Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Lai Thành (Có hướng dẫn chấm)

 PHÒNG GD&ĐT KIM SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
TRƯỜNG THCS LAI THÀNH NĂM HỌC: 2022 – 2023
 MÔN: TOÁN 
 Thời gian làm bài : 120 phút không tính thời gian phát đề
 ( Đề thi gồm 5 câu, trong 1 trang )
Câu 1: (4,5 điểm).
 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
 3 4 7 4 7 7
 a) A = : : 
 7 11 11 7 11 11
 212.35 46.92
 b) B = 
 (22.3)6 84.35
 1 1 1 1 1
 2. Cho A =( 1).( 1).( 1)...( 1) . H·y so s¸nh A víi 
 2 2 32 4 2 100 2 2
Câu 2: (3 điểm)
 x y y z
a). Tìm các số x, y, z, biết: ; và x+y+z=92
 2 3 5 7
b). Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = 6
Câu 3: (5 điểm)
 3x 2y 2z 4x 4y 3z
 a) Cho 
 4 3 2
 x y z
 Chứng minh rằng: 
 2 3 4
 n 2
b) Tìm số nguyên n để biểu thức P = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
 n 7
c) Gieo ngẫu nhiên 3 con xúc xắc một lần. Tính xác suất của biến cố “ tổng số chấm xuất hiện bằng 
6”
 Câu 4: (6 điểm). 
  
 Cho tam giác ABC vuông tại B, có A =600 Tia phân giác góc BAC cắt BC ở D. Kẻ DH vuông góc 
với AC, H AC.
 a) Chứng minh ABD = AHD.
 b) Chứng minh tam giác ADC cân. Từ đó suy ra HA = HC
 c) Gọi S là giao điểm của HD và AB. Lấy E là trung điểm của CS. Chứng minh ba điểm A, 
D, E thẳng hàng.
Câu 5: (1,5 điểm)
 a) Tìm số hữu tỉ x, sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó có giá trị là một số nguyên.
 b) Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2016; a + 2b = 2017. Tìm giá trị lớn nhất 
của biểu thức P = a + b + c. 
 PHÒNG GD&ĐT KIM SƠN HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
 TRƯỜNG THCS LAI THÀNH NĂM HỌC: 2022-2023 
 MÔN: TOÁN 
 (Hướng dẫn chấm gồm 4 trang )
 Thang 
 Câu Đáp án
 điểm 
 3 4 7 4 7 7 3 4 11 4 7 11 0,5
 1.a) A = : : = . . 
 7 11 11 7 11 11 7 11 7 7 11 7
 11 3 4 4 7 11 3 4 4 7 
 A= = = 0,5
 7 7 11 7 11 7 7 7 11 11 
 11 11
 ( 1) 1 .0 0 0,5
 7 7
Câu1 212.35 46.92 212.35 (22 )6.(32 )2 212.35 212.34 0,5
 b) B = 2 6 4 5 = 12 6 3 4 5 12 6 12 5 
(4,5đ) (2 .3) 8 .3 2 .3 (2 ) .3 2 .3 2 .3
 212.34 (3 1) 0,5
 =
 212.35 (3 1)
 212.34.2 1
 B = 0,5
 212.35.4 6
 2. A là tích của 99 số âm do đó.
 1 1 1 1 1.3 2.4 5.3 99.101 0,5
 A 1 1 1 .... 1 2 2 g 2 g 2 ggg 2
 4 9 16 100 2 3 4 100
 1.2.3.2....98.99 3.4.5...99.100.101 101 1 1
 g A 1
 2.3.4...99.100 2.3.4......99.100 200 2 2
 x y x y
 2 3 10 15 x y z 0,5
 a).Ta có: 
 y z y z 10 15 21
 5 7 15 21
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 92, ta được:
Câu 2
 x y z x y z 92 0,25
(3đ) = 2
 10 15 21 10 15 21 46
 x
 2
 10
 x 20
 y 
 2 y 30 
 15 0,5
 z 42
 z 
 2
 21
 Vậy x=20, y=30, z= 42 0,25 b) Ta có: xy + 3x – y = 6 x(y + 3) – (y + 3) = 6 – 3 
 (x – 1)(y + 3) = 3 = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1) 0,5
 Ta có bảng sau:
 x – 1 1 3 – 1 – 3
 y + 3 3 1 – 3 – 1 0,75
 x 2 4 0 – 2
 y 0 – 2 – 6 – 4
 0,25
 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4)
 a).Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 
 3x 2y 2z 4x 4y 3z 4.(3x 2y) 3.(2z 4x) 2.(4y 3z)
 0,5
 4 3 2 4.4 3.3 2.2
 12x 8y 6z 12x 8y 6z
 o 0,5
 29
 3x 2y x y
 Từ 0 3x 2y (1)
 4 2 3
 x z 0,5
 Tương tự : 2z = 4x 2 4 (2)
 x y z
 Từ (1) và (2) suy ra : 0,5
 2 3 4
Câu 3
 n 2 9
(5đ) b).Ta có : P= 1 
 n 7 n 7 0,5
 - Nếu n= 7 thì P không xđ
 9
 - Nếu n> 7 thì n- 7>0 0 P 1 0,25
 n 7
 9 0,25
 - Nếu n< 7 thì n – 7<0 0 P<1
 n 7
 Do đó giá trị lớn nhất của P khi n >7 
 Mà n nguyên nên n-7 nguyên và n-7 >0 0,25
 9
 Dể P đạt GTLN khi đạt GTLN 
 n 7 0,25
 Khi n-7 đạt GTNN mà n nguyên nhỏ nhất và n-7 >0 
 8 2
 Nên n-7 =1 n=8 thay n=8 vào biểu thức P ta được P= 10 0,5
 8 7
 Giá trị lớn nhất của P bằng 10 khi n=8.
 c)Số các kết quả có thể xảy ra là : 6.6.6.=216 0,5
 Số các kết quả thuận lợi của biến cố là 10 :
 0,25
 (114 ;141 ;411 ;123 ;132 ;213 ;231 ;312 ;321 ;222)
 10 5 0,25
 Xác suất của biến cố là : 
 216 108
 Vẽ hình đúng 0,25 C
 E H
 D
 2
 1
 S B A
 a) AD là phân giác của B· AC (gt)
 0,5
 1 1
 => µA ¶A B· AC 60o 30o
 1 2 2 2
Câu 4
 Xét ABD vuông tại B và AHD vuông tại H 0,25
(6 đ)
 Có: AD là cạnh chung 0,25
 µ ¶ 0,25
 A1 A2 ( AD là phân giác góc BAC)
 ABD = AHD (cạnh huyền – góc nhọn) 0,5
 b) Xét ABC vuông tại A có:
 0,5
 B· AC ·ACB 90o ( định lí tổng ba góc trong một tam giác vào tam 
 giác vuông)
 => 60o ·ACB 90o ·ACB 90o 60o 30o
 0,5
 · ¶ o
 => ACB A2 (=30 )
 => ADC cân tại D
 0,5
 Mà DH  AC => DH là đường cao của ADC
 => DH là đường trung tuyến của ADC
 0,5
 => HA = HC
 c) DH  AC (gt) => SH  AC
 0,5
 => SH là đường cao của SAC
 HA = HC (cmt) => SH là đường trung tuyến của SAC
 Trong SAC, SH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến
 0,5
 => SAC cân tại S 
 0,25
 mà S· AC 60o => SAC là tam giác đều
 Trong SAC, đường cao SH và CB cắt nhau tại D
 0,25
 => AD là đường cao thứ ba của SAC
 Mà SAC là tam giác đều => AD là đường trung tuyến của SAC
 0,25
 Lại có: E là trung điểm của SC (gt) => E AD
 0,25
 => A, D, E thẳng hàng m
 a). Gọi x = (m, n Z, n 0, (m, n) = 1). Khi đó:
 n
 1 m n m2 n2
 x + (1)
 x n m mn
Câu 5 1
 Để x nguyên thì m2 + n2  mn 
(1,5đ) x 0,25
 m2 + n2  m 
 n2  m (Vì m2  m)
 n  m
 Mà (m, n) = 1 nên m = 1 hoặc m = – 1
 *) Với m = 1: 
 1 12 n2 1 n2 1
 Từ (1), ta có: x = . Để x nguyên thì 1 + n2  n 1
 x 1.n n x
  n hay n = 1 0,25
 *) Với m = – 1: 
 1 ( 1)2 n2 1 n2
 Từ (1), ta có: x = . 
 x ( 1).n n
 1
 Để x nguyên thì 1 + n2  (– n) 1 (– n) hay n = 1
 x 0,25
 m 1 1 1 1
 Khi đó x = hay x = 1
 n 1 1 1 1
 b). Ta có: a + 3c = 2016 (1) và a + 2b = 2017 (2)
 Từ (1) a = 2016 – 3c 0,25
 1 3c
 Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = 1 b = . Khi đó:P = a + b + c = 
 2
 1 3c 1 6c 3c 2c 1 c
 (2016 – 3c) + + c = 2016 2016 . 
 2 2 2 2 2 0,25
 1 c 1
 Vì a, b, c không âm nên P = 2016 2016 
 2 2 2
 0,25
 1
 MaxP = 2016 c = 0
 2 PHẦN KÍ XÁC NHẬN
 TÊN FILE ĐỀ THI: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
 TỔNG SỐ TRANG ( GỒM ĐỀ THI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ) LÀ 5 TRANG
NGƯỜI RA ĐỀ NGƯỜI THẨM ĐỊNH VÀ XÁC NHẬN CỦA BGH
 PHẢN BIỆN CỦA TRƯỜNG
 Mai Văn Ky Vũ Thị Kim Thoa Trung Văn Đức