Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Nguyễn Văn Trỗi

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
 THANH HÓA NĂM HỌC 2011 - 2012
 §Ò CHÝNH THøC
	 MÔN: TOÁN 
 Lớp 9 thcs
 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề
 Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012
Câu I (4đ)
Cho biểu thức P = 
Rút gọn P
Tính giá trị của P khi x = 
Câu II (4đ)
Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P).
Tính độ dài AB.
Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho 
CD = AB.
Câu III (4đ)
Giải hệ phương trình 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320
Câu IV (6đ)
Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng: 
ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
KH AM.
Câu V (2đ) 
Với . Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh .......................................................................... SDB .........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA 
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
 NĂM HỌC 2011-2012
 Môn : TOÁN 
 Ngày thi :18/02/2012
Câu I: 
1, 
C1, 
a, (ĐK: ; x ≠ 5)
Đặt ( a ≥ 0)
b,
C2,
a, 	(ĐK: )
b) 
=> x= vì x>1Þ P = ... Þ 
Câu II:
1) Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình
x2 + x -2=0
=> x = 1 hoặc x = 2
Vậy A(1,-1) và B(-2;-4) hoặc A(-2;-4) vàB(1;-1) Þ AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 = 18
Þ AB = 3
2)Để (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình x2-x+m=0 (1)
có hai nghiệm phân biệt 
Ta có CD2 = (x1-x2)2+(y1-y2)2 mà 
nên: 
Ta có AB2 =18
nên CD = AB Û CD2 = AB2 Û (x2-x1)2+(y2-y1)2=18 (*)
 Û 2(x1-x2)2 = 18 Û (x1-x2)2 = 9 
 Û (x1+x2)2 - 4x1x2 = 9 
 Û 1-4m-9 = 0 (Theo Viet)
 Û m = - 2 (TM)
Câu III
1,ĐK x0, y0
C1, 
Dùng phương pháp thế rút y theo x từ (1) thay vào pt (2) ta có pt:
C2, 
Nhân vế của hai PT được: (x+y)2 = 1 Û x+y = ± 1 (1)
Chia vế của hai PT được: (2)
Từ 4 PT trên giải được (x;y) = (1/3;2/3); (2;-1); (-2/3;-1/3); (-2;1)
Thử lại: Chỉ có hai nghiệm thoả mãn HPT là: (-2;1) và (1/3;2/3)
2, GPT: 2x6 + y2 – x3y = 320
C1, 
Câu IV: (Đổi điểm C1 thành C’, C2 thành C’’ cho dể đánh máy và vẽ hình)
1) Ta có nên tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn tâm chính là (C1) là trung điểm AH
2, gọi giao điểm AM với (C’) là I. ta có: 
ME là tt của (C’’) ÞME2 = MI. MA
ME là tt của (C’’) Þ ME2 = MD. MK
Þ MI. MA = MD. MK Þ ... Þ ÿ AIDK nt Þ ÐAIK = ÐADK = 1v Þ KI ^ AM (1)
Ta lại có: ÐAIH = 1v (góc nt chắn nửa (C’) Þ HI ^ AM (2)
Từ (1) và (2) Þ I; H; K thẳng hàng Þ KH ^ AM (Đpcm)
Câu V: GPT (1)
Do vai trò x,y,z như nhau nên 
* TH1: Nếu x= 0 => 
Ta có VT < 0 mà VP 0 nên trong trường hợp này không có nghiệm
* TH2: Nếu x khác 0 mà 
 Dấu “=” xảy ra khi: x=1 hoặc z=1.
+ Ta lại có: 
+ Tương tự: 
 . (2)
+ Mặt khác, vì: . Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z = 1 
 Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z = 1 (3)
+ Từ (2) và (3) chỉ đúng khi: .Khí đó x = y = z =1.
* Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: .