Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Ôn tập chương 4 (Có lời giải)

 ÔN TẬP CHƯƠNG IV
 Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A 
 và B với AD 2a,AB BC a . Mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt 
 phẳng (ABCD). Hình chiếu vuông góc của S trên AD là điểm H. Các mặt 
 phẳng (SAB) và (SCD) cùng hợp với đáy (ABCD) một góc bằng 600 .
 a). Chứng minh rằng tam giác ACD vuông và SH  (ABCD) 
 b). Tính SH theo a.
 c). Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
 LỜI GIẢI
 S
a). Gọi E trung điểm của AD, có ABCE là hình 
 1
vuông. Do đó có EC EA ED AD ACD 
 2
vuông tại C. I
hai mặt phẳng (SAD) và mp(ABCD) vuông góc 
 E
với nhau theo giao tuyến AD, mà A H D
(SAD)  SH  AD SH  (ABCD) .
b). Trong mp(ABCD) dựng G
 HG  CD,G CD CD  SG , 
 B C
 (SCD) (ABCD) CD
 nên SG  CD,HG  CD
 SG  (SCD),HG  (ABCD)
 (·SCD),(ABCD) S·GH 600 .
 SH
 Trong SHG có tan S·GH SH HG 3 (1).
 HG
 AB  AD
 Có AB  (SAD) AB  SA 
 AB  SH
 (SAB) (ABCD) AB
 · · 0
 Có SA  AB,AD  AB (SAB),(ABCD) SAH 60
 SA  (SAB),AD  (ABCD)
 SH
 Trong SAH có tan S·AH SH AH 3 (2).
 AH
 Đặt AH x 0 HG x (do từ (1) và (2)). Dễ thấy GHD vuông cân tại 
G, nên có DH HG 2 AD AH HG 2 2a x x 2 2a x( 2 1) 
 2a
 x 2a 2 1 .
 2 1
398 Do đó SH AH 3 2a 3 2 1 .
 Có CD  (SHG) mà CD  (SCD) (SCD)  (SHG) hai mặt phẳng này 
vuông góc với nhau theo giao tuyến SG, trong mp(SHG) dựng 
HI  SG,I SG 
 HI  (SCD) . Vậy d H,(SCD) HI 
 1 1 1 1 1 x 3
 Có HI a 3 2 1 
 HI2 HG2 HS2 x2 3x2 2
 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA a . 
 AC
 Hình chiếu của S trên ABCD là H thuộc AC và AH . 
 4
 a). Chứng minh BD  SAC .
 b). Tính khoảng cách từ S đến ABCD và tính góc của SC với ABCD .
 c). Gọi DM là đường cao SAC . Chứng minh M là trung điểm của S.
 LỜI GIẢI
a). Vì ABCD là nữa lục giác đều nên nội tiếp trong S
đường tròn tâm O đường kính AD.
 BD  AB N
 Có BD  (SAB)
  H
 BD SA M
 K
 BD  AK do AK  (SAB) .
 I
 AK  SB
 Có AK  (SBD) D
 AK  BD A
 SD  AH
 Có SD  (AHK) .
 SD  AK do AK  (SBD) 
 B C
b). Có AC AD2 CD2 (2a)2 a2 a 3 .
 Có AC là hình chiếu vuông góc của SC trên 
mp(ABCD), do đó S·C,(ABCD) S·CA 600 . Trong 
 O
 A D
 SAC có SA AC tan 600 a 3. 3 3a . 
 1 1 1 1 1
 Trong SAB có 
 2 2 2 2 2
 AK AB AS a 9a B C
 3a
 AK 
 10
 1 1 1 1 1 6a
 Trong SAD có AH 
 AH2 AD2 AS2 4a2 9a2 13
 399 Vì AK  (SBD) mà HK  (SBD) AK  HK 
 1 1
 S KA.KH KA. AH2 AK2 
 AHK 2 2
c). Trong mp(ABCD) dựng Dx PAC AC P(Dx,SD) . 
 Do đó d AC,SD d AC,(Dx,SD) d A,(Dx,SD) 
 Trong mp(ABCD) dựng AM  Dx Dx  (SAM) 
 mà Dx  (Dx,SD) (SAM)  (Dx,SD) hai mặt phẳng này vuông góc với 
nhau theo giao tuyến SM, trong mp(SAM) dựng AN  SM,N SM 
 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A 
 và B. Biết AD 2a,AB BC a, SAB  ABCD ; SAD  ABCD và
 SA 2a. 
 a). Chứng minh: SA  ABCD .
 b). Tính góc giữa đường thẳng SB và ABCD .
 c). Gọi O là trung điểm AC. Chứng minh : SBO  SAC .
 d). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.
 LỜI GIẢI
 (SAB) (SAD) SA S
a). Có (SAB)  (ABCD) SA  (ABCD) .
 (SAD)  (ABCD)
b). Có AB là hình chiếu vuông góc của SB trên G
 H
mp(ABCD), nên góc giữa SB với mp(ABCD) là A D
góc S· BA . 
 O
 Trong SAB vuông tại A có
 SA 2a B
 tan S· BA 2 S· BA arctan 2 . C
 AB a
c). Gọi H trung điểm của AD, suy ra tứ giác ABCH là hình vuông nên 
BO  AC .
 BO  AC
 Có BO  (SAC) , mà BO  (SBO) (SBO)  (SAC) .
 BO  SA
d). Hai mặt phẳng (SBO) và (SAC) vuông góc với nhau theo giao tuyến SO, 
trong mp(SAC) dựng AG  SO,G SO AG  (SBO) , nên d A,(SBO) AG .
 1 a 2
 Vì ABCH là hình vuông cạnh a nên AO AC .
 2 2
 1 1 1 2 1 2a
 Trong SAO vuông tại A có AG 
 AG2 AO2 AS2 a2 4a2 3
400 Dễ thấy BCDH là hình bình hành nên CD PBO CD P(SBO) . Vậy
 d SB,CD d CD,(SBO) d C,(SBO) 
 Hai điểm C và A nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBO), nên 
có 
 d C,(SBO) CO 2a
 1 d A,(SBO) d C,(SBO) 
 d A,(SBO) AO 3
 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 
 a. Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA a 3 .
 a). Chứng minh:tam giác SCD là tam giác vuông.
 b). Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng SAC .
 c). Tính góc giữa mặt phẳng SBD và ABCD .
 d). Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD .
 LỜI GIẢI
 S
 CD  AD
a). Có CD  (SAD) G
 CD  SA
 CD  SD SCD vuông tại D.
 BD  AC A D
b). Có BD  (SAD) . H
 BD  SA
 Từ đó suy ra AO là hình chiếu vuông góc O
của AD trên mp(SAC), do đó góc giữa AC với 
 B C
mp(SAC) là góc D· AO 450 .
 BD (SBD) (ABCD)
c). Có SO  BD; AC  BD (·SBD);(ABCD) S·O,AC S·OA . 
 SO  (SBD); AC  (ABCD)
 SA a 3
 Trong SAO vuông tại A có tan S·OA 6 S·OA arctan 6 .
 AO a 2
 2
d). Theo câu a) có CD  (SAD) mà CD  (SCD) (SCD)  (SAD) , hai mặt 
phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SD, trong mp(SAD) dựng 
AG  SD, G SD AG  (SCD) .
 Dựng đường thẳng d qua G và song song với AB AB và d đồng 
phẳng. Trong mp(AB,d) dựng BH PAG,H d BH  (SCD) . Vậy 
d B,(SCD) BH 
 401 1 1 1 1 1 a 3
 Trong SAD vuông tại A có AG 
 AG2 AD2 AS2 a2 3a2 2
 Theo cách dựng trên thì tứ giác ABHG là hình bình hành. Do đó 
 a 3 a 3
BH AG d B,(SCD) .
 2 2
 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh 2a,
 SO  ABCD và các mặt bên là tam giác đều. Gọi I,J lần lượt là trung 
 điểm của CD và AD.
 a). Chứng minh: AC  SBD và SOI  SCD .
 b). Tính góc của mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD . 
 c). Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SCD .
 d). Gọi M là giao điểm của JC và BD,G thuộc đoạn SI sao cho SI 3GI. 
 Chứng minh: BD  MG. 
 LỜI GIẢI S
 AC  BD
a). Có AC  SO AC  (SBD) . H
 BD,SO  (SBD) G
 A J D
 CD  OI OI PBC 
 M
 I
 Có CD  SO CD  (SOI) , O
 
 OI,SO (SOI) B C
 mà CD  (SCD) (SCD)  (SOI) .
 CD (SCD) (ABCD)
c). Có SI  CD;OI  CD (·SCD);(ABCD) S·I,OI S· IO . 
 SI  (SCD);OI  (ABCD)
 SO a 3
 Trong SIO vuông tại O có tan S· IO 6 S·OA arctan 6 .
 OI a 2
 2
 Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 
 a, SA  ABCD và SA a 2 . Gọi E là hình chiếu vuông góc của A lên 
 SB.
 a). Chứng minh: SAC  SBD .
 b). Chứng minh: AE  SBC .
 c). Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD . 
402 d). Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng SBC , với G là trọng tâm 
 của tam giác SAD. 
 LỜI GIẢI
 S
 BD  AC; BD  SA
a). Có BD  SAC , 
 AC,SA  (SAC) H
 mà BD  (SBD) (SBD)  SAC .
 E F
 BC  AB
   A D
b). Có BC SA BC SAB , G
 AB,SA  (SAB)
 O
 mà BC  (SBC) (SBC)  SAB , hai mặt 
phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến B C
SB, trong (SAB) có AE  SB AE  (SBC)
c). Có AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABCD), nên góc giữa 
SC với mp(ABCD) là góc S·CA . 
 SA a 2
 Trong SAC vuông tại A có tan S·CA 1 S·CA 450 .
 AC a 2
 CD  AD
d). Có CD  SA CD  SAD , mà CD  (SCD) (SCD)  SAD , hai 
 AD,SA  (SAD)
mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SD, trong mp(SAD) 
dựng AH  SD,H SD AH  (SCD) . Vậy d A,(SCD) AH 
 1 1 1 1 1 a 6
 Trong SAD vuông tại A có AH 
 AH2 AD2 AS2 a2 2a2 3
 Có AB PCD AB P(SCD) d B,(SCD) d A,(SCD) 
 Gọi F giao điểm của BG với SC.
 d G,(SCD) GF 1 1 a 6
 d G,(SCD) d B,(SCD) 
 d B,(SCD) BF 3 3 9
 Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, 
 với AD DC a; SA AB 2a; SA  ABCD ; I là trung điểm cạnh AB.
 a). Chứng minh: CI  SAB ; BC  SAC .
 b). Tính khoảng cách h từ điểm A đến SBC .
 c). Tính góc giữa SA và SID .
 d). Tính góc  giữa hai mặt phẳng SAB , SBC .
 403 LỜI GIẢI S
a). Có tứ giác ADCI là hình vuông nên CI  AB K
 CI  AB
 Có CI  (SAB) 
 CI  SA J
 Trong tam giác ABC có CI là đường trung H
 A I B
 AB
tuyến và CI ABC vuông tại C.
 2 O
 CB  AC
 Có CB  (SAC) D C
 CB  SA
b). Theo câu a) có CB  (SAC) mà CB  (SBC) (SBC)  (SAC) , hai mặt 
phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SC, trong mp(SAC) dựng 
AH  SC,H SC AH  (SBC) . Vậy d A,(SBC) AH .
 1 1 1 1 1 2a 3
 Trong SAC vuông tại A có AH 
 AH2 AC2 AS2 2a2 4a2 3
 DI  AC
c). Có DI  (SAC) , mà DI  (SDI) (SDI)  (SAC) , hai mặt phẳng 
 DI  SA
này vuông góc với nhau theo giao tuyến SO, trong mp(SAC) dựng 
AJ  SO,J SO 
 AJ  (SDI) . Vậy SJ là hình chiếu vuông góc của SA trên mp(SDI) do đó 
góc giữa SA và (SDI) là góc A· SO . 
 Trong SAO vuông tại A có 
 a 2
 AO 2 2
tan A· SO 2 A· SO arctan .
 SA 2a 4 4
d). Trong mp(SAB) dựng AK  SB,K SB .
 SB  AK
 Có SB  (SHK) SB  HK 
 SB  AH do AH  (SBC) 
 SB (SAB) (SBC)
 Có AK  SB;HK  SB (·SAB);(S BC) A· K,HK A· KH . 
 AK  (SAB);HK  (S BC)
 SB
 Có SAB vuông cân tại A nên AK a 2 
 2
 Vì AH  (SBC) AH  HK do HK  (SBC) AHK vuông tại H, nên:
 2a 3
 AH AH
 tan A· KH 3 2 A· KH arctan 2 .
 HK AK2 AH2 4a2
 2a2 
 3
404 Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, và 
 SH vuông góc với mặt phẳng ABCD tại trung điểm H của đoạn AO. 
 Cho SA AB a. 
 a). Chứng minh: mặt phẳng SAC vuông góc mặt phẳng SBD .
 b). Tính khoảng cách từ S đến ABCD .
 c). Chứng minh: SOA là góc giữa SBD và ABCD . Tình số đo góc này.
 LỜI GIẢI
 S
 BD  AC; BD  SH
a). Có BD  (SAC) , 
 AC,SH  (SAC)
 mà BD  (SBD) (SBD)  (SAC) .
 A D
 AC AB 2 a 2
b). Có AH . Trong SAH H
 4 4 4 O
 a 14 B
vuông tại A có SH SA2 AH2 . C
 4
 BD (SBD) (ABCD)
c). Có SO  BD; AC  BD (·SBD);(A BCD) S·O,AC S·OA . 
 SO  (SBD); AC  (A BCD)
 Trong SHO vuông tại H có 
 a 14
 SH
tan S·OH 4 7 S·OH arctan 7 .
 HO a 2
 4
 Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a;
 SA  ABCD và SA a 3 .
 a). Chứng minh rằng: SBC vuông, tính góc giữa SC và SAD .
 b). Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SBC . 
 c) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD .
 LỜI GIẢI
 S
a). Có J
 BC  AB
 F
 BC  (SAB) BC  SB SBC A D
 BC  SA H
vuông tại B. I O
 B C 405
 x CD  AD
 Có CD  (SAD) . Do đó SD là 
 CD  SA
hình chiếu của SC trên mp(SAD), nên góc giữa 
SC và mp(SAD) là góc C· SD . 
 CD a 1 1
 Trong SCD vuông tại D có tan C· SD C· SD arctan .
 SD 2a 2 2
b). Theo câu a) có BC  (SAB) (S BC)  (SAB) , hai mặt phẳng này vuông 
góc với nhau theo giao tuyến SB, trong mp(SAB) dựng AF  SB,F SB 
 AF  (SBC) . Vậy d A,(SBC) AF .
 1 1 1 1 1 a 3
 Trong SAB vuông tại A có AF 
 AF2 AB2 AS2 a2 3a2 2
 Có AD PBC  (SBC) AD P(SBC) d D,(SBC) d A,(SBC) 
 a 3
 Kết luận d D,(SBC) .
 2
 BD  AC
c). Gọi O AC  BD . Có BD  (SAC) BD  SO .
 BD  SA
 (SBD) (ABCD) BD
 Có SO  BD; AC  BD (·SBD),(ABCD) S·O,AC S·OA .
 SO  (SBD); AC  (ABCD)
 SA a 3
 Trong SAO vuông tại A có tan S·OA 6 S·OA arctan 6 .
 OA a 2
 2
d). Trong mp(SAC) dựng OH  SC,H SC OH  BD do BD  (SAC) 
 d BD,SC OH .
 a 2
 HO CO a 30
 Có CHO ~ CAS g.g HO 2 .a 3 .
 AS CS a 5 10
 a 30
 Kết luận d BD,SC .
 10
e). Trong mp(ABCD) dựng Bx PAC AC Pmp SB,Bx . A D
Từ đó có d AC,SB d AC,(SB,Bx) d A,(SB,Bx) .
 I
 Dựng AI  Bx,I Bx Bx  (SAI) , O
 x
 mà Bx  mp SB,Sx SB,Bx  (SAI) hai mặt phẳng B C
 Hình 2
này vuông góc với nhau theo giao tuyến SI, trong 
mp(SAI) dựng AJ  SI,J SI AJ  SB,Bx . 
 Vậy d A,(SB,Bx) AJ
406 a 2
 Dễ thấy AOBI là hình vuông AI .
 2
 1 1 1 1 1 a 21
 Có AJ .
 2 2 2 2 2 7
 AJ AI AS a 2 a 3
 2 
 a 21
 Kết luận d AC,SB .
 7
 Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình 
 thang AB PCD và AB 2CD, ABC vuông tại C, SA AC CB a 2 và E là 
 trung điểm AB.
 a). Chứng minh: SCD  SAD .
 b). Xác định và tính góc giữa SC và SAB .
 c). Tính khoảng cách giữa AB và SC.
 LỜI GIẢI S
 AC  BC
 Theo đề có ABC vuông cân tại C. 
 AC BC
Có CE là đường trung tuyến của ABC CE là 
 G
đường cao CE  AB . E B
 Dễ thấy ADCE là hình thoi và A
CE  AB ADCE là hình vuông.
 D C
 CD  AD
a). Có CD  (SAD) , mà CD  (SCD) (SCD)  (SAD) .
 CD  SA
 CE  AB
b). Có CE  (SAB) SE là hình chiếu vuông góc của SC trên 
 CE  SA
mp(SAB), suy ra góc giữa SC và (SAB) là góc C· SE 
 1 1
 Có CE AB AC 2 a 
 2 2
 Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với 
 AB BC CD a và AD 2a . Tam giác SAD đều và nằm trong mặt 
 phẳng vuông góc với ABCD . H là trung điểm cạnh AD (cho biết các tam 
 giác AHB,BHC,CHD là các tam giác đều).
 a). Chứng minh: SH vuông góc với ABCD .
 b). Xác định và tính góc giữa SB và ABCD .
 c) Tính góc giữa SBC và SAD .
 407