Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Kim Sơn (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
 HUYỆN KIM SƠN NĂM HỌC 2022-2023 
 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 
 Thời gian làm bài: 120 phút 
 (Đề gồm 05 câu in trong 1 trang) 
Câu 1 (4,0 điểm) 
 1 1 1 1
 1 2 3 ... 100 . 6,3.12 21.3,6 
 3 5 7 9
 1. Tính: 
 1 1 1 1
 ... 
 2 3 4 100
 2. Tìm x biết : 2024x 1011x 2 1012x 3 
 3. So sánh: 23430 30 30 và 3.2410 
Câu 2 (4,0 điểm) 
 5z 3y 3x 2z 2y 5x 2 5 3
 1. Biết chứng minh: 
 2 5 3 x y z
 2. Một cửa hàng có ba bao gạo, tổng khối lượng của ba bao gạo là 186 kg, giá tiền 
 2
mỗi kg gạo trong ba bao gạo là như nhau. Sau một ngày bán hàng thì cửa hàng còn lại 
 3
 1 3
bao thứ nhất, bao thứ hai và bao thứ ba. Số tiền bán được của bao thứ nhất, thứ hai, thứ ba 
 3 5
tỷ lệ với 2, 3, 2. Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu kg gạo ở mỗi bao? 
 3. Cho a,b dương thỏa mãn: a2022 b 2022 a 2020 b 2020 . Tìm giá trị lớn nhất của 
ab22 
Câu 3 (4,0 điểm) 
 1. Tìm đa thức M biết rằng: M 5x2 2xy 6x 2 9x y 2 
 Tính giá trị của M khi x; y thỏa mãn: 2x 6 2020 y 1 2022 0 
 2. Tìm cặp số nguyên x,y thỏa mãn: x2 3x 5 xy 2y 
 3. Chứng tỏ rằng biểu thức A 4x4 5x 2 2 4x 4 4x 2 1 luôn nhận giá trị dương. 
Câu 4 (6,0 điểm) 
 1. Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 80cm, chiều rộng 50 cm, chiều cao 
45cm chứa 150 lít nước. Người ta muốn đặt vào bể một hòn non bộ. Thể tích của hòn non 
bộ tối đa là bao nhiêu để nước không bị tràn? 
 2. Cho tam giác ABCcân tại A có ba góc đều nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ tam 
giác ABE vuông cân tại B. Kẻ đường cao AH (H thuộc BC), trên tia đối của tia AH lấy 
điểm I sao cho AI BC . 
 a) Chứng minh: ABI BECvà BI vuông góc với CE. 
 b) Phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D, phân giác của góc BDC cắt cạnh BC 
 1
tại M. Phân giác của góc BDA cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh: BD MN 
 2
 Câu 5 (2,0 điểm) 
 Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy 
ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có 
đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng. 
 -----------Hết----------- HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
 NĂM HỌC 2022-2023 
 MÔN: TOÁN 7 
 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) 
I. Hướng dẫn chung 
 - Thí sinh trình bày khác cách nêu trong đáp án, đúng vẫn chấm điểm tối đa. 
 - Thí sinh làm đúng đến đâu chấm đến đấy. 
 - Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
II. Hướng dẫn chi tiết 
 Câu Đáp án Điểm 
 1. 1,0 điểm 
 1 1 1 1
 1 2 3 ... 100 . 6,3.12 21.3,6 
 3 5 7 9
 1 1 1 1
 ... 
 2 3 4 100
 1 1 1 1 
 1 2 3 ... 100 . 75,6 75,6 
 3 5 7 9
 1,0 
 1 1 1 1
 ... 
 2 3 4 100
 0
 2. 1,5 điểm 
 2024x 1011x 2 1012x 3
 0,5 
 1 2024x 1011x 2 1012x 3
 (4,0đ) 
 Vì 1011x 2 0 ;1012x 3 0  x nên 1011x 2 1012x 3 0  x 
 Do đó: 2024x 0 x 0 0,5 
 Vì x0 nên 1011x 2 1011x 2;1012x 3 1012x 3 
 2024x 1011x 2 1012x 3 0,5 
 x5
 3. 1,5 điểm 
 10
 Có 3.2410 3. 2 3 .3 3 11 .2 30 3 11 .4 15 0,5 
 Vì 3411 15 nên 311 .4 15 4 15 .4 15 3 11 .4 15 4 30 0,5 
 230 3 30 4 30 3 11 .4 15 hay 230 3 30 4 30 3.24 10 0,5 
 2 1. 1,5 điểm 
 5z 3y 3x 2z 2y 5x 10z 6y 15x 10z 6y 15x
 (4,0đ) Từ suy ra 0,5 
 2 5 3 4 25 9 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
10z 6y 15x 10z 6y 15x 0
 0 
 4 25 9 38
 5z 3y 3x 2z 2y 5x
 0
 2 5 3
 5z 3y 0
 0,5 
 3x 2z 0
 5z 3y
 3x 2z
 y z x z x y z 2 5 3
 ; (điều phải chứng minh) 0,5 
 5 3 2 3 2 5 3 x y z
 2. 1,5 điểm 
Gọi số kg gạo ở bao thứ nhất, hai, ba lần lượt là: 
x,y,z(kg)(0 x,y,z 186) 
Tổng khối lượng 3 bao gạo là 186 nên ta có: x y z 186 
 0,5 
Trong ngày đó cửa hàng bán được số kg gạo ở mỗi bao lần lượt là: 
x 2y 2z
 ;; 
3 3 5
Số tiền bán được của ba bao gạo tỷ lệ với 2, 3, 2 và giá tiền mỗi kg gạo 
của ba bao gạo là như nhau nên số kg gạo bán được của ba bao gạo tỷ lệ 
với 2, 3, 2 0,5 
 x 2y 2z
 : : 2:3: 2 
 3 3 5
 2x 2y 2z x y z 186
 6 x 72;y 54;z 60 
 12 9 10 12 9 10 31 0,5 
Vậy số gạo ở bao thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là: 72 kg; 54 kg; 60 kg 
 3. 1,0 điểm 
Nếu a b 1 thì a22 b 2(*) 0,25 
Nếu a;b 1, giả sử ab 
 2020 2 0,25 
 2022 2022 2020 2020 2020 2 2020 2 a 1 b
a b a b a.a1b.1b 2020 2 
 b a 1
 a2020 1 b 2
Vì a b 0 1 1 (1) 
 b2020 a 2 1
 0,25 
 a2020 1 b 2
Lại có: 0 0 1 b22 ;a 1 cùng dấu 
 b2020 a 2 1 1 b22 ;a 1
 Suy ra: 
 22
 1 b ;a 1
 Vì a b 0 ab22 nên a2 1 b 2 a 2 1 0(2) 
 Từ (1) và (2) suy ra: 1 b2 a 2 1 2 a 2 b 2 (**) 
 Từ (*) và (**) suy ra: a22 b 2 
 0,25 
 Vậy ab22 đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi a b 1 
 1. 1,5 điểm 
 M 5x2 2xy 6x 2 9x y 2
 M 6x2 9x y 2 5x 2 2xy . 0,5 
 M x22 9x y 2xy
 Có 
 2x 6 2020  0 x; y 1 2022  0 y 2x 6 2020 y 1 2022  0 x;y
 2020 0,5 
 2020 2022 2x 6 0
 Mà 2x 6 y 1 0nên x 3;y 1 
 2022
 y 1 0
 Thay x 3;y 1vào M ta được M = 11. 
 0,5 
 Vậy M = 11 với x, y thỏa mãn điều kiện đã cho 
 2. 1,5 điểm 
 3 x2 3x 5 xy 2y 0,25 
(4,0đ) x2 3x 5 xy 2y 0 
 (x2 2x) xy2y x2 3 0
 0,5 
 x 2 x y 1 3
 Vì x, y là các số nguyên nên x 2;x y 1là ước của -3. Ta có bảng: 0,25 
 x y 1 3 -1 -3 1 
 0,25 
 x -3 1 -1 -5 
 y -5 3 3 -5 
 Vậy các cặp số (x;y) thỏa mãn bài toán là: 3; 5;1;3; 1;3; 5; 5 0,25 
 3. 1,0 điểm 
 Vì x42 0;x 0  x nên 4x4 5x 2 2 0; 4x 4 4x 2 1 0  x 0,25 
 4x4 5x 2 2 4x 4 5x 2 2; 4x 4 4x 2 1 4x 4 4x 2 1 0,25 A 4x4 5x 2 2 4x 4 4x 2 1 x 2 1 0,25 
 Vì x22 0  x x 1 0  x hay A > 0 với mọi x 0,25 
 1. 1,0 điểm 
 Thể tích của bể cá là: V 50.45.80 180000 cm33 180 dm 0,5 
 Đổi 150l 150dm3 . Để nước không tràn ra ngoài khi thả hòn non bộ thì 
 0,5 
 thể tích của hòn non bộ tối đa là: 180 150 30 dm3 
 2. 5,0 điểm 
 I
 A 
 D 
 E
 K 
 B H M C F N
 4 
(6,0đ) Hình vẽ đúng 0,5 
 a) 2,5 điểm 
 Do ABE vuông cân tại B nên ABE 900 và AB BE 
 0,5 
 Vì AH là đường cao của ABC AH  BC AHB 900 
 Ta có IAB ABH AHB ABH 900 ( t/c góc ngoài) 
 EBC ABC ABE ABH 900 0,5 
 IAB EBC 
 Xét ABI và BEC có AI = BC(gt), IAB EBC , AB = BE 0,5 
 ABI BEC(c.g.c)(đpcm) 
 Vì ABI BEC AIB BCE 0,5 
 Mà AIB IBH 900 nên IBH BCE 900 0,25 
 Gọi giao của CE và BI là K thì BKC 900 hay BI CE (đpcm) 0,25 
 b) 2,0 điểm 
 Do DM là phân giác BDC , DN là đường phân giác BDA 0,25 
 Mà BDC và BDA là 2 góc kề bù nên DM  DN Suy ra MDN 900 MDN vuông tại D 
 FDN FND FDN
 Trên MN lấy điểm F sao cho cân tại F 0,25 
 FD FN 
 Ta có FDN FDM 900 và FMD FND 900 
 Mà FDN FND FDM FMD(1) FDM cân tại F 0,5 
 1
 FD FM FD FM FN MN 
 2
 Ta có FMD MBD MDB(T/c góc ngoài) 
 Vì DM là phân giác BDC BDM CDM 
 = > FMD MBD MDC (2) 0,5 
 Lại có FDM FDC CDM (3) 
 Từ (1), (2), (3) => MBD FDC (4) 
 Mà ABC cân tại A DCM ABC 2DBM (5) 
 0,25 
 Ta lại có DCM CDF CFD ( t/c góc ngoài) (6) 
 1
 Từ (4),(5),(6) MBD CFD DBFcân tại D DB DF MN 
 2 0,25 
 (đpcm) 
 4
 Số cách lấy ra 4 quả cầu bất kì từ 16 quả cầu là: C16 1820 0,25 
 Gọi A là biến cố “4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và 
 không quá hai quả cầu màu vàng” 
 Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: 0,5 
 4! 5!
 C13 .C . 4.10 40( cách) 
 45 1! 4 1 ! 3!(5 3)!
 5 
(2,0đ) Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: 
 0,5 
 1 2 1
 C4 .C 5 .C 7 280( cách) 
 Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: 
 0,5 
 1 1 2
 C457 .C .C 420 ( cách) 
 40 280 420 37
 Vậy xác suất của biến cố A là: 0,25 
 1820 91
 -----------Hết-----------