Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
Đề chính thức
 Số báo danh
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
 Năm học 2010- 2011
Môn thi: Toán
Lớp: 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).
Câu I. (5,0 điểm). 
 1) Cho phương trình: Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm 
 với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi m thay đổi.
2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn Chứng minh rằng 
 là số hữu tỉ.
 (b). Cho ba số hữu tỉ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
 là số hữu tỉ.
Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình: 
 2) Giải hệ phương trình: 
Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, 
 sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.
 Tính 
Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ().
1) Chứng minh rằng và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
 2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.
Câu V. (4,0 điểm). 
Cho là 45 số tự nhiên dương thoả mãn Đặt Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu xuất hiện ít nhất 10 lần.
Cho ba số dương thoả mãn: 
 Chứng minh rằng: 
 ............................................................. HẾT ........................................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. 
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm có 3 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN 
LỚP: 9 THCS
Ngày thi: 24 - 3 - 2011
Câu
Ý
Hướng dẫn chấm
Điểm
Câu I
6 đ
1)
2,5đ
Ta có nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.
0,5
Theo định lí viet, ta có , suy ra 
1,0
 khi 
1,0
2a) 1,5đ
 Từ giả thiết suy ra 
0,5
Suy ra là số hữu tỉ
1,0
2b)
1,0đ
Đặt suy ra 
0,5
Áp dụng câu 2a) suy ra là số hữu tỉ.
0,5
Câu II
6 đ
1)
2,5đ
Đk: Phương trình tương đương với 
1,0
Đặt ta được phương trình hoặc
0,5
Với ta được (vô nghiệm)
0,5
Với ta được suy ra 
0,5
2)
2,5đ
Đk: Hệ tương đương với 
0,5
Đặt ta được hệ 
1,0
Với ta được (thoả mãn điều kiện) 
1,0
Câu III
2đ
Kẻ tại F, tại G. 
Theo giả thiết 
0,5
Mà và 
 Suy ra 
0,5
Do đó 
0,5
0,5
Câu IV
4,0đ
1)
3,0đ
Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến 
chung của (O) với (C), (D) tại A, B 
tương ứng.
 Suy ra 
A
O
N
C
D
B
P
Q
E
H
1,0
0,5
0,5
Ta có
, suy ra NAQB nội tiếp (1).
Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B
cùng nằm trên một đường tròn.
Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên
 một đường tròn.
0,5
Ta có ,
suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm
 trên một đường tròn.
0,5
2)
1,0đ
Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua 
các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định.
1,0
Câu V
2đ
1)
2,0 đ
 (1)
0,5
Nếu mỗi hiệu xuất hiện không quá 10 lần thì 
 mâu thuẫn với (1).
Vậy phải có ít nhất một hiêụ xuất hiện không ít hơn 10 lần
1,5
2)
2,0đ
Ta có .
Suy ra
0,5
Đặt 
suy ra 
1,0
Suy ra 
0,5
GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.