Chuyên đề Hình học Lớp 12 - Chương 2 - Đề 24: Ứng dụng hình học giải tích Oxyz để giải quyết một số bài toán (Có lời giải)

 CHUYÊN ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN
 ĐỀ 24
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI.......................................................................................................................................................1
Dạng 1. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm GÓC..........................................................1
Dạng 2. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm THỂ TÍCH ...............................................3
Dạng 3. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm KHOẢNG CÁCH ....................................3
Dạng 4. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU ...........................5
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO.............................................................................................................................5
Dạng 1. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm GÓC..........................................................5
Dạng 2. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm THỂ TÍCH .............................................17
Dạng 3. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm KHOẢNG CÁCH ..................................22
Dạng 4. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU .........................27
 PHẦN A. CÂU HỎI
 Dạng 1. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm GÓC
Câu 1. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O . Gọi I là 
tâm của hình vuông A B C D và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó 
sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D và MAB bằng
 7 85 17 13 6 85 6 13
 A. B. C. D. 
 85 65 85 65
Câu 2. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O. Gọi I là 
 1
tâm của hình vuông A B C D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO MI (tham khảo hình vẽ). 
 2
Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC D ) và (MAB) bằng
 6 13 7 85 6 85 17 13
 A. . B. . C. . D. .
 65 85 85 65
Câu 3. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật 
 ABCD.A B C D , có AB a, AD a 2, góc giữa A C và mặt phẳng ABCD bằng 30. Gọi H là hình 
chiếu vuông góc của A trên A B và K là hình chiếu vuông góc của A trên A D. Tính góc giữa hai mặt phẳng
 AHK và ABB A .
 A. 60. B. 45. C. 90. D. 30.
 1 Câu 4. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy 
 ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và SAB vuông góc với ABCD . Tính cos với 
là góc tạp bởi SAC và SCD .
 3 6 5 2
 A. . B. . C. . D. .
 7 7 7 7
Câu 5. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy 
 ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC , biết 
 a 6
 MN . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD bằng
 2
 2 3 5
 A. . B. . C. . D. 3 .
 5 3 5
Câu 6. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D 'có 
cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng A' B 'CD và ACC ' A' bằng
 A. 60. B. 30. C. 45. D. 75.
Câu 7. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp O.ABC có ba cạnh OA , OB , 
  
OC đôi một vuông góc và OA OB OC a . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai vectơ BC 
  
và OM bằng
 A. 135 . B. 150 . C. 120 . D. 60 .
Câu 8. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có 
độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng 
 SBD và ABCD . Nếu tan 2 thì góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng
 A. 30 . B. 60 . C. 45. D. 90 .
Câu 9. (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB a , 
 SA a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
 3 5 5 15
 A. arccos . B. arccos . C. arccos . D. arccos .
 5 5 3 5
Câu 10. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ ABC.A B C có A .ABC là tứ diện đều 
cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng ABC và 
 CMN .
 2 3 2 2 2 4 2
 A. . B. . C. . D. .
 5 4 5 13
Câu 11. (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Xét tứ diện OABC có OA , 
OB , OC đôi một vuông góc. Gọi ,  ,  lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA , OB , OC với mặt 
phẳng ABC (hình vẽ).
 A
 O C
 B
Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3 cot2 . 3 cot2  . 3 cot2  là
 2 A. 48 . B. 125. C. Số khác. D. 48 3 .
 Dạng 2. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm THỂ TÍCH
Câu 12. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S có tâm I 1;2;1 
và đi qua điểm A 1;0; 1 . Xét các điểm B,C, D thuộc S sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với 
nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
 32 64
 A. 64 B. C. D. 32
 3 3
Câu 13. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1;0;2 
và đi qua điểm A 0;1;1 . Xét các điểm B , C , D thuộc S sao cho AB , AC , AD đôi một vuông góc với 
nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
 8 4
 A. B. 4 C. D. 8
 3 3
Câu 14. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho 
hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(a;0;0) , D(0;a;0) , A (0;0;b) 
với a,b 0 và a b 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Thể tích của khối tứ diện BDA M có giá trị 
lớn nhất bằng
 64 32 8 4
 A. . B. . C. . D. .
 27 27 27 27
Câu 15. (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương 
 ABCD.A B C D cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và A B . Mặt phẳng MND ' chia khối 
lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm C gọi là H . Tính thể tích khối H .
 55a3 55a3 181a3 55a3
 A. . B. . C. . D. .
 72 144 486 48
Câu 16. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, 
cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có A trùng với gốc tọa độ O các đỉnh 
 B m;0;0 , D 0;m;0 , A 0;0;n với m,n 0 và m n 4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Khi đó thể 
tích tứ diện BDA M đạt giá trị lớn nhất bằng
 9 64 75 245
 A. . B. . C. . D. .
 4 27 32 108
 Dạng 3. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm KHOẢNG CÁCH
Câu 17. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình 
chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A 0;0;0 , D 2;0;0 , B 0;4;0 , S 0;0;4 . Gọi M là 
trung điểm của SB . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng CDM .
 A. d B, CDM 2 . B. d B, CDM 2 2 .
 1
 C. d B, CDM . D. d B, CDM 2 .
 2
Câu 18. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C 
có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a , AA h a,h 0 . Tính khoảng cách giữa hai đường 
thẳng chéo nhau AB và BC theo a , h .
 3 ah ah ah ah
 A. . B. . C. . D. .
 a2 5h2 5a2 h2 2a2 h2 a2 h2
Câu 19. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 
 2a 3 , mặt bên SAB là tam giác cân với ·ASB 1200 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là 
trung điểm của SC và N là trung điểm của MC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , BN .
 2 327a 237a 2 237a 5 237a
 A. . B. . C. . D. .
 79 79 79 316
Câu 20. (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S.ABC có đáy 
là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung 
điểm của CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 450 (hình vẽ bên). Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Khoảng 
cách giữa hai đường thẳng SA và CG bằng
 a 21 a 14 a 77 a 21
 A. B. C. D. 
 14 8 22 7
Câu 21. (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương 
 ABCD.A B C D cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và 
 A D .
 4a a 2a 3a
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 3 4
 Dạng 4. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU
Câu 22. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là 
hình vuông cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung 
điểm của BC và CD . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN bằng
 4 a 93 a 29 5a 3 a 37
 A. . B. . C. . D. .
 12 8 12 6
Câu 23. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 5;0;0 
và B 3;4;0 . Với C là điểm nằm trên trục Oz , gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Khi C di động trên 
trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng
 5 3 5
 A. . B. . C. . D. 3 .
 4 2 2
Câu 24. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A , B , C (không trùng 
O ) lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác 
 3
 ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng . Biết rằng mặt phẳng ABC luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố 
 2
định, bán kính của mặt cầu đó bằng
 A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.
Câu 25. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , 
 x 1 y 1 z 1 x 3 y 1 z 2 x 4 y 4 z 1
cho 3 đường thẳng d : , d : , d : . Mặt cầu 
 1 2 1 2 2 1 2 2 3 2 2 1
bán kính nhỏ nhất tâm I a;b;c , tiếp xúc với 3 đường thẳng d1 , d2 , d3 . Tính S a 2b 3c .
 A. S 10 . B. S 11. C. S 12 . D. S 13.
 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
 Dạng 1. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm GÓC
Câu 1. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O . Gọi I là 
 tâm của hình vuông A B C D và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO 2MI (tham khảo hình 
 vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D và MAB bằng
 7 85 17 13 6 85 6 13
 A. B. C. D. 
 85 65 85 65
 Lời giải
 Chọn C
 5 Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau :
 1 1 1 
 M ; ; ,C 0;1;0 , D 1;1;0 và A 1;0;1 , B 0;0;1 .
 2 2 6 
 · 5.1 3.3
 Khi đó n MC D 0;1;3 ;n MAB 0;5;3 nên cos MAB , MC D 
 52 32 . 12 32
 2
 7 85 7 85 6 85
 . Suy ra sin ·MAB , MC D .
 1 
 85 85 85
Câu 2. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có tâm O. Gọi I 
 1
 là tâm của hình vuông A B C D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO MI (tham 
 2
 khảo hình vẽ). Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC D ) và (MAB) bằng
 6 13 7 85 6 85 17 13
 A. . B. . C. . D. .
 65 85 85 65
 Lời giải
 6 Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.
 Chọn hệ trục tọa độ sao cho A (0;0;0), B (1;0;0), D (0;1;0) và A(0;0;1) (như hình vẽ).
 1 1 1 
 Khi đó ta có: M ; ; .
 2 2 3 
   1 1 2   2 1 
 Suy ra: AB (1;0;0), MA ; ; AB, MA 0; ; n1 (0; 4;3) là VTPT của 
 2 2 3 3 2 
 mặt phẳng (MAB).
   1 1 1   1 1 
 D C (1;0;0), MD ; ; D C , MD 0; ; n2 (0;2; 3) là VTPT của mặt 
 2 2 3 3 2 
 phẳng (MC D ) .
 cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC D ) bằng:
 n .n 0.0 4.2 3.( 3) 17 13
 cos(n ,n ) 1 2 .
 1 2 2 2 2 2 2 2
 n1 . n2 0 ( 4) 3 . 0 2 ( 3) 65
Câu 3. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật 
 ABCD.A B C D , có AB a, AD a 2, góc giữa A C và mặt phẳng ABCD bằng 30. Gọi H là 
 hình chiếu vuông góc của A trên A B và K là hình chiếu vuông góc của A trên A D. Tính góc 
 giữa hai mặt phẳng AHK và ABB A .
 A. 60. B. 45.C. 90.D. 30.
 Lời giải
 7 Do ABCD.A B C D là hình hộp chữ nhật nên A'C' là hình chiếu vuông góc của A'C trên 
 (ABCD) (A'C,(ABCD)) (A'C, A'C ') C· A'C ' 300.
 CC '
 Ta có AC AB2 AD2 a 3;tan C· A'C ' CC ' a.
 A'C '
 Kết hợp với giả thiết ta được ABB ' A' là hình vuông và có H là tâm.
 Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên A'D'& A' A.
 1 1 1 a 6 a
 Ta có AK ; A' K A' A2 AK 2 ;
 AK 2 A' A2 AD2 3 3
 1 1 1 a 2 a
 KF ; KE A' K 2 KF 2 KE .
 KF 2 KA2 A' K 2 3 3
 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O  A' còn D , B , A theo thứ tự thuộc các tia 
 Ox, Oy, Oz. Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:
 a a a 2 a a 2 a 2
 A(0;0;a), B '(0;a;0), H (0; ; ), K( ;0; ), E( ;0;0), F(0;0; ).
 2 2 3 3 3 3
 Mặt phẳng ABB ' A' là mặt phẳng (yOz) nên có VTPT là n1 (1;0;0);
   a2 
 Ta có AK, AH n2 , n2 (2; 2; 2).
 6
 Mặt phẳng (AKH) có VTPT là n2 (2; 2; 2);
 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng AHK và ABB A .
 1 0
 Ta có cos cos(n1,n2 ) 45 .
 2
Câu 4. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy 
 ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và SAB vuông góc với ABCD . Tính cos 
 với là góc tạp bởi SAC và SCD .
 3 6 5 2
 A. . B. .C. .D. .
 7 7 7 7
 Lời giải
 8 Chú ý: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông a 1.
 Gọi O, M lần lượt là trung điểm của AB,CD . Vì SAB là tam giác đều và SAB vuông góc với 
 ABCD nên SO  ABCD .
 1 3 
 Xét hệ trục Oxyz có O 0;0;0 , M 1;0;0 , A 0; ;0 , S 0;0; . Khi đó 
 2 2 
 1 1 
 C 1; ;0 , D 1; ;0 .
 2 2 
  1 3   1 3  
 Suy ra SA 0; ; , AC 1; 1;0 , SC 1; ; ,CD 0;1;0 .
 2 2 2 2 
    3 3 1 
 Mặt phẳng SAC có véc tơ pháp tuyến n SA, AC ; ; .
 1 
 2 2 2 
    3 
 Mặt phẳng SAD có véc tơ pháp tuyến n SC,CD ;0;1 .
 1 
 2 
   
 n1.n2 5
 Vậy cos   .
 7
 n1 . n2
Câu 5. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy 
 ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và 
 a 6
 BC , biết MN . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD bằng
 2
 2 3 5
 A. . B. .C. .D. 3 .
 5 3 5
 Lời giải
 9 Gọi I hình chiếu của M lên ABCD , suy ra I là trung điểm của AO .
 3 3a 2
 Khi đó CI AC .
 4 4
 a
 Xét CNI có: CN , N· CI 45o .
 2
 Áp dụng định lý cosin ta có:
 a2 9a2 a 3a 2 2 a 10
 NI CN 2 CI 2 2CN.CI.cos 45o 2. . . .
 4 8 2 4 2 4
 3a2 5a2 a 14
 Xét MIN vuông tại I nên MI MN 2 NI 2 .
 2 8 4
 1 a 14
 Mà MI / /SO, MI SO SO .
 2 2
 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:
 2 2 2 2 2 
 Ta có: O 0;0;0 , , , , ,
 B 0; ;0 D 0; ;0 C ;0;0 N ; ;0 
 2 2 2 4 4 
 2 14 2 14 
 , , .
 A ;0;0 S 0;0; M ;0; 
 2 4 4 4 
  2 2 14  2 14  2 14 
 Khi đó , , .
 MN ; ; SB 0; ; SD 0; ; 
 2 4 4 2 2 2 2 
   
 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng SBD : n SB  SD 7 ;0;0 .
 2
  7.
 MN.n 2 3
 Suy ra sin MN , SBD  .
 MN . n 6 3
 7.
 2
Câu 6. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D 'có 
 cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng A' B 'CD và ACC ' A' bằng
 10