+ Vậy Khi C ở trên nửa đường tròn (O) sao cho thì AH + CH đạt giá trị lớn nhất
0,5
Bài 5
(2 đ)
Chứng minh rằng .
Áp dụng BĐT Cauchy ta có 
0,5
Chứng minh tương tự ta được
0,5
Suy ra 
0,5
Dấu bằng xảy ra (Trái với giả thiết)
Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm.
0,5