Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Lai Thành (Có hướng dẫn chấm)

 PHÒNG GD&ĐT KIM SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
TRƯỜNG THCS LAI THÀNH NĂM HỌC: 2022 – 2023
 MÔN: TOÁN 
 Thời gian làm bài: 150 phút không tính thời gian phát đề
 (Đề thi gồm 06 câu, trong 01 trang)
Câu 1: (4,0 điểm). 
 (x 1)2 1 2x2 4x 1 x2 x
1. Cho biểu thức A 2 3 : 3
 3x (x 1) x 1 x 1 x x
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tìm giá trị của x để A > -1
2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
 a) x 1 x 2 x 3 x 4 1 b) x7 x5 x4 x3 x2 1
Câu 2: (4.0 điểm) Giải các phương trình sau:
 x 2022 x 2021 x 2020 x 1 x
 a)  2023 
 1 2 3 2022 2023
 1 1 1 1 1
 b) 
 x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 8
Câu 3: (2.0 điểm) Xác định a và b để đa thức f (x) x4 9x3 21x2 ax b chia hết cho đa 
thức x2 x 2 .
Câu 4: (2,0 điểm) Một cửa hàng bán bánh mì tại cổng trường học với giá 12000 đồng mỗi ổ 
thì bán được 600 ổ mỗi ngày. Một khảo sát cho thấy cứ giá giảm 0,5 nghìn đồng thì cửa hàng 
bán thêm được 30 ổ mỗi ngày. Hỏi cửa hàng nên bán bánh mì với giá bao nhiêu để doanh thu 
lớn nhất? Tính doanh thu khi đó của cửa hàng.
Câu 5: (6.0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh 
AD sao cho CE=AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M, N.
 a) Chứng minh rằng: CM . DN = a2
 b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng: M· KN 900 
 c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất?
Câu 6: (2,0 điểm)
 2 2
 1 1 
1. Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 1 1 
 x y 
2. Kì thi tuyển sinh vào PTTH ở trường A có 529 học sinh đến từ 16 địa phương khác nhau 
tham dự. Giả sử bài thi môn toán của mỗi học sinh đều là số nguyên lớn hơn 4 và bé hơn hoặc 
bằng 10. Chứng minh rằng luôn tìm được 6 học sinh có điểm môn toán giống nhau và đến từ 
môt địa phương.
 Hết PHÒNG GD&ĐT KIM SƠN HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
 TRƯỜNG THCS LAI THÀNH NĂM HỌC: 2022-2023 
 MÔN: TOÁN
 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang ) 
 Câu Nội dung Điểm
Câu 1 1. ĐKXĐ: x 0, x 1, x 1 0.25
(4 điểm) x2 1
 a) Rút gọn được: A 
 x 1 1.0
 x2 1 x2 x 2 0.25
 b) Để A 1 thì 1 0 
 x 1 x 1
 Do đó x2 x 2 và x 1 phải cùng dấu
 2
 2 1 7
 mà x x 2 x 0 
 2 4 0.25
 nên x 1 0 x 1 
 Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x 1, x 0, x 1 
 0.25
 thì A > -1
 2. a) a 1 x 4 x 2 x 3 1 x2 5x 4 x2 5x 6 1 0.25
 2
 Đặt x 5x 5 t , Khi đó đa thức trở thành : 0.25
 2
 t 1 t 1 1 t 2 x2 5x 5 0.5
 b) x7 x5 x3 x4 x2 1 x3 x4 x2 1 x4 x2 1 0,25
 4 2 3 2 2 2
 = x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 0.5
 2
 = x2 x 1 x 1 x2 x 1 
 0.25
Câu 2 x 2022 x 2021 x 2020 x 1 x
 a)  2023
(4 điểm) 1 2 3 2022 2023
 x 2022 x 2021 x 2020
 1 1 1
 1 2 3
 x 1 x
  1 1 0
 2022 2023 x 2023 x 2023 x 2023 x 2023 x 2023 0.25
  0
 1 2 3 2022 2023
 1 1 1 1 
 (x 2023) 1  0
 2 3 2022 2023 0.25
 1 1 1 1
 mà 1  0
 2 3 2022 2023
 x 2023 0 0.25
 x 2023
 Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S {2023} 0.25
 1 1 1 1 1
 b) (1)
 x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 8
 ĐKXĐ: x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 0.25
 1 1 1 1 1
 (1) 
 (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5) 8 0.25
 1 1 1 1 1 1
 (2) 
 (x 1) (x 2) (x 2) (x 3) (x 3) (x 4)
 1 1 1
 (x 4) (x 5) 8
 1 1 1
 (x 1) (x 5) 8 0.25
 8(x 5) 8(x 1) (x 1)(x 5)
 8x 40 8x 8 x2 6x 5
 x2 6x 27 0
 (x 3)(x 9) 0
 x 3 (thỏa mãn) hoặc x 9 (thỏa mãn)
 0.25
 Vậy tập nghiệm của pt là S { 9, 3} 
Câu 3 Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho đa thức x2 x 2 là 0.25
(2 điểm) P(x).
 Để đa thức f(x) chia hết cho P(x) thì ta phải có:
 4 3 2 2
 x 9x 21x ax b (x x 2).P(x) đúng x 0.25
 hay x4 9x3 21x2 ax b (x 2)(x 1).P(x) đúng x (1) 0.25
 Vì đẳng thức (1) đúng với mọi x nên
 Với x = 2, ta có: 24 9.23 21.22 2a b 0 2a b 28 (2) 0.25
 Với x = -1, ta có: ( 1)4 9.( 1)3 21.( 1)2 a b 0
 b a 31 (3) 0.25 Thay (3) vào (2) có: 2a a 31 28 
 a 1 0.25
 b 1 31 30 0.25
 a 1
 Vậy với thì f(x) chia hết cho x2 x 2 
 b 30 0.25
Câu 4 Gọi số lần giảm giá, của cửa hàng là x (lần, x N *) 0.25
(2 điểm) Mà mỗi lần 0,5 nghìn đồng nên sau khi giảm giá mỗi bánh mì là 12 0.25
 - 0,5x (nghìn đồng)
 Doanh thu của cửa hàng mỗi ngày là 600 30x 12 0,5x (nghìn 0.25
 đồng)
 Ta có:
 A 600 30x 12 0,5x 15x2 60x 720
 2
 A 15 x 2 7260 0.25
 Vì x 2 2 0x 15 x 2 2 7260 7260x 0.25
 A 7260x 0.25
 0.25
 Dấu đẳng thức xảy ra khi x – 2 0 x 2
 Vậy giảm giá 2 lần thì doanh thu là lớn nhất. Khi đó mỗi bánh bán 
 với giá 11000 đồng và doanh thu thu được là 7260000 đồng. 0.25
Câu 5 Vẽ hình K 0.25
(6 điểm) đúng
 A B
 F
 E
 N D C M
 a) Vì ABCD là hình vuông 
 AB / /CD AB / /CM,AB / /ND
 EC AF 
 AD BC mà AF EC FD BE (1) 0.75
 BE FD
 CM CE 0.25
 Vì AB//CM (2) 
 AB BE
 AB AF
 Vì AB//DN (3) 0.25
 DN FD CM AB 0.5
 Từ (1),(2),(3) CM.DN AB2 a 2 
 AB DN
 CM AB CM AD
 b) Theo câu a, ta có: (vìAD BC AB)
 AB DN BC DN 0.5
 Do đó CMB : DAN (c.g.c) C· MB D· AN (4) 0.75
 Mà D· AN A· ND 900 (Vì DADN vuông tai D) (5)
 Từ (4),(5) C· MB A· ND 900 
 0.5
 Do đó M· KN 900 
 0.25
 c) Áp dụng BĐT côsi ta có
 DN CM 2 DN.CM 2 a 2 2a (Vìa 0) 0.5
 DN CM CD 3a (VìCD a)
 hay MN 3a 0.5
 CE AF CM a
 Dấu "=" xảy ra khi DN = CM = a. Khi đó 1 
 BE FD AB a 0.5
 CE BE
 hay 
 AF FD 0.25
 Vậy khi E và F lần lượt là trung điểm của BC và AD thì MN có độ 0.25
 dài nhỏ nhất là 3a
Câu 6 1. Ta có: 
 2 2
(2 điểm) 1 1 
 A 1 1 
 x y 
 2 2
 x y x y 
 1 1 (Vìx y 1)
 x y 
 2 2
 y x 
 2 2 
 x y 
 x y x2 y2 
 8 4 2 2 
 y x y x 0.5
 y x
 Vì x, y > 0 0, 0 nên áp dụng BĐT cô si ta có:
 x y
 x y x y
 2 2 
 y x y x
 x2 y2 x2 y2
 2 2
 y2 x2 y2 x2
 A 8 4.2 2 18 0.25 x y 1
 Dấu "=" xảy ra khi x y 
 x y 1 2
 1 0.25
 Vậy min A =18 khi x y 
 2
 2. Ta có 529 học sinh có điểm bài thi từ 5 điểm đến 10 điểm. (có 6 0.25
 loại điểm)
 Theo nguyên lý Dirichle ta có 529: 6 1 89 học sinh có điểm 
 bài thi như nhau (từ 5 điểm đến 10 điểm) 0.25
 + Ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau và đến từ 16 địa 
 phương. Theo nguyên lý Dirichle tìm được 89:16 1 6 em có 
 0.25
 cùng điểm thi môn toán và đến từ cùng một địa phương
 Vậy luôn tìm được 6 học sinh có điểm môn toán giống nhau và đến 
 từ môt địa phương. 0.25
Chú ý:
+ Điểm toàn bài không làm tròn.
+ Học sinh làm cách khác nếu đúng cho điểm tối đa tương đương với biểu điểm. PHẦN KÍ XÁC NHẬN
 TÊN FILE ĐỀ THI: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
 TỔNG SỐ TRANG (GỒM ĐỀ THI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM) LÀ 06 TRANG
 NGƯỜI RA ĐỀ NGƯỜI THẨM ĐỊNH VÀ XÁC NHẬN CỦA BGH
 PHẢN BIỆN CỦA TRƯỜNG
Vũ Thị Hoa Hường Hoàng Thế Anh Trung Văn Đức