Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS
 NĂM HỌC 2012 - 2013
Đề chính thức
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao bài)
Bài 1 (5 điểm).
	Cho biểu thức: A = , với a ≥ 0
	1. Rút gon biểu thức A.
	2. Thính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2.
Bài 2 (4 điểm). 
1. Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2
2. Giải hệ phương trình: 
Bài 3 (4 điểm).
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32)
2. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng AD.
Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN
Bài 4 (5 điểm).
 Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P là điểm trên cạnh BC; các điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL = CN.
1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL.
2. Chứng minh ∆LMN vuông cân
3. Diện tích ∆ ABC gấp 4 lần diện tích ∆MNL, hãy tính góc CAP.
Bài 5 (2 điểm).
	Cho a b và ab = 6. Chứng minh:
..................................Hết....................................
Họ và tên thí sinh: ........................................................................ Số báo danh:.......................
Họ tên và chữ ký của giá thị 1 Họ tên và chữ ký của giám thị 2
............................................	..................................................
 PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS
Hướng dẫn chấm môn toán
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
5,0 điểm
1 (3,0đ)
Với điều kiện a 0. Ta có:
A = 
=
=
=
1,0
1,0
1,0
2(2,0 đ) 
Khi a = 2010 -2 = (-1)2
Thì A = 1 + 
1,0
1,0
Câu 2 
4,0 điểm
1 (2,0đ) Ta có 
(x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2
(x2+ 9x +8)(x2 +8x + 8) = 28x2
+ x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1)
+ Với x0 chia hai vế (1) cho x2 ta được:
(1) = 28
Đặt t = 
(1) trở thành (t+6)(t+9) = 28 t2 + 15t + 26 = 0
Với t = -2 ta có = - 2 x2 + 2x + 8 = 0. PT này vô nghiệm.
Với t = -2 ta có = - 13 x2 +13x + 8 = 0. x = - 13 .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = - 13 .
0,5
0,5
0,5
0,5
2 (2,0 đ)
Hệ phương trình:
Hệ này tương đương với tuyển của hai hệ phương trình sau:
 (I) và (II)
* Giải hệ (I) có nghiệmb (x,y) = ()
* Xét hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trình đầu của hệ (II) ta được x2 +x -2 = 0
Phương trình này có hai nghiệm: x = -1 và x = - 2
Từ đó ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1)
Kết luận: Hệ đã cho có nghiêm (x;y) l à: (); (1; - 2); (2; -1)
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
Câu 3 
4,0 điểm
1(2,0đ): Ta có: : y2 = - 2(x6- x3y - 32) x6+(y-x3)2 = 64
=> x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 do x Z => x {-1; -2; 1; 0; 1; 2}
Xét các trường hợp:
+ x = 2 => (y - x3)2= 0 => y = 8
+ x = 1 => (y - x3)2= 63 => y Z => pt này không có nghiệm nguyên
+ x = 0 => (y - x3)2= 4 => y = 8 và y = - 8
+ x = - 1 => (y - x3)2= 63 => yZ => pt này không có nghiệm nguyên
+ x = -2 => (y - x3)2= 0 =>y = - 8
Vậy nghiệm của phương trình là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8).
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0.25
2(2,0đ) 
Ta có ∆AMB và ∆ANC vuông cân nên MA = MB và NA = NC
Nên BM + CN = AM + AN
Giả sử: AB ≥AC
 Theo tính chất phan giác ta có
∆CDN và ∆BDM nên => DN ≤ DM
Nếu I là trung điểm củaMN thì AD≤ AI và AM+AN= 2AI
Khi đó 2AD≤ 2AI - AM+AN = BM + CN (đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4 
5,0điểm
1(1,0đ)
Đặt ÐACP = a => ÐACN = 900 - a
ÐMCN = ÐACN - 450 = 900 - a - 450 = 450 - a = ÐLAM
0,5
0,5
2(2,0đ) Do ∆ABC vuông tại A mà AM là trung tuyến nên AM = CM và AL = CN (gt) ÐMCN = ÐLAM (c/m trên)
Nên ∆AML = ∆CMN => LM = MN và ÐAML = ÐCMN =>ÐLMN = 900 - ÐAML + ÐCMN = 900. Vậy tam giác ∆LMN vuông cân tại M
1,0
1,0
3 (2,0đ) Do các ∆LMN, ∆ABC vuông cân nên:
 2 S∆LMN = MN2 và 2 S∆ABC = AC2 
 S ∆ABC = 4S∆LMN (gt) Từ đó suy ra MN = AC.
Gọi Q là trung điểm của AC thì QM = QN = AC = MN
=> ÐQMN = 600 và ÐQNA = 600 - 450 = 15 0 .
Mặt khác AQ = NQ nên ÐCAP = ÐQNA = 150
1,0
1,0
Câu 5
2,0 điểm
Ta có: 
Áp dụng bất đảng thức Côsi : 
1,0
1,0