Chuyên đề Hình học Lớp 12 - Chương 2: Mặt nón, trụ, cầu - Bài 3: Mặt trụ tròn xoay

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ②: MẶT NÓN, TRỤ, CẦU
 Bài 3: MẶT TRỤ TRÒN XOAY 
  Dạng ①: Công thức lí thuyết cơ bản.
 . Phương pháp: 
 ①. Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu S 4 R2 .
 4
 ②. Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu V R3 .
 3
Ⓐ. Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho hình cầu có bán kính R . Khi đó thể tích khối cầu là
 4 2 1
 Ⓐ. R3 . Ⓑ. R3 . Ⓒ. R3 . Ⓓ. 4 R3 .
 3 3 3
 Lời giải
 Chọn A
 4
 Từ công thức tính thể tích khối cầu V R3
 3
Câu 2: Diện tích mặt cầu có bán kính R là 
 2 3 4 2 4 3
 Ⓐ. 4 R . Ⓑ. 4 R . Ⓒ. R . R .
 3 Ⓓ. 3
 Lời giải
 Chọn A
 Ta có S 4 R2 .
Câu 3: Mặt cầu có bán kính a có diện tích bằng
 4 4
 Ⓐ. a2 . Ⓑ. a2 . Ⓒ. 4 a2 . Ⓓ. a3 .
 3 3
 Lời giải
 Chọn C
 2 2
 Diện tích mặt cầu là: S 4 R 4 a .
 Câu 4: Khối cầu thể tích bằng 36 . Bán kính của khối cầu là
 Ⓐ. R 3. Ⓑ. R 3 9 . Ⓒ. R 9. Ⓓ. R 3 3 .
 Lời giải
 Chọn A
 4
 Thể tích khối cầu V R3 36 R3 27 R 3 .
 3
Ⓑ - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Khối cầu bán kính R 2a có thể tích là
 32 a3 8 a3
 Ⓐ. . Ⓑ. 6 a3 . Ⓒ. 16 a2 . Ⓓ. .
 3 3
Câu 2: Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là
 Ⓐ.Vô số. Ⓑ. 2 . Ⓒ. 4 . Ⓓ. 1 .
 256 
Câu 3: Tính bán kính R của khối cầu có thể tích là V cm3 .
 3
 Ⓐ. R 3 cm . Ⓑ. R 6 cm . Ⓒ. R 4 cm . Ⓓ. R 9 cm .
 32 a3
Câu 4: Bán kính R của khối cầu có thể tích V là
 3
 Ⓐ. R 2a . Ⓑ. R 2 2a . Ⓒ. 2a . Ⓓ. 3 7a .
Câu 5: Một mặt cầu có diện tích 16π thì bán kính mặt cầu bằng
 Ⓐ. 4 . Ⓑ. 4 2 . Ⓒ. 2 2 . Ⓓ. 2 .
Câu 6: Cho mặt cầu có diện tích là 64 cm2 . Bán kính mặt cầu là
 Ⓐ. R 6 cm . Ⓑ. R 3 2 cm . Ⓒ. R 4 cm . Ⓓ. R 3 cm .
Câu 7: Cho mặt cầu có diện tích là 72 cm2 . Bán kính mặt cầu là
 Ⓐ. R 6 cm . Ⓑ. R 3 2 cm . Ⓒ. R 6 cm . Ⓓ. R 3 cm .
Câu 8: Cho mặt cầu có diện tích bằng 120 cm2 . Bán kính R của khối cầu bằng:
 Ⓐ. R 26 cm . Ⓑ. R 3 2 cm . Ⓒ. R 30 cm . Ⓓ. R 3 cm .
Câu 9: Một mặt cầu có diện tích 36π thì bán kính mặt cầu bằng
 Ⓐ. 3 . Ⓑ. 3 2 . Ⓒ. 6 . Ⓓ. 4 .
 8 a2
Câu 10: Cho mặt cầu có diện tích bằng . Bán kính mặt cầu bằng
 3 a 6 a 3 a 6 a 2
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 3 2 3
 32 
Câu 11: Một khối cầu có thể tích bằng . Bán kính R của khối cầu đó là
 3
 2 2
 Ⓐ. R 2 . Ⓑ. R 32. Ⓒ. R 4 . Ⓓ. R .
 3
Câu 12: Mặt cầu S có diện tích bằng 100 cm2 thì có bán kính là
 Ⓐ.3cm . Ⓑ. 5 cm . Ⓒ. 4cm . Ⓓ. 5cm .
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , tam giác ABC vuông tại B . Biết SA 2a , AB a , 
 BC a 3 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
 Ⓐ. a . Ⓑ. 2a . Ⓒ. a 2 . Ⓓ. 2a 2 .
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA BC a . Cạnh bên SA 2a 
 và vuông góc với mặt phẳng ABC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:
 a 2 a 6
 Ⓐ.3a . Ⓑ. . Ⓒ. a 6 . Ⓓ. .
 2 2
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB a , BC a 3 . Cạnh SA
 vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a 3 .Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
 S.ABC.
 Ⓐ. R a. Ⓑ. R 3a. Ⓒ. R 4a. Ⓓ. R 2a.
Câu 16: Một mặt cầu có diện tích xung quanh là thì có bán kính bằng
 3 1
 Ⓐ. . Ⓑ. 3. Ⓒ. . Ⓓ. 1.
 2 2
Câu 17: Một khối cầu có thể tích bằng 4 . Nếu tăng bán kính của khối cầu đó gấp 3 lần thì thể tích của 
 khối cầu mới bằng bao nhiêu bằng
 Ⓐ.V 108 . Ⓑ. V 12 . Ⓒ. V 36 . Ⓓ. V 64 .
Câu 18: Một mặt cầu (S) cắt mặt phẳng kính của nó theo đường tròn có bán kính là 5. Diện tích mặt cầu 
 (S) là
 500 
 Ⓐ.100 . Ⓑ. . Ⓒ. 20 . Ⓓ. 10 .
 3
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.A 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.A 10.A
 11.A 12.D 13.C 14.D 15.D 16.C 17.A 18.A  Dạng ②: Khối cầu ngoại tiếp khối đa diện 
. Lý thuyết cần nắm: 
Ⓐ-Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả 
các đỉnh của khối đa diện, nên có
 ①. Tâm I của mặt cầu là điểm cách đều các đỉnh của khối đa diện
 ②. Bán kính của mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm đến một đỉnh bất kì của khối đa diện
 ③. Phương pháp chung xác định mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và lăng trụ
Ⓑ-Phương pháp: 
 ①. Xác định O là tâm đường tròn nội tiếp đáy
 ②. Dựng đường thẳng (d) qua O và vuông góc với đáy, đường thẳng này gọi là trục đường 
 tròn ngoại tiếp đa giác đáy
 ③. Ta sử dụng 1 trong 3 phương án sau:
 .Trong mặt phẳng chứa cạnh bên và (d), dựng đường thẳng trung trực của cạnh bên, 
 cắt (d) tại I, khi đó ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm
 .Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh bên, cắt (d) tại I, khi đó ta có I là tâm mặt cầu 
 ngoại tiếp cần tìm
 .Dựng trục đường tròn của mặt bên, cắt (d) tại I (nếu có thể), khi đó ta có I là tâm mặt 
 cầu ngoại tiếp cần tìm 
Ⓒ-Công thức nhanh: 
 . Hình chóp đều: 
 Gọi h là chiều cao của hình chóp, a là độ dài 
 cạnh bên của hình chóp. Ta có: 
 a 2
 R 
 2h
 . Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt 
 đáy: Gọi h, r là chiều cao và bán kính đường 
 tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Ta có
 2
 h 2 SC
 R r . . Đặc biệt: R .
 2 2 
 . Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy: 
 Gọi Rb,Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp 
 mặt bên và mặt đáy, k là độ dài giao tuyến mặt 
 bên đó và đáy.Ta có:
 2
 2 2 k 
 R Rb Rd .
 2 
 . Tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc, hộp 
 chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a,b,c: 
 a2 b2 c2
 Ta có R 
 2
 Ⓐ. Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với mặt phẳng ABC 
 và SC 2a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 
 a 2
 Ⓐ. a . Ⓑ. 2a . Ⓒ. a 2 . Ⓓ. .
 2
 Lời giải
 Chọn A
 SC
 Bán kính mặt cầu là R a .
 2
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tại, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD 
 và SC 2a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 
 a 2
 Ⓐ. a . Ⓑ. 2a . Ⓒ. a 2 . Ⓓ. .
 2
 Lời giải
 Chọn A
 SC
  Bán kính mặt cầu là R a .
 2
Câu 3: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC , biết các cạnh đáy có độ dài 
 bằng a , cạnh bên SA a 3 .
 2a 3 3a 3 a 3 3a 6
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 2 2 8 8
 Lời giải:
 Chọn Ⓓ. 2 a 3 a 3 2a 6
  SA a 3 và AO , SO SA2 AO2 ; 
 3 2 3 3
 2
 SA2 a 3 3a 6
 Áp dụng công thức: R . 
 2SO 2a 6 8
 2.
 3
Câu 4: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằnga , cạnh bên bằng 2a
 .
 2a 14 2a 7 2a 7 2a 2
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 7 2 3 2 7
 Lời giải:
 Chọn A.
 2
 2 2 2 a 2 a 14
  SA 2a ; SO SD OD 2a .
 2 2
 2
 SA2 2a 2a 14
 Áp dụng công thức: R .
 2SO a 14 7
 2.
 2
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông tại A , biết 
 AB 6a , AC 8a , SA 10a. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
 Ⓐ.5a 2 . Ⓑ. 5a 5 . Ⓒ. 10a 2 . Ⓓ. 2a 5 .
 Lời giải
 Chọn A BC AB2 AC 2
 Ta có: tam giác ABC vuông tại A nên R 5a .
 đ 2 2
 Đường cao h SA 10a.
 2
 2 10a 
 Áp dụng công thức ta có: R 5a 5a 2 .
 2 
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA 2a . 
 Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
 a 39 a 19 a 7 2a 3
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 3 4 2 3
 Lời giải
 Chọn D
 a 3
 Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên R .
 đ 3
 Đường cao h SA 2a .
 2 2
 a 3 2a 2a 3
 Áp dụng công thức ta có: . 
 R 
 3 2 3
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác cân tại A và AB a
 B· AC 120 , SA 2a . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
 a 2 a 3
 Ⓐ. a . Ⓑ. a 2 . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 3
 Lời giải:
 Chọn B
 BC
 Ta có: BC a 3 R a và h SA 2a .
 đ 2sin120
 2
 2 SA 
 Áp dụng công thức ta có: R Rđ a 2 .
 2 Câu 8: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Biết rằng OA a, OB b, OC c . Tính 
 bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC .
 a2 b2 c2 a2 b2 c2
 Ⓐ. 2 a2 b2 c2 . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. a2 b2 c2 .
 3 2
 Lời giải:
 Chọn C
 Ta có: AO  OBC nên áp dụng công thức ta có:
 OA2 BC 2 OA2 OA2 OB2 OC 2 1 a2 b2 c2
  R R 2 OA2 OB2 OC 2 .
 đ 4 4 4 4 4 2 2
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A . Mặt bên SAB  ABC và 
 SAB đều cạnh bằng 1. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
 3 21 5 21 15
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 2 6 6
 Lời giải
 Chọn C
 3 2
   AB 1, R , R . 
 b 3 đ 2
 2 2
 2 2 3 12 21
 Áp dụng công thức: R R 2 R 2 .
 đ b 
 4 2 3 4 6 Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều 
 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp 
 hình chóp đã cho.
 5 5 15 4 3 5 15 
 Ⓐ.V . Ⓑ. V . Ⓒ. V . Ⓓ. V .
 3 18 27 54
 Lời giải
 Chọn D
 AB 3 3 SA 3 3
  R CG ; R SK ;  AB 1.
 đ 3 3 b 3 3
 2 2
 2 3 3 1 15
 Áp dụng công thức: R R 2 R 2 .
 đ b 
 4 3 3 4 6
 3
 4 3 4 15 5 15 
 Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: V R . .
 3 3 6 54
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt 
 phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
 5 3 15 2 21 
 Ⓐ.V . Ⓑ. V . Ⓒ. V . Ⓓ. V .
 13 11 3 6
 Lời giải
 Chọn D
 AC a 2
 Ta có: Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy R .
 đ 2 2 a 3
 Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên R SG .
 b 3
 Cạnh chung của mặt bên SAB và mặt đáy là  AB a .
 2 2
 a 2 a 3 a 2 a 21
 Vậy bán kính mặt cầu là .
 R 
 2 3 2 6
Ⓑ - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60. Gọi 
 S là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu S 
 bằng
 32pa3 32pa3 64pa3 72pa3
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 81 77 77 39
Câu 2: Cho mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thức là a,b,c có bán kính là
 1
 Ⓐ. R a2 b2 c2 . Ⓑ. R a2 b2 c2 .
 3
 1
 Ⓒ. R 2 a2 b2 c2 . Ⓓ. R a2 b2 c2 .
 2
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Tâm 
 mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là điểm I với
 Ⓐ. I là trung điểm của đoạn thẳng SD . Ⓑ. I là trung điểm của đoạn thẳng AC .
 Ⓒ. I là trung điểm của đoạn thẳng SC . Ⓓ. I là trung điểm của đoạn thẳng SB .
Câu 4: Cho khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a 3 . Tính thể tích V của khối cầu 
 ngoại tiếp hình chóp.
 a3 6 3 a3 6
 Ⓐ.V 3 a3 6 . Ⓑ. V a3 6 . Ⓒ. V . Ⓓ. V .
 8 8
Câu 5: Cho khối lập phương có cạnh bằng a . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối lập phương 
 đó.
 a3 3 a3 a3 2 9 a3
 Ⓐ.V . Ⓑ. V . Ⓒ. V . Ⓓ. V .
 2 6 3 2
Câu 6: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng 1.
 Ⓐ. 2 . Ⓑ. . Ⓒ. 3 . Ⓓ. 4 .
Câu 7: Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng 8
 Ⓐ. S 192 . Ⓑ. S 48 . Ⓒ. S 256 . Ⓓ. S 64 .
Câu 8: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a .
 7 a2 7 a2 7 a2 3 a2
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 5 3 6 7
Câu 9: Tập hợp tâm của mặt cầu đi qua 3 điểm không thẳng hàng là
 Ⓐ.một mặt phẳng. Ⓑ. một mặt cầu. Ⓒ. một mặt trụ. Ⓓ. một đường thẳng.
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 
 60(tham khảo hình vẽ). Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .