Đề thi chọn học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Phòng giáo dục và đào tạo Ninh Bình (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP NINH BÌNH
Trường THCS Ninh Sơn
ĐỀ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Năm học 2011-2012
Thời gian làm bài : 150 phút
Đề thi gồm 04 trang.
Điểm bài thi
Các giám khảo ( Họ, tên, chữ ký)
Số phách ( Do chủ tịch HĐ ghi)
Bằng số
Bằng chữ
Chú ý : 
Đề thi có 3 trang gồm 12 câu hỏi, thang điểm cho mỗi câu hỏi là 5,0 điểm.
Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này.
Nếu kết quả không có yêu cầu gì về các chữ số thập phân thì ngầm hiểu là viết đủ các chữ số ( không làm tròn) hiện lên màn hình máy tính).
Thí sinh không được dùng bút xoá, dùng hai loại mực, ký hiệu trên bài thi. Trái điều này bài thi sẽ bị loại.
Câu 1: (5 điểm): Trình bày tóm tắt lời giải và ghi đáp số
Đặt P(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +  + n(n + 1)(n+2).Tính P(100) và P(2010).
Lời giải
Đáp số
.
.
.
P(100) =
P(2010) = 
Câu 2: ( 5 điểm ) 
a) (2 điểm) ( Chỉ ghi kết quả ) Cho đa thức f(x) có bậc lớn hơn 3 
Đa thức f(x) chia cho x – 5 dư 2008; chia cho x + 2 dư - 2010 .
Tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho x2 – 3x – 10 
Câu 3: (5 điểm) Trình bày tóm tắt lời giải và ghi đáp số
S » 
Tính S = chính xác đến 4 chữ số thập phân.
Câu 4: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 3; 
A = 
P(3) = 6; P(4) = 10. TÝnh 
Câu 5: ( 5 ®iÓm ) Mét sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè , biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè 1 vµo bªn tr¸i vµ viÕt thªm ch÷ sè 8 vµo bªn ph¶i cña sè ®ã th× ®­îc mét sè míi cã s¸u ch÷ sè, ®ång thêi sè nµy b»ng 34 lÇn sè ban ®Çu . H·y t×m sè ®ã. Tr×nh bµy tãm t¾t c¸ch gi¶i vµo phÇn d­íi ®©y.
C¸ch gi¶i
KÕt qu¶
Câu 6: Cho d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi:
H·y lËp quy tr×nh tÝnh un. TÝnh U3 ®Õn U10
 Quy tr×nh:
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
 K Õt qu¶ :..................................................................
Câu 7: Sè N = 27.35.53 cã bao nhiªu ­íc sè ?
 KÕt qu¶ : ...............................................................
Câu 8: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x tho¶ m·n: 10000 < x < 15000 vµ khi chia x cho 393 còng nh­ 655 ®Òu cã sè d­ lµ 210.
VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 
Câu 9: T×m bèn ch÷ sè tËn cïng cña 51994.
 Bèn ch÷ sè tËn cïng cña sè 51994 lµ ...............
C©u 10: (5,0 ®iÓm)
Cho d·y sè x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc x 1 = 0,25
a. ViÕt qui tr×nh Ên phÝm tÝnh xn ? 
b. TÝnh x5; x10; x15; x20 ?
Qui tr×nh Ên phÝm tÝnh xn :
KÕt qu¶:
 x5 = 
 x10 = 
 x15 = 
 x20 = 
C©u 11: (5,0 ®iÓm)
Tam gi¸c ABC cã AB = 6,25cm, AC = 12,5cm, gãc BAC =1200. §­êng th¼ng qua B song song víi AC c¾t ph©n gi¸c AD t¹i I. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c BIC.
C¸ch tÝnh:
H×nh vÏ:
A
B
C
D
I
KÕt qu¶: 
 S =
Câu 12: Cho tam gi¸c ABC, lÊy ®iÓm D thuéc c¹nh AB sao cho . Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho . Gäi F lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD. BiÕt AB = 7,26cm; AF = 4,37cm; BF=6,17cm.
a) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABF.
b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.
KÕt qu¶:
S ABF » SABC »
PHÒNG GD & ĐT TP NINH BÌNH
Trường THCS Ninh Sơn
ĐỀ 1
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Năm học 2011-2012
Câu 1 (5 điểm): Trình bày tóm tắt lời giải và ghi đáp số
Lời giải
Đáp số
Có 
Nên= 
P(100) =26527650
P(2010)= 4092794017290
Câu 2: ( 5 điểm )
a, f(5) = 2008; f(-2) = -2010. (1) ( 1 điểm )
f(x): x2 – 3x – 10 được dư có dạng ax+b (2) 
Thay (1) vào (2) ta được hệ phương trình; giải hệ trên ta được a = 574; 
b = -862 
Vậy f(x) : x2 – 3x – 10 được dư là 574x- 862 ( 1 điểm )
Câu 3: (5 điểm)
Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X, B, C. Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: 
X=X+1: A = 1û X : B = B + A : C = CB rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ số thập phân của S là: 1871,4353 Trình bầy lời giải: 2 điểm
	 Đáp số: 3 điểm
 Câu 4: (5 điểm) Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. Tính 
Giải ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + . Cho 3 điểm
Từ đó tính được: Cho 2 điểm
Câu 5: (5 điểm)
 C1 Gäi sè cÇn t×m lµ x cã 4 ch÷ sè (xN vµ 1000 x 9999)
Ta cã : 10x + 100008 = 34x 24x = 100008 x = 4167
C2 :	
Gäi sè cÇn t×m lµ : (a,b,c,d N vµ nhá h¬n 10)
	Sè míi lµ : 
Ta cã :
VËy sè cÇn t×m lµ 4167 
Câu 6: (5 điểm) Cho dãy số được xác định bởi:
Hãy lập quy trình tính un.
Giảỉ : quy trình:
1 2 
 3 4 5
 ... ...
 kết quả . 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671...
 Câu 7: (5 điểm) Số N = 27.35.53 có bao nhiêu ước số ?
Giải: Số các ước số của N chỉ chứa thừa số: 2 là 7, 3 là 5, 5 là 3
- Số các ước số của N chứa hai thừa số nguyên tố: 2 và 3 là: 7x5 = 35; 
 2 và 5 là: 7x3 = 21; 3 và 5 là: 5x3 = 15
- Số các ước số của N chứa ba thừa số nguyên tố 2, 3, 5 là 7x5x3 = 105
Như vậy số các ước số của N là: 7 + 5 + 3 + 35 + 21 + 15 + 105 + 1 = 192.
Câu 8: (5 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393 cũng như 655 đều có số dư là 210.
Giải: 
- Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 Þ x -210 chia hết cho 393
 x = 655.q2 + 210 Þ x -210 chia hết cho 655
Þ x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965
Þ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210
- Từ giả thiết 10000 < x < 15000 Þ 10000 < 1965k + 210 < 15000
hay 9790 < 1965k < 14790 Þ 5 £ k < 8.
Tính trên máy:
Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035
Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000
Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965
Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965 
Câu 9: (5 điểm) Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994.
Giải:
- Ta có: 54 = 625
- Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625
- Do đó:
 51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25(...625) = ...5625.
Vậy bốn chữ số tận cùng của số 51994 là 5625.
Câu 10: (5 điểm) 
Cho dãy số xác định bởi công thức x 1 = 0,25
a. Viết qui trình ấn phím tính xn ? 
b. Tính x5; x10; x15; x20 ?
a. Qui trình ấn phím:
 0,25 =
 ( x x 4 + 5 )/ ( x + 1)
 ấn = liên tục để có xn (3đ)
x5 = 4,05726941
 x10 = 4,057269071
 x15 = x20 =x10
(Mỗi ý 0,5 điểm)
Câu 11: (5 điểm) 
Tam giác ABC có AB = 6,25cm, AC = 12,5cm, góc BAC =1200. Đường thẳng qua B song song với AC cắt phân giác AD tại I. Tính diện tích tam giác BIC.
A
B
C
D
I
Cách tính:
- ABI là tam giác đều.
 (Vì BI//AC)
 (Vì AD là phân giác)
 Þ SBDI = SIDC và SBDI = SBDA. 
 Þ SBIC = SBDI + SIDC= SBDI + SBDA = SABI.
 SABI = 
(Mỗi ý 0,5 điểm)
Hình vẽ:
Kết quả: 
 16.91455867
(2,0 điểm)
Câu 12: (5 điểm) Cho tam giác ABC, lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho . Gọi F là giao điểm của BE và CD. Biết AB = 7,26cm; AF = 4,37cm; BF=6,17cm.
a) Tính diện tích tam giác ABF.
b) Tính diện tích tam giác ABC. Kết quả:
	a) SABF = 13,43529949 cm2. (2,0 điểm)
	b) Đặt SABF = 4SBDF = 4x; SACF = 5SCEF = 5y
	SABF +SAEF = 4x + 4y =SABC ; 
 SADF +SACF = 3x + 5y =SABC 
	 Ta có hệ:
Þ SABC = 8x Þ SABC = 2SABF = 26,87059898 cm2. (3,0 điểm)
PHÒNG GD&ĐT TP NINH BÌNH
TRƯỜNG THCS NINH SƠN
Đề2
KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Điểm của toàn bài thi
Họ và tên, chữ ký
các giám khảo
SỐ PHÁCH 
(Do Chủ tịch HĐ chấm ghi )
Bằng số
Bằng chữ
......................................................
......................................................
Chú ý : 
Đề thi có 4 trang gồm 12 câu hỏi, thang điểm cho mỗi câu hỏi là 5,0 điểm.
Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này.
 - Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có yêu cầu cụ thể, được qui định là chính xác đến 04 chữ số thập phân.
Thí sinh không được dùng bút xoá, dùng hai loại mực, ký hiệu trên bài thi. Trái điều này bài thi sẽ bị loại.
Câu 1 (5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 
A = với x = ;	 
 B = 
Kết quả A = B = 
Câu 2 (5 điểm) Dãy số {Un} được cho như sau:
 U0 = U1 = 2 ; Un+2 = Un+1.Un + 2Un2 +1 với n = 0, 1, 2, 3, .....
a) Hãy lập một quy trình bấm phím liên tục để tính Un với n ³ 0 (nêu rõ dùng cho loại máy nào)
b) Tính các giá trị U3, U4, U5, U6
a) Quy trình (dùng cho máy Fx..)
.
.
U3 = 
U4 =
U5 = 
 U6 =
Câu 3 (5 điểm)
Tìm số dư khi chia số 20010200920112012 cho 2010
Kết quả: 
Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng A= 
Cách giải
.
.
Câu 4 (5 điểm) a) Giải hệ phương trình sau sau: 
 b)Tìm x biết 
Kết quả (viết dạng phân số)
a)
 x = ; y = ; z = 
b) 
x = 
Câu 5 ( 5 điểm)
 Cho đa thức P(x) =ax3+bx2+cx+d
 a)Xác định các hệ số a, b, c, d biết rằng P(1) = -2; P(-1) = -16; P(2) = 8;
P(-0,5) = -9,5
b)Tìm số dư của phép chia đa thức P(x) cho -2x + 7
 Sơ lược cách giải 
a)
Kết quả
a)..
b) Kết quả: 
 Câu 6: ( 5 điểm)
Cho hai ®a thøc P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. 
T×m m, n ®Ó hai ®a thøc trªn cã nghiÖm chung 
Câu 7 (5 điểm) 
	a/ Tính tổng các ước dương lẻ của số D = 8863701824.
	b/ Tìm các số sao cho . Nêu quy trình bấm phím để được kết quả.
cách giải
a) 
b) 
.
Câu 8(5 điểm) Cho hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau, đáy nhỏ dài 13,724 cm, đáy lớn dài 21,867 cm. Tính độ dài cạnh bên. 
 Sơ lược cách giải
Hình vẽ:
Câu 9 (5 điểm)
a) Cho tam giác ABC như hình vẽ bên. Hãy tính chu vi và diện tích tam giác ABC
Cách giải
..
b) (2 điểm)Cho đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(0;-4) và B(2;0)
- Tính góc a tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox.
- Tính khoảng cách từ đường thẳng y = ax + b tới gốc tọa độ. 
Câu 10 (5 điểm): Một người gửi tiết kiệm 100 000 000 đồng (tiền Việt Nam) vào một ngân hàng theo mức kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 1,1% một tháng. Hỏi sau 60 tháng, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng. Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó; 
`Sơ lược cách giải
Kết quả
...
..
..
..
Câu 11 ( 5 điểm) 
 a)Tìm số các ước dương của số:
 N =1890.1930.1945.1954.1969.1975.2004.2011
 b)Tính tổng S = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
Kết quả:
Câu 12: ( 5 điểm) 
	Viết tiếp vào sau số 2011 . . . những chữ số nào thì được số nhỏ nhất chia hết cho1234?
Kết quả: .
PHÒNG GD&ĐT TP NINH BÌNH
TRƯỜNG THCS NINH SƠN
Đề 2
HƯỚNG DẪN CHẤM
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Quy định :
1) Thí sinh chỉ được dùng máy tính: Casio fx-220, Casio fx-500A, Casio fx-500MS Casio fx-570MS, Casio fx – 500ES, Casio fx – 570ES;
2) Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có yêu cầu cụ thể, được qui định là chính xác đến 04 chữ số thập phân.
Câu 1 (5 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 
A = với x = ;	 B 
Kết quả A = -2,6066 (2,5 điểm) B = -18,4651 (2,5 điểm)
Câu 2 (5 điểm) Dãy số {Un} được cho như sau:
 U0 = U1 = 2 ; Un+2 = Un+1.Un + 2Un2 +1 với n = 0, 1, 2, 3, .....
a) Hãy lập một quy trình bấm phím liên tục để tính Un với n ³ 0 (nêu rõ dùng cho loại máy nào)
b) Tính các giá trị U3, U4, U5, U6
a) Quy trình (dùng cho máy Fx – 500MS)
[2][SHIFT][STO]A [2][SHIFT][STO]B
[ALPHA] B [ALPHA] A [+] [2][ALPHA] A [x2][+] 1 [SHIFT][STO]A 
[ALPHA] A [ALPHA] B [+] 2[ALPHA] B [x2][+] 1 [SHIFT][STO]B 
Lặp lại hai dòng lệnh trên để tính Un
(2 điểm)
b) Kết quả
U3 = 35
U4 =794
U5 = 30241
 U6 =25272227
(3 điểm)
Câu 3 (5 điểm)
 a)Tìm số dư khi chia số 20010200920112012 cho 2010
 b)Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng A= 
Giải: a) Số dư là 1502 (2,5 điểm)
b) Cách giải
Ta có: A = 
 Mặt khác ta có: 
Vậy hai chữ số cuối cùng của tổng A là 68 (2,5 điểm)
Câu 4 (5 điểm) a) Giải hệ phương trình sau sau: 
 b)Tìm x biết 
Kết quả (viết dạng phân số)
a)
 (2,5 điểm)
b) 
 (2,5 điểm)
Câu 5 ( 5 điểm) Cho đa thức P(x) =ax3+bx2+cx+d
a)Xác định các hệ số a, b, c, d biết rằng P(1) = -2; P(-1) = -16;
 P(2) = 8; P(-0,5) = -9,5
b)Tìm số dư của phép chia đa thức P(x) cho -2x + 7
 Sơ lược cách giải 
a) Từ điều kiện đầu bài ta có hệ phương trình
Dùng máy tính để giải hệ phương trình ba ẩn a, b, c
Kết quả
a)
=>P(x) = 2x3-3x2+5x-6
(3 điểm)
b) Số dư của phép chia đa thức P(x) cho -2x + 7
 là 
b) Số dư r = 60,5
(2 điểm)
Bài 6: (5 điểm) Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; 
Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. 
Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung 
Giải: là nghiệm của P(x) thì m = , với P1(x) = 3x2 - 4x + 5 1đ 
 là nghiệm của Q(x) thì n = , với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7. 1 đ 
Tính trên máy ta được: m = = - ( 1,5đ) ; n = = - ( 1,5đ) 
Câu 7: (5 điểm) 
	a/ Tính tổng các ước dương lẻ của số D = 8863701824.
	b/ Tìm các số sao cho . Nêu quy trình bấm phím để được kết quả.
Cách giải
a) (1,5 điểm)
Tổng các ước lẻ của D là:
 (1 điểm)
b) Ta có 
.
Do đó: 
 => . 
Quy trình bấm máy: (fx-570MS). 
[0] SHIFT STO A
A =A+1:B=(111A+11) ab/c (11A+10) ==
Ta được a = 3, b = 8 là phù hợp. Số cấn tìm là 3388 
 (0,5 điểm)
 (1 điểm)
 (1 điểm)
Câu 8(5 điểm) Cho hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau, đáy nhỏ dài 13,724 cm, đáy lớn dài 21,867 cm. Tính độ dài cạnh bên. 
 Sơ lược cách giải
Hình vẽ:
Trên tia đối của tia CD lấy E sao cho CE=AB
Þ ABEC là hình bình hành
Þ BE ^BD Þ BED vuông cân tại B
BH= HD=DE = 17,7955 cm; HC=DC-DH=4,0715 cm
Þ BC==18,2553 cm
5 điểm
Câu 9 (5 điểm)
a) (3 điểm)Cho tam giác ABC như hình vẽ bên. Hãy tính chu vi và diện tích tam giác ABC Cách giải
Kẻ AH vuông góc với BC 0,5 điểm
Ta có AH = AC.sinC, HC = AC.cosC
 BH = AB = , BC = BH + HC 0,5 điểm
Chu vi tam giác: AB+BC+AC = 103,9365 cm 1 điểm
Diện tích S = = 509,1142 cm2 1 điểm
b) (2 điểm)Cho đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(0;-4) và B(2;0)
- Tính góc a tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox.
- Tính khoảng cách từ đường thẳng y = ax + b tới gốc tọa độ. 
Cách giải
Kết quả
0
2
-4
I
B
A
Biết OA = - 4; OB = 2
a » 63o26’6’
SDAOB= 4 (đvdt)
OI = 2.sina
OI » 1,78885 (đvd)
a » 26o33’
Khoảng cách là
1,78885 (đvd)
Câu 10 (5 điểm): Một người gửi tiết kiệm 100 000 000 đồng (tiền Việt Nam) vào một ngân hàng theo mức kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 1,1% một tháng. Hỏi sau 60 tháng, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng. Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó; 
`Sơ lược cách giải
Kết quả
Gọi số tiền ban đầu là a, lãi xuất 1 tháng là r
Số tiền kỳ hạn thứ nhất là T1 = a(1+6r)
Số tiền kỳ hạn thứ hai là T2 = a(1+6r)2
-------------------------------------------
Số tiền kỳ hạn thứ n là Tn = a(1+6r)n
60 tháng = 10 kỳ hạn 
Số tiền người đó thu được sau 60 tháng là
 T = a(1+6r)10 3,5 điểm
Số tiền là
T = 189.483.783 đồng 
1,5 điểm
Câu 11 ( 5 điểm) a) Tìm số các ước dương của số:
 N =1890.1930.1945.1954.1969.1975.2004.2011
 b)Tính tổng S = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
Cách giải
a) N = 25.34.55.7. 11.79.167.179.193.389.977.2011 1 điểm
Þ τ = 6.5.6.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 92160 1 điểm
b) Ta có: 
4S = 1.2.3.4 + (5-1)2.3.4 + (6-2).3.4.5 ++ (101-97)98.99.100
 = 1.2.3.4 -1.2.3.4+2.3.4.5 -2.3.4.5 +3.4.5.6 97.98.99.10 +98.99.100.101 
=98.99.100.101
=> S = 3 điểm
Bài 12: ( 5 điểm)Viết tiếp vào sau số 2011 . . . những chữ số nào thì được số nhỏ nhất chia hết cho1234?
Cách giải: Theo mod 1 234 ta có:
 * Điền vào sau một chữ số thì 2011x º 366 + x (loại)
* Điền vào sau hai chữ số thì 2011xy º 1192 + xy Þ xy = 42 * Điền vào sau ba chữ số thì 2011xyz º 814 + xyz Þ xyz = 420
Kết quả
201142 và 2011420
 Häc sinh cã thÓ cã c¸ch gi¶i kh¸c, khi ®ã gi¸m kh¶o dïng m¸y kiÓm tra. NÕu c¸ch lµm ®óng th× vÉn cho ®iÓm tèi ®a nh­ h­íng dÉn chÊm