Chuyên đề Hình học Lớp 12 - Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz - Bài 8: Góc cơ bản

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ③: PP TỌA ĐỘ TRONG KG OXYZ
 Bài 8: GÓC CƠ BẢN 
  Dạng ①: Góc giữa hai đường thẳng
 ❶-Phương pháp:
  Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có vectơ chỉ 
 phương a a ;a ;a và đường thẳng d có vectơ chỉ 
  1 2 3
 phương a a1 ;a2 ;a3 .
  Gọi là góc giữa đường thẳng d đường thẳng d , 
 00 900
  
  a.a 
 ❷- Sử dụng Casio: cos d,d ' cos cos a;a  
 a . a 
Ⓐ. Bài tập minh họa:
 x 1 y 2 z 3
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng : và 
 1 2 1 2
 x 3 y 1 z 2
 : . Góc giữa hai đường thẳng , bằng
 2 1 1 4 1 2
 Ⓐ. 300 . Ⓑ. 450 . Ⓒ. 600 . Ⓓ. 1350 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  Casio
  
  Véc tơ chỉ phương của là u 2;1; 2
 1 1 
  
  Véc tơ chỉ phương của 2 là u2 1;1; 4 
   
   u1.u2
 c os 1, 2 cos u1,u2   
 u . u
 1 2
 .
 2 .1 1.1 2. 4 9 2
 2 2 12 22 . 12 12 4 2 3.3 2 2
 0
  Do đó góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 là 45
 x 2 y 1 z 3 x 5 y 3 z 5
Câu 2: Trong không gian Oxyz , hai đường thẳng d : và d : 
 1 1 2 1 2 1 2 m
 tạo với nhau góc 60 , giá trị của tham số m bằng 3 1
 Ⓐ. m 1. Ⓑ. m . Ⓒ. m . Ⓓ. m 1.
 2 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A  Casio
  Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d , d lần lượt là 
   1 2
 u1 1; 2;1 và u2 1; 2;m .
 Theo công thức tính góc tạo bởi hai đường thẳng thì 
   
 u .u
 1 2 ·
 cos   với d1 , d 2 .
 u1 . u2
 Từ giả thiết suy ra 
 1 3 m
 m2 3 3 m m2 3 m2 6m 9 m 1.
 2 2 m2 3
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) : (x 1)2 y2 (z 2)2 4 và đường thẳng 
 x 2 t
 d : y t . Tổng các giá trị thực của tham số m để d cắt S tại hai điểm phân biệt 
 z m 1 t
 A, B và các tiếp diện của S tại A, B tạo với nhau một góc lớn nhất bằng
 Ⓐ. 1,5 . Ⓑ. 3. Ⓒ. 1. Ⓓ. 2,25.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  
  Mặt cầu S có tâm I 1;0; 2 và bán kính R 2 .
 Các tiếp diện của S tại A và B tạo với nhau một góc lớn nhất
 ( bằng 90 )
 R
 IA  IB d I,d 2
 2
 Đường thẳng d đi qua điểm M 2;0;m 1 và có một VTCP 
 u 1;1; 1 .
   
 Suy ra: IM 1;0;m 1 , IM ,u m 1; m;1 .
  
 IM ,u 
 d I,d 2 2
 u
 .
 2
 2m 2m 2 2 m 1
 2 m m 2 0 
 3 m 2
 Vậy tổng các giá trị thực của tham số m bằng 1.
Ⓑ. Bài tập rèn luyện:
 x 1 y 2 z 3
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng : và 
 1 2 1 2
 x 3 y 1 z 2
 : . Góc giữa hai đường thẳng , bằng
 2 1 1 4 1 2
 Ⓐ. .3 00 Ⓑ. . 450 Ⓒ. . 600 Ⓓ. . 1350 x 2 y 1 z 3 x 5 y 3 z 5
Câu 2: Trong không gian Oxyz , hai đường thẳng d : và d : 
 1 1 2 1 2 1 2 m
 tạo với nhau góc 60 , giá trị của tham số m bằng
 3 1
 Ⓐ. m 1. Ⓑ. m . Ⓒ. m . Ⓓ. m 1.
 2 2
Câu 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x y z 2 0 và hai đường 
 x 1 t x 3 t 
 thẳng d : y t ; d ': y 1 t .
 z 2 2t z 1 2t 
 Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với P ; cắt d, d và tạo với d góc 
 30O. Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó.
 1 1 2 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 5 2 3 2
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.B 2.A 3.D
 Hướng dẫn giải
Câu 2: 
 Lời giải
   
 Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d1, d2 lần lượt là u1 1; 2;1 và u2 1; 2;m .
   
 u .u
 1 2 ·
 Theo công thức tính góc tạo bởi hai đường thẳng thì cos   với d1 , d 2 .
 u1 . u2
 1 3 m
 Từ giả thiết suy ra m2 3 3 m m2 3 m2 6m 9 m 1.
 2 2 m2 3
Câu 3: 
  Lời giải
 Gọi là đường thẳng cần tìm, np là VTPT của mặt phẳng (P) .
 Gọi M (1 t;t;2 2t) là giao điểm của và d;M 3 t ;1 t ;1 2t là giao điểm của và d 
 Ta có: MM 2 t t;1 t t; 1 2t 2t 
 M (P)
  MM / /(P)   
 MM  nP t 2 MM (4 t; 1 t;3 2t)
  
  3 | 6t 9 | t 4
 Ta có: cos30 cos MM ,ud 
 2 36t 2 108t 156 t 1
 x t 
 x 5 
 Vậy, có 2 đường thằng thoả mãn là 1 : ; 2 : y 1
 y 4 t 
 z 10 t
 1
 Khi đó, cos , 
 1 2 2  Dạng ②: Góc giữa hai mặt phẳng
 ❶-Phương pháp:
  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 
 P : ax by cz d 0 và mặt phẳng 
   
 ' ' '
 Q : a x b y c z d ' 0 .nP ;nQ lần lượt là các vectơ pháp 
 tuyến của mặt phẳng P và Q . 
  Góc giữa hai mặt phẳng P và Q được xác định bởi 
   
   nP .nQ
 cos P ; Q cos nP ;nQ   
 nP . nQ
   a.a ' b.b' c.c '
 ❷- Sử dụng Casio: cos P ; Q cos nP ;nQ 
 a2 b2 c2 . a '2 b'2 c '2
Câu 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm H(2;1;2), H là hình chiếu vuông góc của 
gốc toạ độ O lên mặt phẳng (P), số đo góc của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q): x+ y- 11= 0.
 Ⓐ. 600 . Ⓑ. 300 . Ⓒ. 450 . Ⓓ. 900 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
  Chọn C  Casio
 Vì H là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O lên mặt phẳng 
  
 ( P) nên OH = (2;1;2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). 
  
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n(Q) = (1;1;0).
 Gọi góc giữa (P) và (Q) là góc . Ta có
   
 n(P).n(Q) 2.1+ 1.1+ 2.0 3 2
 c os =   = = =
 2 2 2 2 2 2 3 2 2
 n(P) . n(Q) 2 + 1 + 2 . 1 + (- 1) + 0
 2
 Vì cos = Þ = 450
 2
Ⓑ. Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P có phương trình là x z 3 0 . Tính 
 góc giữa P và mặt phẳng Oxy .
 Ⓐ. 300 . Ⓑ. 600 . Ⓒ. 450 . Ⓓ. 900 .
Câu 2: Trong không gian Oxyz , biết hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) là H (2;- 1;- 2). Số đo góc 
 giữa mặt phẳng (P) với mặt phẳng (Q): x- y - 5 = 0 là
 Ⓐ. 450 . Ⓑ. 600 . Ⓒ. 300 . Ⓓ. 900 .  Dạng ③: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
 -Phương pháp: 
 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n A; B;C và đường thẳng
 d có vectơ chỉ phương a a1;a2 ;a3 .
 ①. Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng , 00 900 , ta có:
 n.a
 sin cos n;a 
 n . a
   
 ad .nP
 ②. Sử dụng Casio: sin ·d,   
 ad . nP
Ⓐ. Bài tập minh họa:
 x 1 t
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : y 2 2t và mặt phẳng P :
 z 3 t
 x y 3 0 . Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P .
 Ⓐ. 60. Ⓑ. 30. Ⓒ. 120. Ⓓ. 45.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A   Casio
  Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud 1;2;1 .
  
  Một vectơ chỉ phương của mặt phẳng P là nP 1; 1;0 .
   
 ud .nP 1.1 2. 1 1.0
  Ta có sin · P ,d   
 2 2 2 2 2 2
 ud . nP 1 2 1 . 1 1 0
 3
 .
 2
 Do đó · P ,d 60 .
 x 5 y 2 z 2
Câu 2: Gọi là góc giữa đường thẳng d : và mặt phẳng (P): 3x 4y 5z 0 Khi 
 2 1 1
 đó:
 Ⓐ. 90 . Ⓑ. 45. Ⓒ. 60. Ⓓ. 30 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn C  Casio
  Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: u 2;1;1 .
 Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là: n 3;4;5 . 
 u.n 2.3 1.4 1.5 3
 Khi đó: sin 
 u . n 22 12 12 . 32 42 52 2
 Vậy 60.
Ⓑ. Bài tập rèn luyện:
 x 3 y 2 z
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 
 2 1 1
 và mặt phẳng :3x 4y 5z 8 0 .
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo là
 Ⓐ. 45. Ⓑ. 90. Ⓒ. 30. Ⓓ. 60.
Câu 2: Trong không gian Oxyz , gọi d là đường thẳng đi qua điểm A 1; 1;2 , song song với mặt phẳng 
 x 1 y 1 z
 P : 2x y z 3 0 , đồng thời tạo với đường thẳng : một góc lớn nhất. 
 1 2 2
 Phương trình đường thẳng d là
 x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2
 Ⓐ. . Ⓑ. .
 4 5 3 4 5 3
 x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2
 Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 5 3 4 5 3
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 3x y 1 0 . Tính góc tạo bởi P với trục Ox .
 Ⓐ. 600 . Ⓑ. 300 . Ⓒ. 1200 . Ⓓ. 1500 .
 x 5 y 2 z 2
Câu 4: Gọi là góc giữa đường thẳng d : và mặt phẳng: 3x 4y 5z 0 Khi đó:
 2 1 1
 Ⓐ. 90 . Ⓑ. 45. Ⓒ. 60. Ⓓ. 30 .
 x 1 t
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : y 2 2t và mặt phẳng P :
 z 3 t
 x y 3 0 . Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P .
 Ⓐ. 60. Ⓑ. 30. Ⓒ. 120. Ⓓ. 45.
Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 3x y 1 0 . Tính góc tạo bởi P với trục Ox .
 Ⓐ. 600 . Ⓑ. 300 . Ⓒ. 1200 . Ⓓ. 1500 .
 x 3 y 2 z
Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 
 2 1 1
 và mặt phẳng :3x 4y 5z 8 0 .Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo là
 Ⓐ. 45. Ⓑ. 90. Ⓒ. 30. Ⓓ. 60.
 x y z
Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho đương thẳng : và mặt phẳng ( ) : x y 2z 0 . Góc 
 1 2 1
 giũa đường thẳng và mặt phẳng ( ) bằng
 Ⓐ. 30 . Ⓑ. 60 . Ⓒ. 150 . Ⓓ. 120 . x 2 y 1 z 1
Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt phẳng 
 1 2 3
 ( ) : x 2y 3z 0. Goi là góc giũa đường thẳng d và mặt phẳng ( ). Khi đó, góc bằng
 Ⓐ. 0 . Ⓑ. 45 . Ⓒ. 90 . Ⓓ. 60 .
Câu 10: Trong không gian vói hệ trục tọa độ Oxyz, gọi là góc hợp bởi đường thẳng
 x 3 y 4 z 3
 d : và mặt phẳng (P) : 2x y z 1 0. Khi đó, giá trị cos bằng bao
 1 2 1
 nhiêu?
 1 3 3 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 2 2 2
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.D 2.D 3.A 4.C 5.A 6.A 7.D 8.A 9.C 10.C