Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo Thạch Hà (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1. (4,5 điểm)
1. Tính giá trị biểu thức 
2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
Câu 2. (3,0 điểm)
1. Cho 3 số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = 0. Chứng minh hằng đẳng thức:
2. Tính giá trị của biểu thức: B =
Câu 3. (4,5 điểm)
1. Cho đa thức f(x), tìm dư của phép chia f(x) cho (x-1)(x+2). Biết rằng f(x) chia cho x - 1 dư 7 và f(x) chia cho x + 2 dư 1. 
	2. Giải phương trình:	
3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:	 5x2 + y2 = 17 – 2xy
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
 là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Câu 5. (5,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AI. Tính HI, IM; biết rằng AC= 4/3AB và diện tích tam giác ABC là 24 cm2
2. Qua điểm O nằm trong tam giác ABC ta vẽ 3 đường thẳng song song với 3 cạnh tam giác. Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC lần lượt tại E và D; đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB và AC lần lượt tại M và N; đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB và BC lần lượt tại F và H. Biết diện tích các tam giác ODH, ONE, OMF lần lượt là a2, b2, c2.
a) Tính diện tích S của tam giác ABC theo a, b, c
b) Chứng minh S 3(a2 + b2 +c2)
------------------Hết-----------------
Họ và tên học sinh:SBD:
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm, học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi )
SƠ LƯỢC GIẢI
Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2018 – 2019
Môn: TOÁN 9
Đáp án
Ta có
= 5 - 3 = 2
Điều kiện xác định của M là 
 hoặc 
Điều kiện xác định của N là (*)
 (**)
Từ (*) và (**) ta được là điều kiện xác định của M
Ta có: 
Vậy 
Theo câu a) Ta có (*)
Áp dụng (*) ta có:
 (Vì )
Tượng tự ; ;.
Suy ra 
x + 1 = 0 (1) hoặc x2 – 4x + 6 = 0 (2)
(1) 
(2) . Do nên pt này vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 
Vì là đa thức bậc 2 nên f(x) : có đa thức dư dạng ax + b
Đặt 
Theo đề ra f(x) : (x - 1) dư 7 (1)
 f(x) : (x + 2) dư 1 (2)
Từ (1) và (2) a = 2 và b = 5.
Vậy f(x) : được dư là 2x + 5
5x2 + y2 = 17 – 2xy 4x2 + (x + y)2 = 17
 vì x2 là số chính phương nên x2 = 0; 1; 4
Nếu x2 = 0 (x + y)2 = 17 (loại)
Nếu x2 = 1 (x + y)2 = 13 (loại)
Nếu x2 = 4 x = 2 hoặc x = - 2
 x = 2 (2 + y)2 = 1 y = - 3 hoặc y = - 1.
 x = -2 (-2 + y)2 = 1 y = 3 hoặc y = 1.
Vậy phương trình có nghiệm : (x; y) = (2; -3), (2; -1), (-2; 3), (-2; 1)
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên b + c > a
Tượng tự ta cũng có: ; 
Suy ra: 
Ta có a + b > c 
Chứng minh tương tự ta có ; 
Vậy là độ dài 3 cạnh của một tam giác (Đpcm)
Do AC= ¾ AB (gt) và AB.AC = 2S = 48, suy ra AC = 6 (cm); AB = 8(cm). 
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ABC ta tính được BC = 10 cm, suy ra AM = 5 (cm) (1)
Áp dụng tính chất giữa canh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta tính được (2)
Áp dụng tính chất đường phân giác cua tam giác ta có cm (3)
Từ (1), (2) và (3), ta có I nằm giữa B và M; H nằm giữa B và I 
Vậy: HI = BI - BH cm
 MI = BM - BI cm
Ta có các tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với tam giác ABC
Đặt SABC = d2 . 
Ta có: ; ; Tương tự 
Suy ra: 
Vậy 
Áp dụng BĐT Cosy, ta có: 
Dấu “=” xẩy ra khi a = b =c, hay O là trọng tâm của tam giác ABC
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa;
 	 Điểm toàn bài quy tròn đến 0,5.