Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở giáo dục và đào tạo Bình Dương (Có đáp án)

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG
NĂM HỌC:2016-2017
 (5 điểm)         
a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình 
 b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng  với là số chính phương.
 (4 điểm)         
Tam giác  đều nội tiếp đường tròn ,  . Chứng minh rằng: 
(3 điểm)
Giải phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
 (3 điểm)
a) Chứng minh với mọi số ta luôn có: 
b) Cho chứng minh rằng: 
 (3 điểm)    Cho tứ giác . Gọi  lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng: 
(2,0 điểm) 
Cho đa giác lồi có 12 cạnh
a) Tìm số đường chéo
b) Tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác đó ?
LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG
NĂM HỌC 2016-2017
Người giải đề: Triệu Tiến Tuấn
(5 điểm) 
a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình 
b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng  với là số chính phương.
Lời giải
Phương trình: 
Do 
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: 
Ta có: là số chính phương nên 
Ta có: 
 là số chính phương.
Vậy 
 (4 điểm)
Tam giác  đều nội tiếp đường tròn ,  . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Giả sử 
Dễ thấy: (trên lấy sao cho , ta chứng minh: )
Đặt: . Ta có: 
Kẻ 
Mà 
Từ 
 (3 điểm) 
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình: 
Lời giải
Phương trình: 
Điều kiện: 
Hệ phương trình: 
Đặt ta được:
(3 điểm)
a) Chứng minh với mọi số ta luôn có: 
b) Cho chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có:
 luôn đúng.
Ta có:
Dấu “=” không xảy ra, vậy: 
 (3 điểm)
Cho tứ giác . Gọi  lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Gọi là trung điểm của , ta có : 
Suy ra: 
Tương tự: 
 (2 điểm) 
Cho đa giác lồi có 12 cạnh
a) Tìm số đường chéo
b) Tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác đó ?
Lời giải
Số đường chéo của đa giác là: 
Nhận thấy rằng với mỗi cạnh của tam giác, ta lập được tam giác mà mỗi tam giác thỏa mãn đề bài mà đa giác ban đầu có cạnh nên số tam giác thỏa mãn đề bài là 
Tuy nhiên nếu như tính theo cách trên thì các tam giác mà có 2 cạnh là 2 cạnh kề của đa giác đã cho được tính 2 lần
Ta có số tam giác được tính 2 lần như trên là 12 tam giác nên số tam giác thỏa mãn đề bài thực chất là:  tam giác.