Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Kim Sơn (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
 HUYỆN KIM SƠN NĂM HỌC 2022-2023 
 MÔN: TOÁN 8 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
 (Đề thi gồm 05 câu 01 trang) 
Câu 1 (4,0 điểm) 
 x22 2 x 2 x 1 2
 1. Cho biểu thức: A1 2 2 3 2 ; xx 0; 2 
 2x 8 8 4 x 2 x x x x
 a) Rút gọn biểu thức A. 
 b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. 
 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) x7 + x5 + 1 b) x4 + 2022x2 + 2021x + 2022 
Câu 2 (4,0 điểm) 
 1 1 1 2
 1. Giải phương trình sau: 
 x 3 x22 5 x 6 4 x 15 x 14 5
 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. B = 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz – 6x – 8y – 2z + 13 
Câu 3 (4,0 điểm) 
 1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: 
 f(x) chia cho x - 3 dư 7; chia cho x – 2 dư 5; chia cho (x – 2)(x – 3) được thương là 3x 
và còn dư 
 22
 1 1 25
 2. Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh rằng: ab 
 ba 2 
Câu 4 (6,0 điểm) 
 Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho 
AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. 
 1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 
 2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. 
 Chứng minh rằng: AC = 2EF. 
 1 1 1
 3. Chứng minh rằng: =+ 
 AD2 AM 2 AN 2
Câu 5 (2,0 điểm) 
 1. Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình: 
 (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y 
 2. Chứng minh rằng: A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100 
 ------ Hết ------ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
 NĂM HỌC 2022-2023 
 MÔN: TOÁN 8 
 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) 
 Câu Đáp án Điểm 
 1. (2 điểm) 
 a) (1 điểm) 
 x22 2 x 2 x 1 2 
 A1 
 Ta có 2 2 3 2 
 2x 8 8 4 x 2 x x x x
 2 2 2
 x 2 x 2 x x x 2 
 2 2 2 
 2(x 4) 4(2 x ) x (2 x ) x 0,25 
 (x2 2 x )(2 x ) 4 x 2 x 2 x 2 x 2
 22. 0,25 
 2(x 4)(2 x ) x 
 2x2 x 3 4 x 2 x 2 4 x 2 x (x 1) 2(x 1) 
 = . 
 1 2(x22 4)(2 x) x 0,25 
(4 điểm) 
 x( x2 4) ( x 1)( x 2) x 1
 22. 
 2(x 4)(2 x ) x 2 x 0,25 
 b) (1 điểm) 
 x 1 0,25 
 * Z (x +1) 2x (2x + 2) 2x Mà 2x 2x 
 2x 
 2 2x 1 x x = 1 hoặc x = -1 0,25 
 * Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) 
 0,25 
 + Vậy A= Z x = 1 hoặc x = -1 
 0,25 
 2. (2 điểm) 
 a) (1 điểm) 
 x7 + x5 + 1= (x7 – x) + (x5 – x2) + (x2 + x + 1) 
 = x(x6 – 1) + x2 (x3 – 1) + (x2 + x + 1) 0,25 
 = x (x3 + 1)(x3 - 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) 
 = x (x3 + 1) (x – 1)(x2 + x +1) + x2(x – 1)(x2 + x +1) + (x2 + x +1) 0,25 
 = (x2 + x + 1) [x (x3 + 1)(x – 1) + x2 (x – 1) + 1] 
 = (x2 + x + 1) [(x2 – x) (x3 + 1) + x3 – x2 + 1] 0,25 
 = (x2 + x +1) [x5 + x2 – x4 – x + x3 – x2 + 1] 
 = (x2 + x + 1) (x5 – x4 + x3 – x + 1) 0,25 
 b) (1 điểm) 
 x4 + 2022x2 + 2021x + 2022 0,25 
 42
 x x 2022 x 2022 x 2022 0,25 
 x( x32 1) 2022( x x 1)
 0,25 
 x( x 1)( x22 x 1) 2022( x x 1)
 0,25 
 (x22 x 1)( x x 2022) 1. (2 điểm) 
 7 0,25 
 Điều kiện: x -3; x - 2; x 
 4
 1 1 1 2
 0,25 
 x 3 x 2 x 3 x 2 4 x 7 5
 5 x 2 4 x 7 5 4 x 7 5 x 3 
 x 2 x 347 x x 2 x 347 x x 2 x 347 x 
 2(x 2)(x 3)(4 x 7) 0,25 
 2 
 5(x 2)(x 3)(4 x 7)
(4 điểm) 0,25 
 5(4 x22 15x 14 4xx 7 3) 2(x 5x 6)(4 x 7) 
 5(4 x22 20 x 24) 2(x 5x 6)(4 x 7) 0,25 
 221 1 1 2
 20(x 5x 6) 2(x 5x 6)(4 x 7) 0,25 
 x 3 x22 5 x 6 4 x 15 x 14 5
 4x 7 10 0,25 
 3
 x (TM) 
 4
 3 0,25 
 Vậy phương trình có nghiệm x = 
 4 
 2. (2 điểm) 
 B = 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz – 6x – 8y – 2z + 13 
 Ta có: 
 B = (x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2xz + z2 ) + y2 – 6x – 8y – 2z + 13 0,25 
 = [(x + y)2 – 4x – 4y + 4] + [(x + z)2 – 2x – 2z + 1] + (y2 – 4y + 4) + 4 0,25 
 = [(x + y)2 – 4(x +y) + 4] + [(x + z)2 – 2 (x + z) + 1] +(y2 – 4y + 4) + 4 0,25 
 = (x + y - 2)2 + (x + z – 1)2 + (y – 2)2 + 4 0,25 
 Vì (x + y - 2)2 0 với mọi x, y 
 (x + z – 1)2 0 với mọi x, z 
 (y – 2)2 0 với mọi y 0,25 
 Nên ta có (x + y - 2)2 + (x + z – 1)2 + (y – 2)2 + 4 4 với mọi x, y, z 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 4 0,25 
 Dấu dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi 
 xy 20 
 xz 10 
 y 20 0,25 
 x 0 
 y 2
 z 1 0,25 
 1. (2 điểm) 
 Vì đa thức (x - 2)(x – 3) có bậc là 2 nên phần dư khi chia f(x) cho (x - 2)(x -3) có 
 dạng ax + b 0,25 
 f(x) = (x - 2)(x – 3). 3x + ax + b 0,25 
 f(2) 2a b 5(1) 0,25 
 f(3) 3a b 7(2) 0,25 
 Từ (1) ta có : b = 5 – 2a 0,25 
 Thay vào (2) ta được : 3a + 5 – 2a = 7 . Suy ra a = 2 0,25 
 b = 1 0,25 
 Vậy f(x) = (x - 2)(x – 3). 3x + 2x + 1 = 3x3 - 15x2 + 20x + 1 0,25 
 2. (2 điểm) 
 3 Có: (a b )2 0 a 2 b 2 2 ab (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b 
(4 điểm) 2 2 0,25 
 1 25 1 1 25 1 
 Áp dụng (*) , có: aa 5 ; bb 5 
 bb 4 aa 4 
 22
 1 1 25 1 1 0,25 
 Suy ra: a b 5 a b 
 b a 2 b a 
 22 
 1 1 25 1 1 
 a b 5 a b 0,25 
 b a 2 a b 
 22
 1 1 25 1 1 
 ab 5 5. (vì a + b = 1) 
 b a 2 a b 0,25 
 1 1 4 
 Với a, b > 0, chứng minh 4 (vì a + b = 1) 
 a b a b 0,25 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b 
 22 
 1 1 25
 suy ra: ab 5 5.4 0,25 
 ba 2
 22
 1 1 25 0,25 
 ab 
 ba 2 
 1 
 Dấu “=” xảy ra khi xy 
 2 0,25 
 E 
 A B
 0,25 
 H
 F
 C
 D
 M
 N
 1. (2 điểm) 
 Ta có DAM = ABF (cùng phụ với BAH ) 0,25 
 AB = AD ( gt) 
 0,25 
 BAF = ADM = 90 0 (ABCD là hình vuông) 
 0,25 
 ΔADM = ΔBAF(g.c.g) 
 DM = AF, mà AF = AE (gt) 
 0,25 
 Nên. AE = DM 
 0,25 
 Lại có AE // DM (vì AB // DC) 
 0,25 
 Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành 
 0,25 
 0 
 Mặt khác DAE = 90 (gt) 0,25 
 4 Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 
(6 điểm) 2. (2 điểm) 
 Ta có: BHA AHF (g.g) 0,25 
 BA BH BC BH 0,25 
 = hay = (AB = BC, AE = AF) 
 AF AH AE AH 0,25 
 Lại có HAB = HBC (cùng phụ với ABH ) 0,25 
 CBH EAH (c.g.c) 0,25 
 2 2 0,25 
 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 2
 = , mà =4 (gt) =4 nên BC = (2AE) 0,25 
 S AE 
 ΔEAH SΔEAH AE 0,25 
 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD 
 Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 
 3. (1,75điểm) 
 Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: 
 AD AM AD CN 0,25 
 = = 
 CN MN AM MN 
 Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: 0,25 
 MN MC AB MC AD MC 
 == hay = (Vì AB = AD) 
 AN AB AN MN AN MN 0,25 
 2 2 2 2 2 2 2 
 AD AD CN CM CN +CM MN
 + = + =22 = =1 (Pytago) 0,25 
 AM AN MN MN MN MN
 0,25 
 22
 AD AD 1 1 1 0,25 
 + =1 2 2 2 (đpcm) 
 AM AN AM AN AD 0,25 
 1. (1 điểm) 
 5 (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y 
(2 điểm) x4 + x2y2 + x2 + y2 - 4x2y = 0 0,25 
 (x2 - y)2 + (xy - x)2 = 0 
 Phương trình trên xảy ra khi và chỉ khi: 0,25 
 x22 y 0 y x 
 0,25 
 xy x 0 x (y 1) 0
 2
 yx 
 xy 1
 y 10 0,25 
 (Vì x, y nguyên dương) 2. (1 điểm) 
 Ta có B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101.50 0,25 
 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 101 và 50 
 T a có: A = (13 + 1003 ) + (23 + 99 ) + ... +(503 + 513 ) 
 = (1 + 100)(12 - 100 + 1002 ) + (2 + 99)(22 - 2. 99 + 992 ) + ... + (50 
 + 51)(502 - 50. 51 + 512 ) 0,25 
 = 101(12 - 100 + 1002 + 22 - 2. 99 + 992 + ... + 502 - 50. 51 + 512 ) chia hết 
 cho 101 (1) 
 Lại có: A = (13 + 993 ) + (23 + 983 ) + ... + (503 + 1003 ) 0,25 
 Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B 0,25 
Lưu ý: 
- Học sinh làm bài các cách khác nhau mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa. 
- Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. 
 ------ Hết ------