Chuyên đề Hình học Lớp 12 - Chương 2: Mặt nón, trụ, cầu - Bài 4: Bài toán nội tiếp, ngoại tiếp

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ②: MẶT NÓN, TRỤ, CẦU
 Bài 4: BÀI TOÁN NỘI TIẾP-NGOẠI TIẾP 
  Dạng ①: Nón nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp, trụ, cầu. .
 . Phương pháp: 
 Nắm vững các khái niệm về nón ngoại , nội tiếp chóp, trụ, cầu để xác định đúng các yếu tố đặc trưng 
 của nón.
 Ⓐ. Bài tập minh họa:
Câu 1: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a , có diện tích xung quanh là
 a2 3 a2 2 a2 a2 3
 Ⓐ. S = . Ⓑ. S = . Ⓒ. S = . Ⓓ. S = .
 xq 3 xq 3 xq 3 xq 6
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A  
 Giả sử hình nón ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a như hình 
 vẽ trên. Ta có:
 2 a 3 a 3
 Bán kính đáy R = OC = . = .
 3 2 3
  Độ dài đường sinh l = AC = a .
 Vậy diện tích xung quanh hình nón 
 a 3 a2 3
  S = Rl = . a = .
 xq 3 3
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng 3 . Tính diện tích xung quanh Sxq hình nón có 
 đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD và đỉnh là tâm hình vuông A B C D . 
 9 5 9 5 
 Ⓐ. S . Ⓑ. S . Ⓒ. S 8 3 . Ⓓ. S 8 5 .
 xq 4 xq 2 xq xq
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A 
 A' D'
 O'
 B'
 C'
 A
 D
 O
 B C
 3
 Hình nón có bán kính là r ; chiều cao h 3. 
 2
 Suy ra đường sinh là 
 2
 2 2 2 3 3 5
 l h r 3 
 2 2
 3 3 5 9 5 
 Diện tích xung quanh hình nón là S rl . . .
 xq 2 2 4
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy có độ dài a, cạnh bên có độ dài 2a. Gọi N 
 là hình nón có đỉnh là S và đường tròn đáy là đường tròn đi qua các điểm A, B,C, D. Khi đó 
 diện tích xung quanh của hình nón là
 a2 a2 2 a2 2
 Ⓐ. a2 2. Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. . 
 2 6 4
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn A 
 a 2
 Hình nón N có bán kính đáy là r OA , đường sinh 
 2
 l 2a. 
 2
 Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq rl a 2. Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a . Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông 
 ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A B C D . Kết quả diện tích toàn phần Stp của hình nón 
 a2
đó bằng b c với b và c là hai số nguyên dương và b 1. Tính bc .
 4 
Ⓐ.bc 7. Ⓑ. bc 15. Ⓒ.bc 8. Ⓓ. bc 5.
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn D  
Hình nón có đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A B C D có 
 a
cạnh là a nên đáy của hình nón là hình tròn có bán kính r .
 2
Hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD nên chiều cao của 
hình nón bằng độ dài cạnh của hình vuông. Suy ra: h a .
Khi đó: độ dài đường sinh của hình nón là: 
 2 2
 2 2 2 a 5a a 5
 l h r a . 
 2 4 2
Diện tích toàn phần của hình nón là: 
 a a a 5 a2
 S r(r l) 1 5
 tp .
 2 2 2 4
Suy ra: b 5;c 1 bc 5 .
Ⓑ. Bài tập rèn luyện
Câu 1: Hình nón ngoại tiếp hình chóp tam giác đều cạnh a có bán kính đáy bằng
 a 3 a 2 a 3 a 2
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 2 3 3
Câu 2: Trong các hình chóp sau đây, hình chóp nào luôn có mặt nón nội tiếp
 Ⓐ.hình chóp tam giác. Ⓑ. hình chóp tứ giác.
 Ⓒ.hình chóp ngũ giác. Ⓓ. Hình chóp lục giác.
Câu 3: Trong tất cả các hình nón nội tiếp mặt cầu đường kính R=10, hình chóp có bán kính đáy lớn 
 nhất có đường cao bằng
 Ⓐ.3. Ⓑ. 5. Ⓒ.4. Ⓓ. 6.
Câu 4: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh đáy bằng 2a, góc ở đỉnh 900 có bán kính bằng a 3a
 Ⓐ. 2a . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. a.
 2 2
Câu 5: Một hình nón có độ dài đường sinh là 5, bán kính đáy là 4. Hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình 
 nón có thể tích là
 Ⓐ.16. Ⓑ. 20. Ⓒ.64. Ⓓ. 32.
 R
Câu 6: Cho hình nón có bán kính đáy bằng R, góc ở đỉnh là 600 . Một hình trụ có bán kính đáy bằng 
 2
 nội tiếp trong hình nón. Thể tích của khối trụ là:
 R3 3 R3 3 R3 3 R3
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 6 8 4 8
Câu 7: Cho hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có chiều cao bằng 4cm, đáy là hình vuông cạnh 
 3 2cm . Diện tích xung quanh của hình nón là
 Ⓐ.12 cm2 . Ⓑ. 15 cm2 . Ⓒ. 20 cm2 . Ⓓ. 30 cm2 .
Câu 8: Cho hình nón ngoại tiếp hình chóp lục giác đều có cạnh bên bằng 9cm, cạnh đáy bằng 8cm. Thể 
 tích của khối nón là:
 64 17 72 
 Ⓐ.72 cm3 . Ⓑ. 64 17 cm3 . Ⓒ. cm3 . Ⓓ. cm3 .
 3 3
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a, thể tích của hình 
 nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp ABCD bằng
 a3 a3 a3 a3
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 2 6 9
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Diện tích xung 
 quanh của hình nón đỉnh S với đáy là hình tròn nội tiếp ABCD là
 a2 17 a2 15 a2 17 a2 17
 Ⓐ. Ⓑ. Ⓒ. Ⓓ. 
 4 4 6 8
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.B 7.B 8.C 9.C 10.B
  Dạng ②: Nón nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp, trụ, cầu. .
 . Lưu ý
 ①. Hình trụ ngoại tiếp hình lập phương cạnh a có bán 
 a 2
 kính đáy là .
 2
 ②. Hình trụ nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán 
 a
 kính đáy là .
 2
Câu 1: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a . 
 Thể tích của khối trụ bằng:
 a3 a3 a3
 Ⓐ. a3 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 3 4
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn D  Công thức
 V r 2h
 Ta có: h a
 a
 Đáy là hình tròn nội tiếp hình lập phương cạnh a nên có r 
 2
 2 3
 2 a a
 Khi đó V r h a 
 2 4
Câu 2: Cho một hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a . Biết mặt phẳng AB C hợp 
 với mặt đáy A B C một góc bằng 45o . Cho một hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ 
 ABC.A B C (hình trụ có các đường tròn đáy ngoại tiếp các mặt của hình lăng trụ). Tính 
 diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ.
 a3 3 a2 a3 3
 Ⓐ. S a2 ,V . Ⓑ. S ,V .
 6 2 6
 a3 3 a2 a3 3
 Ⓒ. S a2 ,V . Ⓓ. S ,V .
 18 2 18
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
  Công thức
 V r 2h Gọi I là trung điểm B C . Vì ABC.A B C là lăng trụ đều nên
 AI  B'C' và A'I  B'C' . Do đó góc giữa AB C và A B C là 
 a 3
 ·AIA' 45o . Suy ra AA' I vuông cân tại A nên AA' A' I .
 2
 2 a 3
 Suy ra: r A' I 
 3 3
 a 3 a 3
 Do đó diện tích xung quanh: S 2 rh 2 . a2
 3 2
 2
 3
 2 a 3 a 3 a 3
Thể tích khối trụ là: V r h . 
 3 2 6
Câu 3: Cho một hình nón đỉnh S , mặt đáy là hình tròn tâm O , bán kính R 6 cm và có thiết 
 diện qua trục là tam giác đều. Cho một hình trụ có hai đường tròn đáy là O;r và 
 I;r , có thiết diện qua trục là hình vuông, biết đường tròn O;r nằm trên mặt đáy 
 của hình nón, đường tròn I;r nằm trên mặt xung quanh của hình nón ( I thuộc đoạn 
 SO ). Tính thể tích khối trụ.
 Ⓐ. 432 26 3 45 cm3 . Ⓑ. 1296 26 3 45 cm3 .
 Ⓒ.1296 7 4 3 cm3 . Ⓓ. 432 7 4 3 cm3 .
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Chọn B  Công thức
 V r 2h
Hình nón có bán kính đường tròn đáy R 6 cm và có thiết diện 
qua trục là tam giác đều nên có
SM 2R 12cm
 SM 3
SO 6 3cm.
 2 Đặt SI x, vì BI / /AO nên ta có: 
 BI SI r x x
 r .
OM SO 6 6 3 3
Chiều cao của hình trụ là: h OI SO SI 6 3 x
Do đó, thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông khi và chỉ 
 2x 18
khi: h 2r 6 3 x x 18 2 3 
 3 2 3
Khi đó:
 h
h 6 3 x 12 2 3 3 , r 6 2 3 3
 2 
 2
V r 2h . 6 2 3 3 .12 2 3 3 1296 26 3 45 cm3
Câu 4: Cho hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm O , biết thiết diện qua trục là hình vuông và diện tích 
 mặt cầu bằng 72 cm2 . Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
 Ⓐ.12 cm2 . Ⓑ. 16 cm2 . Ⓒ.18 cm2 . Ⓓ. 36 cm2 
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
 Thuộc công thức
 Chọn Ⓓ.
 Sxq 2 rh
 Ta có diện tích của mặt cầu là: 
 2 2
 Smc 4 R 72 cm R 3 2 cm 
 Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên h 2r .
 Nên: R r 2 3 2 r 3 cm 
 Do đó diện tích xung quanh hình trụ là: S 2 rh 36 cm2 
Ⓑ. Bài tập rèn luyện Câu 1: Khối trụ ngoại tiếp khối lập phương cạnh a có thể tích là
 a3 a3 a3 
 Ⓐ. a3 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 3 2
Câu 2: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp trong hai hình vuông ABCD và A¢B¢C¢D¢ của 
 hình lập phương cạnh bằng 2a. Thể tích của khối trụ đó là
 2 4
 Ⓐ. a3 . Ⓑ. 4a3 . Ⓒ. a3 . Ⓓ. 2a3 .
 3 3
Câu 3: Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn nội tiếp hai đáy của hình lập phương cạnh a . Diện tích 
 xung quanh của hình trụ đó bằng
 a2
 Ⓐ. . Ⓑ. a2 . Ⓒ. 2 a2 . Ⓓ. a3 .
 2
Câu 4: Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2R . Tỷ số thể tích hình cầu nội tiếp và ngoại 
 tiếp hình trụ là
 2 2 2 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 2 8 2
Câu 5: Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Khối trụ T có hai 
 đáy là hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác đáy ABC và A B C , biết tỷ số giữa bán kính đáy 
 1
 của hình trụ và chiều cao của hình trụ là Tính theo a thể tích khối trụ T .
 3 .
 8 a3 3 8 a3 3 8 a3 3
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. a3 3 . Ⓓ. .
 3 9 27
Câu 6: Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a . Xét hình trụ có một đáy là đường tròn nội tiếp tam giác 
 ABC và chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng
 a2 3 a2 2 2 a2 2 2 a2 3
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 3 3 3
Câu 7: Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng 
 hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính bóng bàn. Gọi S1 là tổng 
 S1
 diện tích của ba quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số bằng
 S2
 3 5
 Ⓐ.1. Ⓑ. 2. Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 2
Câu 8: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng r . Gọi O , O là tâm của hai đáy với OO 2r . Một mặt cầu 
 S tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O . Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào 
 sai?
 Ⓐ.Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
 2
 Ⓑ. Diện tích mặt cầu bằng diện tích toàn phần của hình trụ.
 3
 3
 Ⓒ.Thể tích khối cầu bằng thể tích khối trụ.
 4
 2
 Ⓓ. Thể tích khối cầu bằng thể tích khối trụ.
 3
Câu 9: Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao nội tiếp trong mặt cầu bán kính R . Diện tích 
 xung quanh của hình trụ bằng
 Ⓐ. 2 R2 2 . Ⓑ. R2 2 . Ⓒ. 2 R2 . Ⓓ. R 2 . Câu 10: Một hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 và cạnh bên bằng 2a nội tiếp trong một 
 hình trụ. Tính diện tích toàn phần (Kí hiệu Stp ) của hình trụ.
 2 2
 Ⓐ. Stp 6 a . Ⓑ. Stp 3 a .
 a2 1 2 2 
 Ⓒ. S a2 1 2 2 . Ⓓ. S .
 tp tp 2
Câu 11: Cho lăng trụ lục giác đều ABCDEF có cạnh đáy bằng a . Các mặt bên là hình chữ nhật có diện 
 tích bằng 2a2 . Thể tích của hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ là
 Ⓐ. 2 a3 . Ⓑ. 4 a3 . Ⓒ. 6 a3 . Ⓓ. 8 a3 .
Câu 12: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là O , O . Một khối nón có đỉnh là O và đáy là 
 3
 hình tròn O có thể tích bằng a . Tính thể tích V của khối trụ đã cho.
 Ⓐ.V 2a 3 . Ⓑ. V 3a3 . Ⓒ.V 4a 3 . Ⓓ. V 6a 3 .
Câu 13: Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a . Xét hình trụ có đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC
 và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
 a2 3 a2 2 a2 2 a2 3
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 3 6 3
Câu 14: Cho một hình nón có góc ở đỉnh bằng 90o và bán kính đáy bằng 4. Khối trụ H có một đáy 
 thuộc đáy của hình nón và đường tròn đáy của mặt đáy còn lại thuộc mặt xung quanh của hình 
 nón. Biết chiều cao của H bằng 1. Tính thể tích của H .
 Ⓐ.V H 18 . Ⓑ. V H 6 . Ⓒ.V H 9 . Ⓓ. V H 3 .
Câu 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có cạnh bên AA 2a . Tam giác ABC vuông tại A có 
 BC 2a 3 . Thể tích của hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ này là
 Ⓐ..6 a3 Ⓑ. . 4 a3 Ⓒ.. 2 aⒹ.3 . 8 a3
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.D 2.D 3 4.A 5.A 6.C 7.A 8.C 9.C 10.A
 11.B 12.B 13.B 14.C 15.A