Chuyên đề Hình học Lớp 12 - Chương 1: Khối đa diện - Bài 7: Tỷ số thể tích

 Full Chuyên đề 
 12 new 2020-
 2021 CHƯƠNG ①: KHỐI ĐA DIỆN
 Bài 7: TỶ SỐ THỂ TÍCH 
  Dạng ①: Tỷ số cơ bản trong tam giác.
 A
 ①. M, N bất N
 S AN AM
 kỳ trên AB, M AMN .
 AC S ABC AC AB
 B C
 A
 ②. Đường 
 N S AMN 1
 trung bình M 
 MN S ABC 4
 B C
 A
 ③. M, N, P là 
 S S S S 1
 trung điểm N AMN CPN BPM PMN
 M .
 của AB, AC, S S S S 4
 BC ABC ABC ABC ABC
 B P C
 A
 S S S 1
 ④. Trọng tâm GBC GAC GAB 
 G
 G S ABC S ABC S ABC 3
 B C
  Dạng ②: Tỷ số cơ bản của khối Chóp tam giác
 S
 P
 N
 ①. M, N, P lần lượt 
 j VS .PMN SP SM SN
 thuộc SA, SC, SB M . .
 B C VS .ABC SB SA SC
 A
 S
 N VS.ABN SN
 ②. N thuộc SC 
 A V SC
 C S.ABC
 B
 A - Bài tập minh họa: 
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm SA, SB và SC . Khi đó tỉ số thể tích 
 giữa khối chóp S.MNP và khối chóp S.ABC bằng
 1 1 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 8 6 2
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn B  Xác định tỉ số
 Hai khối tứ diện cần tính tỉ số là V SM SN SP 1 1 1 1
 S.MNP . . . . 
 S.MNP và S.ABC
 VS.ABC SA SB SC 2 2 2 8
 M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, 
 SM 1 SN 1 SP 1
SB, SC nên ; ; 
 SA 2 SB 2 SC 2
 V SM SN SP 1 1 1 1
 S.MNP . . . . 
 VS.ABC SA SB SC 2 2 2 8
Câu 2: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE 3EB . Tính thể 
 tích khối tứ diện E.BCD theo V .
 3V 3V V V
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 2 3 4
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn D A  Xác định tỉ số
 Hai khối tứ diện cần tính tỉ số là V AE AC AD 3
 AECD   
 A.ECD và A.BCD
 VABCD AB AC AD 4
 AE 3EB nên AB chia làm 4 phần 
 VE.BCD VA.BCD VA.ECD
 AE 3
AE 3 phần EB 1 phần E 3 1
 AB 4 V V V
 A.BCD 4 ABCD 4 ABCD
 V AE AC AD 3 B D
 AECD   
 VABCD AB AC AD 4
 3
 V V . Do đó C
 AECD 4 ABCD
 3 1
 V V V V V V . 
 E.BCD A.BCD A.ECD A.BCD 4 ABCD 4 ABCD
 V
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số S.ABC .
 VS.MNC
 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. 2. Ⓓ. 4.
 2 4
 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm
Chọn D  Xác định tỉ số
 V SA SB SC
 S.ABC . . 2.2 4
 VS.MNC SM SN SC  Hai khối tứ diện cần tính tỉ số là S.ABC và S.MNP
 SA SB
 M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SBnên 2; 2
 SM SN
 VS.ABC SA SB SC
 . . 2.2 4
 VS.MNC SM SN SC
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có A và B lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối chóp 
 S.ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp S.A B C .
 Ⓐ. V 12. Ⓑ. V 8 . Ⓒ.V 6 . Ⓓ.V 3.
 Lời giải
Chọn C PP nhanh trắc nghiệm
 S
 VS.A B C SA SB SC
  . .
 VS.ABC SA SB SC
 A' B'
 A B
 C
 V SA SB SC 1 1 1
 Ta có S.A B C . . . 
 VS.ABC SA SB SC 2 2 4
 1 1
 Vậy V .V .24 6 . 
 S.A B C 4 S.ABC 4
B - Bài tập rèn luyện:
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có ·ASB ·ASC B· SC 60 và SA 2 ; SB 3 ; SC 7 . Tính thể tích 
 V của khối chóp.
 7 2 7 2
 Ⓐ. V 4 2 . Ⓑ. V . Ⓒ.V . Ⓓ. V 7 2 .
 2 3
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có A và B lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối 
 chóp S.ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp S.A B C .
 Ⓐ. V 3 Ⓑ. V 12 Ⓒ.V 8 Ⓓ. V 6
Câu 3: Cho khối chóp S.ABC , M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối chóp S.MAB là 2a 3 . 
 Thể tích khối chóp S.ABC bằng.
 a3 1
 Ⓐ. 2a3 . Ⓑ. 4a3 . Ⓒ. . Ⓓ. a3 .
 4 2 Câu 4: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính 
 thể tích V của khối chóp A.MCD .
 Ⓐ. V = 4 . Ⓑ. V = 6. Ⓒ.V = 3 . Ⓓ.V = 5 .
Câu 5: Cho tứ diện ABCD có DA 1; DA  ABC . ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên 
 DM 1 DN 1 DP 3
 cạnh DA, DB, DC lấy 3 điểm M , N , P sao cho ; ; . Thể tích của 
 DA 2 DB 3 DC 4
 tứ diện MNPD bằng
 2 3 3 2
 Ⓐ. V . Ⓑ. V . Ⓒ.V . Ⓓ.V .
 96 12 96 12
Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là a 3 . Gọi M , N , P,Q theo thứ tự là trung điểm của 
 SA, SB, SC, SD. Thể tích khối chóp S.MNPQ là:
 a3 a3 a2 a3
 Ⓐ. Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ.
 16 8 4 6
Câu 7: Cho khối chóp S.ABC . Gọi A , B lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khi đó tỉ số thể tích 
 của hai khối chóp S.A B C và S.ABC bằng:
 1 1 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 6 2 3
Câu 8: Cho tứ điện MNPQ . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh MN , MP, MQ . Tính tỉ số thể 
 V
 tích MIJK .
 VMNPQ
 1 1 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 6 3 4 8
Câu 9: Cho tứ diện ABCD . Gọi B và C lần lượt là trung điểm của AB, AC . Khi đó tỉ số thể tích 
 của khối tứ diện AB C D và khối ABCD bằng:
 1 1 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 4 6 8
Câu 10: Cho khối tứ diện OABC với OA,OB,OC vuông góc từng đôi một và OA a, OB 2a,
 OC 3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC . Thể tích của khối tứ diện 
 OCMN tính theo a bằng:
 3a3 2a3 a 3
 Ⓐ. Ⓑ. a3 Ⓒ. Ⓓ.
 4 3 4
Câu 11: Cho khối chóp S.ABC . Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A , B , C sao cho 
 1 1 1
 SA SA ; SB SB ; SC SC . Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của các khối chóp 
 3 4 2
 V
 S.ABC và S.A B C . Khi đó tỉ số là
 V '
 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. 24 . Ⓒ. . Ⓓ. 12 .
 12 24
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.D 11.B 12.D Hướng dẫn giải
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có ·ASB ·ASC B· SC 60 và SA 2 ; SB 3 ; SC 7 . Tính thể tích V 
 của khối chóp.
 7 2 7 2
 Ⓐ. V 4 2 . Ⓑ. V . Ⓒ.V . Ⓓ.V 7 2 .
 2 3
 Lời giải
 Chọn B
 S
 C'
 3
 7
 2
 A C
 B'
 B
 Lấy hai điểm B , A lần lượt trên hai cạnh SB và SC sao cho SB 2 , SC 2 .
 Ta có hình chóp S.AB C là hình tứ diện đều có cạnh bằng 2 .
 23 2 2 2
 V .
 S.AB C 12 3
 V SA SB SC 2 2 4
 Ta lại có: S.AB C . . . .
 VS.ABC SA SB SC 3 7 21
 21V 21.2 2 7 2
  V S.AB C .
 S.ABC 4 3.4 2
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có A và B lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối 
 chóp S.ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp S.A B C .
 Ⓐ. V 3 Ⓑ. V 12 Ⓒ.V 8 Ⓓ.V 6
 Lời giải
 Chọn D
 S
 A' B'
 A B
 C V SA SB SC 1 1 1
 Ta có S.A B C . . . 
 VS.ABC SA SB SC 2 2 4
 1 1
 Vậy V .V .24 6 .
 S.A B C 4 S.ABC 4
Câu 3: Cho khối chóp S.ABC , M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối chóp S.MAB là 2a 3 . 
 Thể tích khối chóp S.ABC bằng.
 a3 1
 Ⓐ. 2a3 . Ⓑ. 4a3 . Ⓒ. . Ⓓ. a3 .
 4 2
 Lời giải
 Chọn B
 3
 VS.ABC 2VSMAB 4a .
Câu 4: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể 
 tích V của khối chóp A.MCD .
 Ⓐ. V = 4 . Ⓑ. V = 6. Ⓒ.V = 3 . Ⓓ.V = 5 .
 Lời giải
 Chọn B
Câu 5: Cho tứ diện ABCD có DA 1; DA  ABC . ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên cạnh 
 DM 1 DN 1 DP 3
 DA, DB, DC lấy 3 điểm M , N , P sao cho ; ; . Thể tích của tứ diện 
 DA 2 DB 3 DC 4
 MNPD bằng
 2 3 3 2
 Ⓐ. V . Ⓑ. V . Ⓒ.V . Ⓓ.V .
 96 12 96 12
 Lời giải
 Chọn C
 1 3 3
 V . .1 .
 ABCD 3 4 12
 V DM DN DP 1 1 3 1
  DMNP . . . . .
 VDABC DA DB DC 2 3 4 8
 1 3 3
 Suy ra V . .
 DMNP 8 12 96
Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là a 3 . Gọi M , N , P,Q theo thứ tự là trung điểm của 
 SA, SB, SC, SD. Thể tích khối chóp S.MNPQ là:
 a3 a3 a2 a3
 Ⓐ. Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ.
 16 8 4 6
 Chọn B 1
 Ta có: Tứ giác MNPQ đồng dạng với tứ giác ABCD với tỉ số k . 
 2
 1
 Đường cao h của hình chóp S.MNPQ bằng đường cao h hình chóp S.ABCD
 2
 2
 1 1 1 h
 Từ đó: VS.MNPQ .SMNPQ .h . .SABCD .
 3 3 2 2
 1 a3
 V .
 8 S.ABCD 8
Câu 7: Cho khối chóp S.ABC . Gọi A , B lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khi đó tỉ số thể tích 
 của hai khối chóp S.A B C và S.ABC bằng:
 1 1 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 6 2 3
 Lời giải
 Chọn A
 V SA SB 1 1 1
 Ta có S.A B C . . .
 VS.ABC SA SB 2 2 4
Câu 8: Cho tứ điện MNPQ . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm các cạnh MN , MP, MQ . Tính tỉ số thể 
 V
 tích MIJK .
 VMNPQ
 1 1 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 6 3 4 8
 Lời giải
 Chọn D
 V MI MJ MK 1
 Ta có: MIJK = . . = .
 VMNPQ MN MP MQ 8
Câu 9: Cho tứ diện ABCD . Gọi B và C lần lượt là trung điểm của AB, AC . Khi đó tỉ số thể tích của 
 khối tứ diện AB C D và khối ABCD bằng:
 1 1 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 2 4 6 8 Lời giải
 Chọn B
 V AB AC 1 1 1
 Ta có AB 'C ' D . . .
 VABCD AB AC 2 2 4
 M
 I K
 J
 N Q
 P .
Câu 10: Cho khối tứ diện OABC với OA,OB,OC vuông góc từng đôi một và OA a, OB 2a, OC 3a
 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN 
 tính theo a bằng:
 3a3 2a3 a 3
 Ⓐ. Ⓑ. a3 Ⓒ. Ⓓ.
 4 3 4
 Lời giải
 Chọn D
 1 1 3
 Ta cóVOABC . OA.OB .OC a (đvtt).
 3 2 
 3
 VOCMN CM.CN 1 1 a
 Ta có .Vậy VOCMN VOABC .
 VOCAB CA.CB 4 4 4
Câu 11: Cho khối chóp S.ABC . Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A , B , C sao cho 
 1 1 1
 SA SA ; SB SB ; SC SC . Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của các khối chóp 
 3 4 2
 V
 S.ABC và S.A B C . Khi đó tỉ số là
 V '
 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. 24 . Ⓒ. . Ⓓ.12 .
 12 24
 Lời giải
 Chọn B
 V SA SB SC
 Ta có . . 3.4.2 24 .
 V ' SA' SB' SC ' Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt phẳng 
 V
 P chứa AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B và D . Tỷ số S.AB'MD' là
 VS.ABCD
 3 2 1 1
 Ⓐ. . Ⓑ. . Ⓒ. . Ⓓ. .
 4 3 6 3
 Lời giải
 Chọn D
 Gọi O là tâm hình bình hành đáy.
 I AO  SO S
 Đường thẳng qua I và song song BD cắt SB, SD tại 
 B , D . M D'
 B' I
 Ta có V V V A
 SAB MD SAB M SAMD D
 O
 V SB SM 2 1 1 1 B
  SAB M   nên V V C
 SAB M SABCD
 VSABC SB SC 3 2 3 6
 V 1 1 1
 Tương tự SAMD nên V V do dó V V
 SAMD SABCD SAB MD SABCD
 VS 4CD 3 6 3
 .