Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Phòng (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
 CẤP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 12/4/2017
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Cho . Tính giá trị của .
b) Cho biểu thức với a > 0, a ¹ 1.
 	Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Cho phương trình: (m là tham số). Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và sao cho ?
b) Cho hệ phương trình 
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện .
Bài 3. (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho chia hết cho .
b) Cho ba số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng: 
.
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (điểm B nằm giữa điểm A và điểm C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua điểm B và điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M và N là các tiếp điểm). Đường thẳng BC cắt MN tại điểm K. Đường thẳng AO cắt MN tại điểm H và cắt đường tròn tại các điểm P và điểm Q (P nằm giữa A và Q).
a) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
b) Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A. Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A.
---------Hết---------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Năm học 2016 - 2017
MÔN: Toán 9
 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Chú ý:
Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa.
Tổng điểm bài thi: 10 điểm .
Bài
Đáp án
Điểm
Bài 1
(2 điểm)
1a) (1,0 điểm)
Ta có : 
0,25
0,25
0,25
Thay giá trị của x vào P ta được:
0,25
1b) (1,0 điểm)
Với điều kiện thì: 
0,25
Khi đó
Ta thấy với 
0,25
Do 
Để N có giá trị nguyên thì N = 1.
0,25
Û Û 
Û 
Vậy 
0,25
Bài 2
(2 điểm)
2a) (1,0 điểm)
Phương trình: có hai nghiệm thì:
 .
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
0,25
Ta có:
0,25
Trường hợp 1: 
Nếuvà cùng dấu thì: 
 (*)
Khi đó (1) (thỏa mãn (*)).
0,25
Trường hợp 2: 
Nếu và trái dấu thì: (**)
Khi đó (1) 
 (không thỏa mãn điều kiện (**).
Kết luận: 
0,25
2b) (1,0 điểm)
Ta có 
0,25
Thay x = 1 vào phương trình (2) ta được 
Để phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thì: 
0,25
Theo đề bài: 
do .
0,25
Với theo hệ thức Vi-ét cho phương trình (3) ta có :
 thay vào (4) ta có: (thỏa mãn)
Kết luận: m = 2.
0,25
Bài 3
(2 điểm)
3a) (1,0 điểm)
Ta có (a + b2) M (a2b – 1) suy ra: a + b2 = k(a2b – 1), với k Î N*
Û a + k = b(ka2 – b) hay mb = a + k (1) với 	
Û m + b = ka2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Û (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + 1 – ka)	 (3)
Do 
Vì thế từ (3) suy ra: (a + 1)(k + 1 – ka) ³ 0.
0,25
Lại do a > 0 nên suy ra: k + 1 – ka ³ 0 Þ 1 ³ k(a – 1)
Vì a – 1 ³ 0, k > 0 nên 
0,25
Với a = 1. Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = 2.
Û 
Vậy, trường hợp này ta được hai cặp a = 1; b = 2 và a = 1; b = 3.
0,25
Với a = 2 và k = 1. Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0 Û .
Khi b = 1, ta được: a = 2, b = 1.
Khi m = 1: từ (1) suy ra a + k = b Þ b = 3. 
Khi đó: a = 2, b = 3.
Vậy có 4 cặp số (a; b) thỏa mãn là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1).
0,25
3b) (1,0 điểm)
Với x là số dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 
Dấu “ =” xảy ra khi x = 2
0,25
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:
Suy ra: 
0,25
Tương tự ta có:
0,25
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
0,25
Bài 4
(3 điểm)
Hình vẽ:
4a) (1,5 điểm)
Gọi I là trung điểm của BC suy ra 
DABN đồng dạng với DANC (Vì , chung) 
AB.AC = AN2 .
0,50
DANO vuông tại N, đường cao NH nên AH.AO = AN2
AB.AC = AH.AO (1)
0,25
DAHK đồng dạng với DAIO (g.g) 
Nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
0,5
Ta có A, B, C cố định nên I cố định AK không đổi.
Mà A cố định, K là giao điểm của BC và MN nên K thuộc tia AB 
 K cố định (đpcm)
0,25
4b) (1,5 điểm)
Ta có: DMHE đồng dạng DQDM (g.g) 
0,50
 DPMH đồng dạng DMQH (g.g) 
0,50
 ME = 2 MP P là trung điểm ME.
0,50
Bài 5
(1 điểm)
Bài 5 (1,0 điềm)
Giả sử A = với và 
.
Theo giả thiết ta có 
0,25
Mặt khác với và nếu thì 
Nên từ (1) suy ra 10 + 10 + ... +10 = 100
mà nhỏ nhất và 101 A =101
Ta có .
0,25
Kết hợp với (2)
 (4)
Ta có =101 mà 
0,25
Kết hợp với (3) và (4) suy ra A =
0,25
--------------- Hết ------------------