Chuyên đề Hình học Lớp 11 - Chương 4 - Bài 4: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (Có lời giải)

 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
I). PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
❖ Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , là một dạng 
toán rất quan trọng trong chương vuông góc của lớp 11 và là một phần hay 
ra trong đề thi Đại Học .
 Để giải quyết vấn đề này các bạn phải thành thạo hai công cụ sau và nó 
liên quan với nhau :
 Bài toán 1 : Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến 
một mặt bên
 Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt 
phẳng bên. 
 BƯỚC 1: Xác định giao tuyến d
 BƯỚC 2 : Từ hình chiếu vuông góc của đỉnh , DỰNG AH  d ( H d ).
 BƯỚC 3 : Dựng AI  SH I SH .Khoảng cách cần tìm là AI
 Với S là đỉnh , A là hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy.
Ba bước dựng ở trên là sử dụng tính chất : Hai mặt phẳng vuông góc với 
nhau , một đường thuộc mặt phẳng náy vuông góc với giao tuyến thì sẽ 
vuông vuông với mặt phẳng kia.
❖ Đây là bài toán cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong việc tính 
khoảng cách từ một đểm đến một mặt phẳng .Hầu như tính khoảng cách 
từ một điểm BẤT KỲ đến mặt phẳng bên đều thông qua điểm này dựa 
vào công thức của bài toán 2 .
 Ví dụ điển hình : Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) 
.Hãy xác khoảng cách từ điểm A đến mặt bên (SBC).
 Ta có BC là giao tuyến của mp(SBC) và (ABC).
 S
 Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A , dựng 
  tại H. Dựng  tại I
AH BC AI SH I
 BC  SA
 Vì BC  SAH SBC  SAH .
 C
 BC  AH A
 Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng H
(SAH) theo giao tuyến SH có AI  SH B
318 nên AI  mp SBC d A,mp SBC AI
 Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ một đểm bất kỳ đến một mặt phẳng 
Thường sử dụng công thức sau :
 d
 M A
 d
 A
 P
 K
 P O H
 O
 H K
 M
 d M,mp P MO
 Công thức tính tỉ lệ khoảng cách: 
 d A,mp P AO
 Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Phương pháp phải tìm một đường thẳng d qua M và chứa một điểm A mà có 
thể tính khoảng cách đến mặt phẳng (P). KINH NGHIỆM thường điểm A là 
hình chiếu của đỉnh.
 Để hiểu và tự làm được bài tập thì những tính chất của hình học và 
phương pháp làm bài tập các bạn phải khắc vào trong tim.
II). BÀI TẬP MẪU
 Câu 1: DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2002
 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA 
 vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) 
 a 6
 theo a, biết SA 
 2
 LỜI GIẢI
 S
 Đây là bài toán cơ bản chúng ta đã nói ở 
phần trên
 Gọi E trung điểm BC thì BC  AE (vì F
ABC đều). 
 A C
 319
 E
 B BC  SA
 Có BC  mp SAE , 
 BC  AE
 mà BC  (SBC) SBC  SAE hai mặt 
phẳng này vuông góc với nhau theo giao 
tuyến SE, trong mp(SAE) dựng AF  SE tại 
F. Suy ra AF  SBC . Vậy 
d A, SBC AF .
 Trong tam giác vuông SAE có 
 1 1 1 2 4 2 a 2
 AF .
 AF2 AS2 AE2 3a2 3a2 a2 2
 a 2
 Kết luận d A, SBC AF .
 2
 Câu 2: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 
 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, 
 BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 
 2a 3 và S· BC = 300 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) 
 theo a.
 LỜI GIẢI
 H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S, hai S
điểm B và H cùng nằm trên đường thẳng có 
giao điểm với mặt phẳng (SAC) tại C . Nên 
bước đầu tiên ta phải tính khoảng cách từ K
 A G
điểm H đến mp(SAC) , sau đó sử dụng công C
thức tỉ số khoảng cách để tính khoảng cách từ 2a 3
 3a H
điểm B đến mp(SAC). Cách làm cụ thể như sau 4a
 300
:
 B
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên 
BC. Do SBC  ABC vuông góc với nhau 
theo giao tuyến BC nên SH  mp ABC .
 Trong SBH vuông tại H có SH SB.sin 300 a 3, BH SB.cos 300 3a .
320 AC  HG
 Trong mp(ABC) dựng HG  AC tại G. Ta có AC  SHG 
 AC  SH
mà AC  (SAC) SAC  SHG hai mặt phẳng này vuông góc với nhau 
theo giao tuyến SG, trong mp(SHG) dựng HK  SG tại K HK  SAC . 
 Vậy d H, SAC HK .
 GH CH a 3a
 Ta có CGH : CBA g.g GH .3a .
 BA CA 5a 5
 Trong SHG vuông tại H :
 1 1 1 25 1 28 3a 7
 HK .
HK2 HG2 HS2 9a2 3a2 9a2 14
Hai điểm H và B nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SAC) tại C, 
nên có:
 d B, SAC BC 6a 7
 4 d B, SAC 4d H, SAC .
 d H, SAC HC 7
 Các bạn phải nắm vững phương pháp tính khoảng cách từ hình chiếu 
của đỉnh lên mặt bên
 Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với BC = 
 2a, A· BC 600 . Gọi M là trung điểm BC. Biết SA = SB = SC = a 5 .
 a). Tính chiều cao của hình chóp.
 b). Tính khoảng cách từ M đến mp(SAB).
 LỜI GIẢI
a). Tính chiều cao của hình chóp. S
 Vì ABC vuông tại A, M trung điểm của 
BC nên có MA MB MC (1)
 a 5
 Theo đề SA SB SC (2) . 
 Từ (1) và (2) suy ra M là hình chiếu G
 B 2a C
vuông góc của S lên mp(ABC). 60° M
 Vậy d S, ABC SM .
 F
 Trong SBM có
 A
 2 2
 SM SB2 BM2 a 5 a 2a .
 321 b). Tính khoảng cách từ M đến mp(SAB).
 CHÚ Ý: M là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mp(ABC).
 AB  MF
 Trong mp(ABC) dựng MF  AB tại F, có AB  (SMF) mà 
 AB  SM
AB  (SAB) (SAB)  (SMF) hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo 
giao tuyến SF, trong mp(SMF) dựng MG  SF tại F MG  SAB . 
 Do đó d M,(SAB) MG 
 a 3
 MBA là tam giác cân có góc 600, nên MBA đều MF .
 2
 Trong SMF vuông tại M:
 1 1 1 1 1 2a 57
 .
 2 2 2 2 2 MG
 MG SM MF 2a a 3 19
 2 
 2a 57
 Vậy d M,(SAB) .
 19
 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên 
 SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng 
 (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD . Gọi M là trung 
 điểm của AB. Biết rằng SA= 2 3a và đường thẳng SC tạo với đáy một 
 góc 30o . Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
 LỜI GIẢI S
 Trong SAD vuông tại S có
 3 2SA
 SA2 AH.AD SA2 AD2 AD 4a
 4 3
 AH 3a,HD a,SH a 3 . I
 H
 A D
 Có HC là hình chiếu vuông góc của SC trên 
mp(ABCD). Vậy góc giữa SC và (ABCD) là góc M
· 0 · SH
SCH 30 , tan SCH HC 3a . B K C
 HC
 Ngoài ra HC2 HD2 DC2 DC 2a 2 . 
 Muốn tính khoảng cách từ M đến mp(SBC), ta phải tính khoảng cách từ 
H (hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy) đến mp(SBC) trước, sau đó 
322 sử dụng công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ M đến 
mp(SBC).
 BC  HK
 Dựng HK  BC,(K BC) Ta có BC  SHK , mà 
 BC  SH
BC  mp SBC SHK  SBC , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau 
theo giao tuyến SK, dựng HI  SK,(I SK) HI  SBC . Vậy 
d H, SBC HI .
 Trong SHK vuông tại H có 
 1 1 1 1 1 11 2a 66
 HI .
 HI2 HK2 HS2 8a2 3a2 24a2 11
 2a 66
 Vì AH P(SBC) nên d A, SBC d H, SBC .
 11
 Hai điểm A và M cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp(SBC) 
tại B, có
 d M, SBC MB 1 1 a 66
 d M, SBC d A, SBC .
 d A, SBC AB 2 2 11
 Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 
 3a
 SD , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung 
 2
 điểm của cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). 
 (A – 2014 ).
 LỜI GIẢI
 S
 Gọi H là trung điểm của AB, O là giao điểm 
của AC và BD.
 Theo đề bài ta có SH  ABCD .
 I
 A
 D
 HAD vuông tại A có
 2
 a a 5 H
 HD AH2 AD2 a2 . O
 4 2 K
 B
 SHD vuông tại H có C
 9a2 5a2
 SH SD2 HD2 a . 
 4 4
 323 Dựng HK  BD,(K BD) . Có BD  HK và BD  SH BD  SHK mà 
BD  SBD SBD  SHK hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo 
giao tuyến SK, dựng HI  SK, I SK HI  SBD . Vậy d H, SBD HI .
 1 a 2
 Ta có HK AO , trong SHK có 
 2 4
 1 1 1 8 1 9 a
 HI .
 HI2 HK2 HS2 a2 a2 a2 3
 Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SBD) tại B 
có:
 d A, SBD AB 2a
 2 d A, SBD 2d H, SBD .
 d H, SBD HB 3
 Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. 
 Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của 
 cạnh AB, góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng đáy bằng 60 0. Tính 
 theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC'A'). (B – 2014 ).
 A' C'
 LỜI GIẢI
 Gọi H là trung điểm của AB. Theo đề bài 
ta có A'H  ABC . I
 Có HC là hình chiếu vuông góc của A'C B'
 K
trên mặt phẳng (ABC), nên góc giữa A'C và A
 600 C
mặt phẳng (ABC) là góc A· 'CH 600 . Do đó 
 a 3 3a H
A'H HC.tan 600 . 3 .
 2 2
 B
 Dựng HK  AC,(K AC) . Có AC  HK và AC  A'H AC  A'HK mà 
AC  ACC'A' ACC'A'  A'HK hai mặt phẳng này vuông góc với 
nhau theo giao tuyến A'K, dựng HI  A'K, I A'K HI  ACC'A' . 
 Vậy d H, ACC'A' HI .
 a 3
 Ta có HK AH.sin 600 , 
 4
 1 1 1 16 4 52 3a 13
 trong A'HK có HI .
 HI2 HK2 HA'2 3a2 9a2 9a2 26
324 Hai điểm B và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(ACC'A') tại 
A có:
d B, ACC'A' BA 3a 13
 2 d B, ACC'A' 2d H, ACC'A' .
d H, ACC'A' HA 13
 Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi 
 M,N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AD và DC. Gọi H là giao 
 điểm của CN và DM, biết SH  ABCD ,SH a 3 . Tính khoảng cách từ 
 điểm C đến mặt phẳng (SBP).
 LỜI GIẢI S
 N
 A D
 1 1
 A N D H
 H I
 M K P
 M
 K P
 1
 B C B C
 µ µ µ µ 0 µ µ 0
 Ta có AMD DNC(c.g.c) D1 C1 , mà C1 N1 90 D1 N1 90 . 
 Vậy DM  CN tại H.
 a2 a 5
 Trong CDN có CN CD2 DN2 a2 , 
 4 2
 2a 5 4a2 a 5
 CD2 CH.CN CH , DH CD2 CH2 a2 .
 5 5 5
 Muốn tính khoảng cách từ C đến mp(SBP), ta phải tính khoảng cách từ H 
(hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy) đến mp(SBP) trước, sau đó sử 
dụng công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ C đến mp(SBP).
 a 5
 Gọi K BP  CN , suy ra K trung điểm của HC, vậy HK KC .
 5
 Vì BPDM là hình bình hành nên BP PDM BP  CN , và có BP  SH suy 
ra BP  (SHK) mà BP  (SBP) (SHK)  (SBP) , hai mặt phẳng này vuông góc 
với nhau theo giao tuyến SK, dựng HI  SK HI  (SBP) . Vậy 
d H,(SBP) HI .
 325 Trong SHK vuông tại H có 
 1 1 1 5 1 16 a 3
 HI .
HI2 HK2 HS2 a2 3a2 3a2 4
 Hai điểm C và H cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp(SBP) tại 
K, có
 d C, SBP CK a 3
 1 d C, SBP d H, SBP .
 d H, SBP HK 4
 Câu 8: Cho hình chóp S.ABC ,đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA 
 vuông góc với đáy , góc giữa SB và đáy ABC bằng 600 . I trung điểm của 
 BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SI
 a). Chứng minh tam giác ABH vuông . 
 b). Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến 
 mặt phẳng ABH
 LỜI GIẢI S
a). Chứng minh tam giác ABH vuông . 
 Ta có H
 BC  AI
 BC  SAI SBC  SAI BC  SBC 
 BC  SA
 A C
 hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao G
tuyến SI , có I
 60° K
AH  SI AH  SBC AH  BH BH  SBC
 B
 Kết luận tam giác ABH vuông tại H .
 AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABC) , nên góc giữa 
SB và (ABC) là góc S· BA 600 SA AB.tan 600 2a 3 .
b). Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến 
mặt phẳng ABH
 Ta có AH  SBC ABH  SBC , từ I thuộc BC kẻ IK  HB K HB , 
mà HB là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc (ABH) và (SBC) , nên 
suy ra IK  ABH . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABH) là IK .
 Trong SAI vuông tại A có SI SA2 AI2 12a2 3a2 a 15 ,
 a 15
AI2 IH.IS 3a2 IH.a. 15 IH .
 5
 1 1 1 1 5 8 a 6
 Trong BIH vuông tại I có : IK .
 IK2 IB2 IK2 a2 3a2 3a2 4
326 Vì hai điểm I và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng 
(ABH) là A , theo công thức tính tỉ lệ khoảng cách có 
 d G, ABH GA 2 2 2 a 6 a 6
 d G, ABH d I, ABH . .
 d I, ABH IA 3 3 3 4 6
 Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy (ABCD) là hình 
 vuông tâm O, AB = 2a, SA = 4a. Tính:
 a). Khoảng cách từ O đến (SAB). b). Khoảng cách từ A đến (SCD).
 LỜI GIẢI S
a). Khoảng cách từ O đến (SAB). 
 Do S.ABCD là hình chóp đều nên 
SO  mp ABCD .( các bạn để ý O là hình 
chiếu của đỉnh S) H
 Trong mp(ABCD) dựng OI  AB tại I, A D
thì AB  SIO mà AB  (SAB) I
 O K
 SAB  SIO , hai mặt phẳng này vuông 
 B C
góc với nhau theo giao tuyến SI, trong 
(SOI) dựng OH  SI tại H OH  SAB . 
Vậy d O, SAB OH .
 1
 Có OI là đường trung bình của BAD OI AD a .
 2
 Trong SAO vuông tại O : SO SA2 AO2 16a2 2a2 a 14 .
 Trong SOI vuông tại O : 
 1 1 1 1 1 15 a 210
 OH .
 OH2 OI2 OS2 a2 14a2 14a2 15
b). Khoảng cách từ A đến (SCD).
 Vì S.ABCD là hình chóp đều nên khoảng cách từ tâm O đến các mặt bên 
 a 210
bằng nhau, nên d O, SAB d O, SCD OH .
 15
Hai điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp(SCD) tại C, 
nên có:
 327