Chuyên đề sử dụng máy tính Casio tính lãi suất ngân hàng

CHUYÊN ĐỀ VỀ LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
Mục tiêu chung :
Giúp nâng cao cho học sinh có được những kiến thức cơ bản về cách tính lãi suất khi gửi tiền vào ngân hàng trong thực tế .
Mục tiêu cụ thể :
 Kiến thức :
Biết cách tính toán được những bài toán về lãi suất – niên khoản trong thực tế .
 Kỹ năng :
Có được những kỹ năng tính toán về lãi suất – niên khoản.
 Thái độ :
Có thái độ thích thú trong việc tính toán với các bài toán về tính lãi suất – niên khoản .
I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ XÂY DỰNG CÔNG THỨC :
1. Lãi đơn (simple interest)
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Công thức tính lãi đơn như sau:
A = a.r.n
Trong đó A là lãi đơn, a là số tiền gốc, r là lãi suất kỳ hạn và n là số kỳ hạn tính lãi. 
Ví dụ : Bạn An ký gửi 10 000 000 đồng vào tài khoản định kỳ tính lãi đơn với lãi suất là 8%/năm. Sau 10 năm số tiền gốc và lãi bạn thu về là:
10 000 000 +10 000 000(0,08)(10) = 18 000 000 đồng
2. Lãi kép (compound interest)
Lãi kép là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Nó chính là lãi tính trên lãi, hay còn gọi là ghép lãi (compounding). Khái niệm lãi kép rất quan trọng vì nó có thể ứng dụng để giải quyết rất nhiều vấn đề trong tài chính.
3. Lãi kép liên tục (continuous cpompound interest)
Lãi kép liên tục là lãi kép khi số lần ghép lại trong một thời kỳ (năm) tiến đến vô cùng. Nếu trong một năm ghép lãi một lần thì chúng ta có lãi hàng năm (annually), nếu ghép lãi 2 lần thì chúng ta có lãi bán niên (semiannually), 4 lần có lãi theo quý (quarterly), 12 lần có lãi theo tháng (monthly), 365 lần có lãi theo ngày (daily),  Khi số lần ghép lãi lớn đến vô cùng thì việc ghép lãi diễn ra liên tục. Khi ấy chúng ta có lãi liên tục (continuously).
II. CÁC DẠNG TOÁN:
1/ Lãi xuất từ 1 giá trị không đổi qua thời gian : ( lãi kép )
1.1 .Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng. Tính cả vốn lẫn lãi A sau n tháng?
Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2
Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n
Vậy A = a( 1 + r )n	
Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.
Từ công thức (*) A = a(1 + r)n ta tính được các đại lượng khác như sau:
1) ; 2) ; 3) 
(ln trong công thức 1 là Lôgarit Nêpe, trên máy fx-500 MS và fx-570 MS phímấn trực tiếp)
Ví dụ 1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng. Tính cả vốn lẫn lãi sau 8 tháng?
- Giải -
Ta có: A = 58000000(1 + 0,7%)8
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 61 328 699, 87
Ví dụ 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để được 70 021 000đ. Hỏi phải gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng?
- Giải -
Số tháng tối thiểu phải gửi là: 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 27,0015 tháng
Vậy tối thiểu phải gửi là 27 tháng.
(Chú ý: Nếu không cho phép làm tròn, thì ứng với kết quả trên số tháng tối thiểu là 28 tháng)
Ví dụ 3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000đ. Tìm lãi suất hàng tháng?
- Giải -
Lãi suất hàng tháng: 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 0,7%
1.2. Nếu hàng tháng gửi a đồng vào ngân hàng với lãi suất r % trên tháng trong n tháng . Tính cả vốn lẫn lãi sau n tháng ?
 ;	 
Trong đó A là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n tháng , a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng
Ví dụ 4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng. Hỏi sau 10 tháng thì lãnh về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
-Giải-
Số tiền lãnh cả gốc lẫn lãi:
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 6028055,598
Ví dụ 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao nhiêu mỗi tháng. Với lãi suất gửi là 0,6%?
-- Giải --
Số tiền gửi hàng tháng: 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: 9674911,478
2/ Lãi suất từ giá trị thêm vào vào theo quãng thời gian đều : ( lãi liên tục )
Ví dụ 6 : Một người gửi tiết kiệm 10 000 000 đồng vào một ngân hàng theo mức kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng .
Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn lãi ) ở ngân hàng. Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó .
Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền ( cả vốn lẫn lãi ) ở ngân hàng . Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả định kỳ trước đó .
Giải :
a) 
Lãi suất theo định kỳ 6 tháng là : 6 x 0,65% = 3,90%
10 năm bằng kỳ hạn
Áp dụng công thức tính lãi suất kép, với kỳ hạn 6 tháng và lãi suất 0,65% tháng, sau 10 năm số tiền cả vốn lẫn lãi là :
 đồng 
b)
Lãi suất theo định kỳ 3 tháng là : 3 x 0,63% = 1,89%
10 năm bằng kỳ hạn
Với kỳ hạn 3 tháng và lãi suất 0,63% tháng, sau 10 năm số tiền cả vốn lẫn lãi là :
 đồng 
Nhận xét: 
@ Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm: 
+ Gửi số tiền a một lần -----> lấy cả vốn lẫn lãi A.
+ Gửi hàng tháng số tiền a -----> lấy cả vốn lẫn lãi A.
@ Cần phân tích các bài toán một cách hợp lý để được các khoảng tính đúng đắn.
@ Có thể suy luận để tìm ra các công thức từ 1) -> 4) tương tự như bài toán mở đầu
@ Các bài toán về dân số cũng có thể áp dụng các công thức trên đây.
3/ Bài toán về dân số :
Cho biết tại một thời điểm gốc nào đó, dân số của một quốc gia B là a người ; tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm của quốc gia đó là m%.
Hãy xây dựng công thức tính số dân của quốc gia B đến hết năm thứ n.
A = a ( 1 + m )n
Từ công thức trên ta suy ra công thức tính các đại lượng khác như sau :
 1) ; 2); 3) 
Trong đó :A là tổng số dân sau n năm, n là số năm,m (%) là tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm .
Ví dụ 1 : Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người. Hỏi đến năm 2010 dân số nước ta là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2%?
Giải :
 người
Ví dụ 2:. Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu?
Giải :
 = %
 Ví dụ 3 : Dân số xã Hậu Lạc hiện nay là 10000 người. Người ta dự đoán sau 2 năm nữa dân số xã Hậu Lạc là 10404 người.
	a) Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã Hậu Lạc tăng bao nhiêu phần trăm ?
	b) Với tỉ lệ tăng dân số như vậy, hỏi sau 10 năm dân số xã Hậu Lạc là bao nhiêu?
Giải : Câu a) là tìm m
 Câu b) là tìm A 
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài 1 : Một người muốn rằng sau hai năm phải có 20 000 000đ (hai mươi triệu đồng) để mua xe máy. Hỏi phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền như nhau hàng tháng là bao nhiêu, biết rằng lãi suất tiết kiệm là 0,075% tháng.
Bài 2 : Một số tiền là 580000đ được gửi tiết kiệm theo lãi kép (sau mỗi tháng tiền lãi được cộng thành vốn) sau 25 tháng thì được cả vốn lẫn lãi là 84155đ. Tính lãi suất /tháng (tiền lãi của 100đ trong một tháng).
Bài 3 : Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 1 000 000đ với lãi suất 0,45% một tháng.
Hỏi sau 2 năm người ấy nhận được bao nhiêu tiền lãi? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Bài 4 : Dân số tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm tăng từ 30 000 000 người lên đến 30 048 288 người. 
Tính tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm đó?
(Kết quả làm tròn hai chữ số thập phân)
Bài 5 : Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là 5 triệu đồng với lãi suất là 1,35 % trên một tháng.Hỏi sau 1 năm người ấy nhận được tất cả bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi ?
Bài 6 : 
1) Một người gửi vào ngân hàng một số tiền làđồng với lãi suất là% một tháng. Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi sau n tháng người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?
Áp dụng bằng số: = 10000000, = 0,8, n = 12.
2) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền làđồng với lãi suất là% một tháng. Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi cuối tháng thứ n người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?
Cho = 1000000, = 0,8, n = 12. Hỏi số tiền lãi là bao nhiêu?
Bài 7 : Một người gửi tiết kiệm 100.000.000 đồng (tiền Việt Nam) vào một ngân hàng theo mức kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng.
a) Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng? Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó. 
b) Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng? Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó. 
	(Kết quả lấy theo các chữ số trên máy khi tính toán.)
Đáp số: Ta » 214936885,3 đồng; Tb » 211476682,9 đồng.
Bài 8 : 
a) Bạn Toán gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 2000000 đồng với lãi suất 0,58% một tháng (gửi không kỳ hạn). Hỏi bạn Toán phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 2600000 đồng ?
	b) Với cùng số tiền ban đầu nhưng số tháng gửi ít hơn số tháng ở câu a) là 1 tháng, nếu bạn Toán gửi tiết kiệm có kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,68% một tháng, thì bạn Toán sẽ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? (Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng trước để tính lãi tháng sau. Hết một kỳ hạn, lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong kỳ hạn tiếp theo).
Bài 9 : Một người gửi tiền bảo hiểm cho con từ lúc con tròn 6 tuổi, hàng tháng anh ta đều đặn gửi vào cho con 300 000 đồng với lãi suất 0,52% một tháng. Trong quá trình đó người này không rút tiền ra. Đến khi con tròn 18 tuổi số tiền đó sẽ dùng cho việc học nghề và làm vốn cho con. 
Hỏi khi đó số tiền rút ra là bao nhiêu(làm tròn đến hàng đơn vị).
Với lãi suất và cách gửi như vậy, đến khi con tròn 18 tuổi, muốn số tiền rút ra không dưới 100 000 000 đồng thì hàng tháng phải gửi vào cùng một số tiền là bao nhiêu?(làm tròn đến hàng đơn vị).
Bài 10 : 
a) Một người vay vốn ở một ngân hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48 tháng, lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ, trả đúng ngày qui định. Hỏi hàng ... ghiệm của đa thức Q(x) 
Vì hệ số của x5 = 1 nên suy ra Q(x) có dạng : 
Q(x) = ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 )( x – 4 )( x – 5 ) 
Nên Q(6) = ( 6 – 1 )( 6 – 2 )( 6 – 3 )( 6 – 4 )( 6 – 5 ) 
 = 5.4.3.2.1 = P(6) – 62 
Suy ra : P(6) = 62 + 5.4.3.2.1 = 156
Tương tự : P(7) = 72 + 6.5.4.3.2.1 = 769
	P(8) = 82 + 7.6.5.4.3.2.1 = 2584
	P(9) = 92 + 8.7.6.5.4.3.2.1 = 6801
b/ P(x) = ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 )( x – 4 )( x – 5 ) + x2 
	 = x5 - 15x4 + 85x3 - 284x2 + 274x – 120 
CHUYÊN ĐỀ VỀ DÃY SỐ
Dạng 1. Dãy Fibonacci
Tính các số hạng của dãy Fibonacci trên máy tính điện tử
1.1. Tính theo công thức tổng quát
Ta có công thưc tổng quát của dãy: . Trong công thức tổng quát số hạng un phụ thuộc n, vì n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n trong phép tính.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
Muốn tính n = 10 ta ấn , rồi dùng phím một lần để chọn lại biểu thức vừa nhập ấn 
	1.2. Tính theo dãy
Ta có dãy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1	(với n 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = 1 vào biến nhớ A 
	----> lấy u2+ u1 = u3 gán vào B
Lặp lại các phím: 	----> lấy u3+ u2 = u4 gán vào A
	----> lấy u4+ u3 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Tính số hạng thứ 8 của dãy Fibonacci?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
(21)
Chú ý: F Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng un của dãy nhưng qui trình trên đây là qui trình tối ưu nhất vì số phím ấn ít nhất. Đối với máy fx-500 MS thì ấn , đối với máy fx-570 MS có thể ấn hoặc ấn thêm để tính các số hạng từ thứ 6 trở đi.
Dạng 2. Dãy Lucas
Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1	(với n 2. a, b là hai số tùy ý nào đó)
Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát của dãy Fibonacci, với a = b = 1 thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci. 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> lấy u2+ u1 = u3 (u3 = b+a) gán vào B
Lặp lại các phím: 	----> lấy u3+ u2 = u4 gán vào A
	----> lấy u4+ u3 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n 2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Sử dụng qui trình trên tính u13, u17?
-- Giải --
a. Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
Lặp lại các phím: 	
b. Sử dụng qui trình trên để tính u13, u17
Ấn các phím: (u13 = 2584)
 (u17 = 17711)
Kết qủa: u13 = 2584; u17 = 17711
Dạng 3. Dãy Lucas suy rộng dạng
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1	
(với n 2. a, b là hai số tùy ý nào đó)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	--> tính u3 (u3 = Ab+Ba) gán vào B
Lặp lại các phím: 	-> Tính u4 gán vào A
	---> lấy u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n 2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
-- Giải --
Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	 
Lặp lại các phím: 	
Dạng 4. Dãy phi tuyến tính dạng
	Cho Cho u1 = a, u2 = b, (với n 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> lấy u22+ u12 = u3 (u3 = b2+a2) gán vào B
Lặp lại các phím: 	----> lấy u32+ u22 = u4 gán vào A
	----> lấy u42+ u32 = u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, (n 2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Tính u7?
-- Giải --
a. Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Ấn các phím: 	 
	Lặp lại các phím: 	
b. Tính u7
	Ấn các phím: (u6 =750797) 
	Tính u7 =u62 + u52 = 7507972 + 8662 = 563 696 135209 + 749956 = 563 696 885165
	Kết qủa: u7 = 563 696 885165
Chú ý: Đến u7 máy tính không thể hiển thị được đầy đủ các chữ số trên màn hình do đó phải tính tay giá trị này trên giấy nháp có sử dụng máy tính hỗ trợ trong khi tính. Ví dụ: 7507972 = 750797.(750.1000+797) = 750797.750.1000 + 750797.797 = 563097750.1000 + 598385209 = 563097750000 + 598385209= 563 696 135209.
Dạng 5. Dãy phi tuyến tính dạng
	Cho Cho u1 = a, u2 = b, (với n 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	---> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	-> Tính u3 = Ab2+Ba2 gán vào B
Lặp lại các phím: 	--> Tính u4 gán vào A
	--> Tính u5 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 5 lần.
Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, (n 2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
-- Giải --
Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	 
Lặp lại các phím: 	
Dạng 6. Dãy Fibonacci suy rộng dạng
	Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n 3).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	 ----> gán u2 = 1 vào biến nhớ A 
	 ----> gán u3 = 2 vào biến nhớ B
	 ----> tính u4 đưavào C
Lặp lại các phím: 	 ----> tính u5 gán biến nhớ A
	 ----> tính u6 gán biến nhớ B
	 ----> tính u7 gán biến nhớ C
Bây giờ muốn tính un ta và, cứ liên tục như vậy n – 7 lần.
Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 của dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
 (u10 = 149)
Dạng 7. Dãy truy hồi dạng
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1+ f(n) 	(với n 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u2 = b vào biến nhớ A 
	----> tính u3 (u3 = Ab+Ba+f(n)) gán vào B
Lặp lại các phím: 	 ----> Tính u4 gán vào A
	 ----> tính u5 gán vào B
Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 + (n 2). 
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Tính u7?
-- Giải --
a. Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Ấn các phím: 	 
	Lặp lại các phím:
b. Tính u7 ?
Ấn các phím: (u7 = 8717,92619)
	Kết qủa: u7 = 8717,92619
Dạng 8. Dãy phi tuyến tính dạng 
	Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = 	(với n 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
Lặp lại các phím: 	
Ví dụ: Cho u1 = 4; u2 = 5, . Lập qui trình ấn phím tính un+1?
-- Giải --
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	
Lặp lại các phím: 	
Dạng 9. Dãy Fibonacci tổng quát 
	Tổng quát: trong đó u1, u2, , uk cho trước và Fi(ui) là các hàm theo biến u.
Dạng toán này tùy thuộc vào từng bài mà ta có các qui trình lập dãy phím riêng.
Chú ý: Các qui trình ấn phím trên đây là qui trình ấn phím tối ưu nhất (thao tác ít nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) thì áp dụng qui trình trên nếu không cẩn thận sẽ dẫn đến nhầm lẫn hoặc sai xót thứ tự các số hạng. Do đó, ta có thể sử dụng qui trình ấn phím theo kiểu diễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề này không ảnh hưởng gì đến đánh giá kết quả bài giải.
Ví dụ: Cho u1 = a, u2 = b, (với n 2).
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 	----> gán u1 = a vào biến nhớ A 
	----> Tính u2 = b gán vào B
Lặp lại các phím: --> Tính u3 gán vào A
	 --> Tính u4 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta một lần và, cứ liên tục như vậy n – 4 lần.
Nhận xét: 	
@ Lập qui trình theo kiểu này thì tất cả dạng toán đều làm được, rất ít nhầm lẫn nhưng tính tối ưu không cao. Chẳng hạn với cách lập như dạng 5 thì để tính un ta chỉ cần ấn liên tục n – 5 lần, còn lập như trên thì phải ấn n – 4 lần.
@ Nhờ vào máy tính để tính các số hạng của dãy truy hồi ta có thể phát hiện ra quy luật của dãy số (tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính chia hết, số chính phương, ) hoặc giúp chúng ta lập được công thức truy hồi của dãy các dãy số.
@ Đây là dạng toán thể hiện rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử trong học toán theo hướng đổi mới hiện nay. Trong hầu hết các kỳ thi tỉnh, thi khu vực đều có dạng toán này.
CHUYÊN ĐỀ XÂY DỰNG CÔNG THỨC 
TÍNH TỔNG CÁC SỐ TỰ NHIÊN BẰNG ĐA THỨC
(Giáo viên biên soạn: Phạm Ngọc Hiện – THCS Bình Thủy)
A. GIỚI THIỆU
1. Bài toán mở đầu 
Hãy tính tổng của n số chẵn đầu tiên : với n là số nguyên dương.
Ta khảo sát một số trường hợp đặc biệt của n như sau:
n
1
2
3
4
S(n)
2
6
12
20
Từ các trường hợp cụ thể nêu trên ta có thế tính được S(n). Nhưng để nêu ra một công thức tổng quát thì sao, như vậy người ta đưa ra một công thức để tính trong Toán học, đó là công thức tính tổng các số tự nhiên bằng đa thức.
2. Công thức
Gỉa sử f(x) là một đa thức có bậc n . Xét đẳng thức (1). Khi đó là đa thức bậc và khi thay x lần lượt bằng 1, 2, 3,, n rồi cộng lại ta được tổng:
Từ mục đích tính tổng n số tự nhiên nào đó tùy thuộc vào việc chọn và xác định đa thức thỏa mãn .
Phương pháp 
Bước 1: Ta chọn sao cho ,
Bước 2: Tìm đa thức thỏa mãn ,
Bước 3: .
B. NỘI DUNG
Bài 1: Tính tổng 
Lời giải. Đặt . Khi đó việc tính tổng S là tổng của . Do đó ta xét bài toán: tìm đa thức và biết 
Mặt khác, nên là đa thức bậc hai suy ra 
Từ (1), 
, 
Nên , 
Vậy, 
Bài 2: Tính tổng 
Tương tự ta chọn và xét bài toán : Tìm đa thức biết 
Suy ra, 
Nên, 
Như vậy, 
Bài 3: Tính tổng 
Từ tổng trên ta chọn và xét bài toán: Tìm đa thức bậc ba biết 
Giả sử . Khi đó từ (1) ta có:
Vậy, , 
Do đó, 
Bài 4:Tính tổng 
Ta chọn và xét bài toán: Tìm đa thức bậc bốn biết: 
Giả sử 
Khi đó từ (1) có: 
Giải ra ta được:
, 
Nên , 
Do đó,
Bài 5: Tính 
Ta chọn và xét bài toán: Tìm đa thức bậc ba biết: 
Giả sử . Khi đó từ (1) ta có:
Nên, , 
Do đó, 
Tóm lại, ta có một số công thức tính tổng các số tự nhiên rất bổ ích là:
	1.
	2.
	3.
	4.
	5.
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tính 
Bài 2: Tính 
Bài 3: Tính 
Bài 3: Tính: 
Qua các bài trên, tôi nghĩ cách chọn và từ đó tìm được thỏa yêu cầu của phương pháp này. Trên đây chỉ là một giải pháp đưa ra để thầy cô tham kháo. Rất mong sự đóng góp ý kiến nhiệt tình để cùng nhau có những giải pháp tốt nhất, nhằm nâng cao chất lượng môn đại số cho học sinh, nhất là học sinh phân môn đại số bậc THCS.
- Hết -