Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2009-2010 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể giao đề
Câu 1 (4đ)
Chứng minh rằng chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n
Tìm số các số nguyên n sao cho là số chính phương
Câu 2. (5đ)
Giải phương trình
Giải hệ phương trình
Câu 3 (3đ)
	Cho ba số x, y, z thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức 
Câu 4. (6đ)
	Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định, . Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A , là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại B. hai đường tròn và cắt nhau tại điểm thứ hai là M.
Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố định và đưởng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N
Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất ? 
Câu 5. Cho các số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng:
ĐÁP ÁN ĐỀ PHÚ THỌ 2009-2010
Câu 1
Theo giả thiết n là số tự nhiên nên là 3 số tự nhiên liên tiếp
Vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên chia hết cho 3
Mặt khác nên chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n
Ta thấy B là số chính phương là số chính phương
Đặt 4B= thì 
Vì nên ta có các hệ
Giải hệ (1) (2) (3) (4) ta tìm được 
Vậy các số nguyên cần tìm là 
Câu 2
Ta có nên tập xác định của phương trình là R
Phương trình đã cho tương đương với 
Đặt thì phương trình đã cho trở thành
 (thỏa mãn điều kiện)
Với ta có 
Với ta có 
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm 
b) hệ đã cho tương đương với 
Từ hệ (*) ta suy ra
 hoặc 
Giải hệ (I) ta tìm được 
Hệ II vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm 
Câu 3
Từ giả thuyết suy ra x, y, z khác 0 và
Câu 4
Nối CP, PD ta có lần lượt cân tại C, O nên 
do đó CP // OD (1)
Tương tự lần lượt cân tại D, O nên nên OD//CP (2) . Từ (1) và (2) suy ra ODPC là hình bình hành
Gọi CD cắt MP tại H cắt OP tại K thì K là trung điểm của OP
Theo tính chất 2 của đường tròn cắt nhau ta có CD MP H là trung điểm MP
Vậy HK // OM do đó CD // OM
Ta phải xét 2 trường hợp AP BP, đáp án chỉ yêu cầu xét 1 trường hợp giả sử AP < BP
Vì tứ giác CDOM là hình bình hành nên OC = DP, DP=DM=R2 nên tứ giác CDOM là hình thang cân do đó 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn
Xét tam giác AOB có nên tam giác OAB vuông cân tại O. Vì 4 điểm C, D, O, M cùn thuộc một đường tròn (kể cả ) nên 
Xét và có: (cùng bằng sđ của (C ))
 (cùng bằng của (D))
Nên đồng dạng (g.g)
Vì đồng dạng với suy ra hay 
Do AB cố định nên điểm M thuộc đường tròn tâm I đường kính AB
Ta có nên
 (Góc nội tiếp và góc ở tâm của (C))
 (góc nội tiếp và góc ở tâm của (D))
Do đó MP là phân giác 
Mà nên M thuộc đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB
Giả sử MP cắt đường tròn (I) tại N thì N là trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định
 và có (đối đỉnh); (góc nôi tiếp cùng chắn 1 cung) nên đồng dạng (g.g)
Do đó (không đổi)
Vậy PM.PN lớn nhất bằng khi PA=PB hay P là trung điểm dây AB
Vì tam giác AMB vuông tại M nên 
Diện tích tam giác AMB lớn nhất bằng khi PA=PB hay P là trung điểm dây AB
Câu 5. 
Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức : Với mọi và ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Thật vậy, với và ta có:
 (luôn đúng ). Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
 Chú ý: và
Chứng minh 
Do đó: Từ (1) và (3) ta suy ra 
Dấu “=” xảy ra