Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Bảng A - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm). 
	a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = 
và .
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b) Cho A = (với n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.
Câu 2 (4,5 điểm). 
	a) Giải phương trình: 
 b) Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (4,5 điểm). 
	a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và .
Chứng minh rằng: 
b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu 4 (4,5 điểm).
	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
b) Khi , xác định vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:................................................................................ Số báo danh: .....................................
 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN - Bảng A
--------------------------------------------
Câu:
Nội dung
1.
Với thì là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. Mà (2.3)=1
	Vậy 
	với , n > 1 thì > 
	và < 
	Vậy << không là số chính phương đpcm
2.
	 điều kiện 
Đặt 
 (b>0)
Ta có: 
Trường hợp1: a = 3b
Ta có: (1)
	 < 0 phương trình (1) vô nghiệm
Trường hợp 2: b = 3a
Ta có: 
Vậy phương trình có 2 nghiệm 
Từ (3) thay vào (2) (4)
Từ (1) (5)
Từ (4) và (5) 
Chứng minh tương tự : y = z
Từ đó 
Thay vào (1) 
	 hệ có 2 nghiệm 
3.
Áp dụng bất đẳng thức (với x,y > 0)
Ta có: ; 
Suy ra: 	 (1)
Tương tự: (2)
	 (3)
Từ (1),(2),(3) 
Dấu "=" xảy ra 
Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho và 2009 số 1 ta có:
 2009
	(1)
Tương tự: 	(2)
 	(3)
Từ (1), (2), (3) 
Giá trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1
4.
Gọi giao điểm của BH với AC là E
 AH với BC là F, CH với AB là I
	 HECF là tứ giác nội tiếp.
	 (1)
Mà ( góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Ta có: (Do M, N đối xứng AB) (2)
Từ (1), (2) AHBN là tứ giác nội tiếp
	 (*)
Mà (Do M, N đối xứng qua AB (**)
Từ (*), (**) 
Chứng minh tương tự: 
Mà 
	 ( vì )
	 N, H, P thẳng hàng
Gọi J là điểm chính giữa của cung lớn BC
 đều
Trên đoạn JM lấy K sao cho MK = MB
JM lớn nhất JM là đường kính (O) lúc đó M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.
Vậy nhỏ nhất M là điểm chính giữa cung nhỏ BC
5.
+ Khi .
	 F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính.
	 EF đi qua điểm O cố định.
+ Khi 900.
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF. 
	 (cùng bù )
	 (Do I và K đối xứng qua EF)
	 nội tiếp
	 (cùng chắn ) (1)
	 (Do K và I đối xứng qua EF) (2)
	 ( cùng phụ ) (3)
Từ (1), (2), (3) 
	 AKBI là tứ giác nội tiếp
	Mà EF là đường trung trực của KI E, O, F thẳng hàng.
+ Khi > 900 < 900 chứng minh tương tự.
Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định.
- - - Hết - - -