Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng giáo dục và đào tạo Bắc Giang (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT
TP. BẮC GIANG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (5 điểm)
 a. Cho biểu thức M= với a, b > 0 và ab
 Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết 
 b. Tìm các số nguyên a, b thoả mãn 
 c. Cho a, b, c thỏa mãn ; ; 
 Tính giá trị biểu thức H=
Bài 2: (4,5 điểm)
 a. Tính giá trị của biểu thức N=
 b. Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn +
Chứng minh là số hữu tỉ
 c. Giải phương trình 
Bài 3: (3,5 điểm)
 a. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn 
 b. Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh 
Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM > R. Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB, CE vuông góc với AM. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P.
Chứng minh MNCO là hình thang cân
MB cắt CH tại I. Chứng minh KI song song với AB
Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vuông góc với QF 
Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phương
Họ tên thí sinh.................................................... SBD:................................
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017
MÔN: TOÁN LỚP 9
Câu
Nội Dung
Điểm
Bài 1
4 đ
a/
1,5đ
-Rút gọn M= với a, b>0 và ab
-Ta có
+ Nếu a>b>0
+ nếu 0<a<b
0,75
0,25
0,25
0,25
b/
1,5đ
-Nếu 
Vì a, b nguyên nên Vô lý vì là số vô tỉ
-Vây ta có 
Thay a= vào t
a có 
Ta có b=0 (loại) ; b=2 (thoã mãm) , vậy a=3. Kết luận
0,5
0,25
0,75
c/
2 đ
Ta có 
mà ; nên 
Ta có 
nên 
Tương tự 
Vậy H=
 =
 =
 =
0,25
0,75
1,0
Bài 2
4,5 đ
a/
1,5đ
N=
=
0,25
0,5
0,5
b/
1,5đ
0,25
0,5
0,25
0,5 
c/
1,5đ
Điều kiện: (*).
Ta có: 
Đặt (Điều kiện:), phương trình trở thành 
+Với không thỏa mãn điều kiện (**).
+ Với ta có phương trình:
 Vậy phương trình có nghiệm 
0,5
0,25
0,5
0,25
Bài 3
3,5 đ
a/
1,75đ
Ta có 
 -*Nếu ta có đúng với mọi y nguyên
Vậy ngiệm của PT là (1;yZ)
*Nêu 
Ta có
Vậy ta có 
Ta có , Vậy ta có 
Từ * và ** ta có 
Nếu 
+ nếu 
+Nếu 
-Nếu .
Kết luận
0,25
0,25
1đ
0,25
b/
1,75đ
Ta có 
 nên với x,y,z>0 ta có
, áp dụng ta có 
-Với x,y>0 ta có 
áp dụng ta có 
Vây ta có 
Tương tự ta có ; nên
Vậy dấu “=” có khi a=b=c=1
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài 4
6 đ
a/
2đ
-Ta có nội tiếp đường tròn (vì...) mà AB là đường kính nên vuông tại C 
Ta có MA=MC (.....), OA=OC (....) nên MO là trung trực của AC 
-Ta có OA (....); xét và có 
-Ta có là hình bình hành.Ta có = (cm trên) nên ta có NO=MA, mà MA=MC (...) nên NO=MC vậy MNBO là hình thang cân
0,5
0,75
0,75 
b/
2đ
-Xét và có ( cm trên)
-Ta có (gt) ; MAAB (...)
-Nên ta có .
-Chi ra KI là đường trung bình của tam giác ACH 
0,5
0,5
0,5
0,5
c/
2đ
-Chưng minh FQIO là hình bình hành
-Chưng minh O là trục tâm tam giác GIP 
0,75
0,75
0,5
Bài 5
1đ
*
Vì A và là số chính phương nên là số chính phương
Ta có >
*mà là số chính phương nên ta có 
Với n=4004 ta có A=là số chính phương
Vậy n=4004 thì A=427+42016+4n là số chính phương
0,25
0,5
0,25