Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Kim Thành (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN KIM THÀNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề gồm 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A = 
b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.
Hãy tính giá trị biểu thức: A = 
Bài 2: (3,0 điểm)
a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012
Tính f(a) tại a = 
b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương?
Bài 3: (4,0 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
Bài 4: (3,0 điểm)
a) Tìm x; y thỏa mãn: 
b) Cho a; b; c là các số thuộc đoạn thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh rằng: 
a + b + c 0
Bài 5: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: 
b) Giả sử: HK = AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
c) Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?
TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨ
Tổ KHTN
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán 9
Thời gian: 120’
Câu 1: (4 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức A = 
ĐKXĐ: x 4; x 9
A = 
= 
b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.
Hãy tính: A = 
Gợi ý: xy + yz + xz = 1 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y)
Tương tự: 1 + y2 = ; 1 + z2 = . 
Câu 2: (3 điểm)
a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012
Tính f(a) tại a = 
b/ Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương?
Giải
a/Từ a=
 nên a3 + 12a = 32
Vậy f(a) = 1
b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k ) và k > n (k – n)(k + n) = 17 
Vậy với n = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3: (4 điểm)
Giải các phương trình sau:
a/ 
b/ 
Giải
a/ ĐK: 
Bình phương 2 vế: 
(thỏa mãn)
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 0; x = -3
b/ ĐKXĐ: x 
 vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1 
Câu 4: (3 điểm)
a/ Tìm x; y thỏa mãn: 
b/ Cho a; b; c là các số thuộc đoạn thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh rằng: a + b + c 0
Giải
a/ 
Xét VP = theo BĐT cosi: vậy VP xy = VT
Dấu = xảy ra khi: 
b/ Do a; b; c thuộc đoạn nên a + 1 0; a – 2 0 nên (a + 1)(a – 2) 0
Hay: a2 – a – 2 0 a2 a + 2
Tương tự: b2 b + 2; c2 c + 2
Ta có: a2 + b2 + c2 a + b + c + 6 theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = 6 nên: a + b + c 0
Câu 5: (6 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.
a/ Chứng minh: 
b/ Giả sử: HK = AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
c/ Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?
Giải
a/ Sử dụng định lý pytago:
= 
b/ Ta có: tanB = ; tanC = 
Nên: tanBtanC = (1)
Mặt khác ta có: mà: tanHKC = 
Nên tanB = tương tự tanC = (2)
Từ (1)(2)
Theo gt: HK = AK 
c/ Ta chứng minh được: và đồng dạng vậy: (3)
Mà BÂC = 600 nên AB = 2AD(4)
Từ (3)(4) ta có: