Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 9 - Vòng 2 - Năm học 2011-2012 - Phòng giáo dục và đào tạo Cẩm Thủy (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT CẨM THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG II
ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề gồm 1 trang)
 NĂM HỌC: 2011 - 2012
 Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. Cho biểu thức: 
Rút gọn .
Tính P khi .
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Câu 2. Giải phương trình:
Câu 3. 
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Cho , chứng minh: 
Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố.
Câu 4. 
Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.
Chứng minh: không đổi
Chứng minh: 
c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.
Câu 5. 
Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất.
Hết./.
PHÒNG GD & ĐT CẨM THỦY HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. V2
 NĂM HỌC: 2011 – 2012. Môn thi: TOÁN 9. 
 Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) 
Câu
Ý
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a
0,25
0,25
0.5
2,25
b
0.25
0.25
c
ĐK: : 
Học sinh lập luận để tìm ra hoặc 
0.25
0.25
0.25
2
a
ĐK: : 
, dấu “=” xẩy ra 
, dấu “=” xẩy ra 
 (TMĐK), Vậy nghiệm của phương trình: 
0.25
0.25
0.25
0.25
1,75
b
ĐK: . Nhận thấy: không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho ta có: 
Đặt , thay vào ta có:
Đối chiếu ĐK của t
0.75
3
a
 (*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.
Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc 
0.5
2.0
b
Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 
Từ (1); (2); (3): 
0.75
c
Xét thì A = 1 không phải nguyên tố; thì A = 3 nguyên tố.
Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1
= n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) 
Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1
Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1
Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số. Số tự nhiên ần tìm n = 1.
0.25
0.5
4
0.25
3.0
a
Học sinh c/m: ABF = ADK (g.c.g) suy ra AF = AK
Trong tam giác vuông: KAE có AD là đường cao nên:
 hay (không đổi) 
0.5
0,5
b
HS c/m 
Mặt khác: . Suy ra:
: 
0,25
0,25
0,5
c
Giả sử đã dựng được điểm N thỏa mãn. NP + NQ = MN
Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy ra tam giác NN’M cân tại N MN’ là phân giác của Cách dựng điểm N:
- Dựng M’ đối xứng M qua AD
- Dựng phân giác cắt DM’ tại N’
- Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD 
Chú ý: Học sinh có thể không trình bày phân tích mà trình bày được cách dựng vẫn cho điểm tối đa.
0.25
0.25
0.25
5
0.25
1.0
Gọi O giao điểm 2 đường chéo hình bình hành, kẻ OP vuông góc d tại P
HS lập luận được BH + CI + DK = 4OP
Mà OP AO nên BH + CI + DK 4AO. Vậy Max(BH + CI + DK) = 4AO
Đạt được khi P A hay d vuông góc AC
0.25
0.25
0.25
Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa